高中数学知识点基本概念

1、高一数学必修 1 知识网络 集合 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这 些对象的全体构成的集合（或集） ，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或 成员）。 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作。 一般地，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 叫做 集合 B 的子集，记作A B或B A，读作“A 包含于 B”，或“B 包含于 A”。 如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A，那么集合 A 叫做集合 B 的真子集，记作A B或B A，读作“A 真包含于 B”，或“B 真包 含 A”。 一般地，如果集

2、合A 的每一个元素都是集合 B 的元素，反过来，集合B 的每 一个元素也都是集合 A 的元素，那么我们就说集合 A 等于集合 B，记作。 一般地，对于两个给定的集合 A，B，由属于 A 又属于 B 的所有元素构成的 集合，叫做 A，B 的交集，记作AB，读作“A 交 B”。 一般地，对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫 做 A 与 B 的并集，记作AB，读作“A 并 B”。 如果给定集合 A 是全集 U 的一个子集，由 U 中不属于 A 的所有元素构成的 集合，叫做 A 在 U 中补集，记作CuA，读作“A 在 U 中的补集”。 1 / 54 （）元素与集合的关系：属于

3、（ ）和不属于（ ） 1 （ 集合与元素 2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性 （ 3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集 4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法（ 子集：若xA xB，则A B，即A是B的子集。 1、若集合A中有n个元素，则集合 A的子集有2n个，真子集有(2n-1)个。 2、任何一个集合是它本身的子集，即A A 注 关系 3、对于集合A,B,C,如果A B，且B C,那么AC. 4、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若A B且A B （即至少存在 x 0 B但x 0 A），则A是B的真子集。 集

4、合 集合相等：A B且A B A B 集合与集合 定义：AB x/ xA且xB 交集 性质：AA A，A ，AB BA，AB A,AB B，A B AB A 定义：AB x/ xA或xB 并集 性质：AA A，A A，AB BA，AB A，AB B，A B AB 运算 Card(AB) Card(A)Card(B)-Card(AB) 定义：C U Ax/xU且xA A 补集性质： (C U A)A， (C U A)AU，C U (C U A) A，C U (AB) (C U A)(C U B)， C (AB) (C A)(C B) UUU 1对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性

5、、互异性、无序性”。 如： 集合Ax| y lgx，B y| y lgx，C (x, y)| y lgx，A、B、C中元素各表示什么？ 2进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 2 如 ： 集 合Ax| x， 若B A， 则 实 数a的 值 构 成 的 集 合 为2 x3 0， B x| ax 1 0， .5 答：1， 3注意下列性质： （1）集合a 1 ，a 2，an的所有子集的个数是 2n 1 3 （2）若A B A B A，AB B； 4你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

6、如：已知关于 x的不等式 ax5 0的解集为M，若3M 且5M，求实数 a的取值范围。 2x a 2 / 54 a 35 3M， 0 532a a 1， 55 3 5M，a 0 52a 25 9， 函数 函数是一种关系，在一个变化过程中，有两个变量x 和 y，如果给定了一个 x 值， 相应地就确定唯一的一个 y 值，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量，y 是因变量。 定义 设 A，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则 f，对 A 中的任意一 个元素 x，在 B 中有且仅有一个（唯一确定）元素 y 与 x 对应，则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射。这时，称y 是 x 在

7、映射 f 的作用下的象，记作f(x)。于是(x)，x 称作 y 的原象。映射 f 也可记为：f：AB，xf(x).其中 A 叫做映射 f 的定义 域（函数定义域的推广），由所有象f(x)构成的集合叫做映射 f 的值域，通常叫作 f(A)。 注意： 1. “(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“(x)”； 2. 函数符号“(x)”中的 f(x)表示 x 对应的函数值，一个数，而不是 f 乘 x。 3. 集合 A 和 B 是有先后顺序的， A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的， 其中 f 表示具体的对应法则，可以用多种形式表示。 4. “有且仅有一个（唯一确定）”意思是：一

8、是必有一个，二是只有一个，也 就是说有且只有一个的意思。 构成函数的三要素是：定义域、对应关系和值域。 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对 应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称 3 / 54 这两个函数相等（或为同一函数）。 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变 量和函数值的字母无关。 区间的概念 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 无穷区间 区间的数轴表示 如果映射 f 是集合 A 到集合 B 的映射，并且对于集合 B 中的任意一个元素， 在集合 A 中有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间

9、存在一一对应 关系，并把这个映射叫做从集合 A 到集合 B 的一一映射。 在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应法则， 这样的函数通常叫作分段函数。 函数的单调性 定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x12, （1）若当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，则说 f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当 x1f(x2)，则说 f(x) 在这个区间上是减函数。 若函数(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数(x)在这一区间具有（严 格的）单调性，这一区间叫做函数(x)的单调区间。此时也说函数是这一区间上的 单调函数。 判断函

10、数单调性的方法步骤： 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤： 任取 x1，x2D，且 x11，且nN * 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数此 时，a的n次方根用符号n a表示 式子n a叫做根式（），这里n叫做根指数（ ），a叫做被开方数（） 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数a的 正的n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号na表示正的n次方根与负 的n次方根可以合并成n a（a0） 由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作n 0 0 10 / 54 ars(a 0,r,sQ)；

11、ars(a 0,r,sQ)； aras(a 0,b 0,r Q) 表表 1 1 定 义 域 值 域 指数函数 y axa 0,a 1 xR 对数数函数 y log a xa 0, a 1 x0, yRy0, 图 象 过定点(0,1) 减函数增函数 x(,0)时，y(0,1) x(0,)时，y(1,) 过定点(1,0) 减函数增函数 x(,0)时，y(1,) x(0,)时，y(0,1) 性 质 x(0,1)时，y(0,) x(1,)时，y(,0) x(0,1)时，y(,0) x(1,)时，y(0,) a b 底数越小越接近坐标轴 a b 底数越大越接近坐标 轴 a b a b 底数越小越接近坐标

12、轴 底数越大越接近坐标轴 表表 2 2幂函数y x ( R) p q 00111 p为奇数 q为奇数 奇函数 p为奇数 q为偶数 11 / 54 p为偶数 q为奇数 第一象限 性质 减函数增函数 偶函数 过定点（01 ， ） m n a , n 为根指数，a 为被开方数 根式： nm a n a 分数指数幂 rsr s a a a( a 0, r , s Q ) 指数的运算 rs 指数函数 rs 性质 ( a ) a( a 0, r , s Q ) ( ab ) r a r b s ( a 0, b 0, r Q ) 定义：一般地把函数 y a x ( a 0 且 a 1) 叫做指数函数。 指

13、数函数 性质：见表 1 对数：x lo g a N , a 为底数，N 为真数 log a ( M N ) log a M log a N ; 基本初等函数 log a M log a M log a N ; N 对数的运算 性质 log a M n n log a M ; ( a 0, a 1, M 0, N 0) 对数函数 log c b log a b ( a , c 0 且 a , c 1, b 0) 换底公式： loga c 对数函数 定义：一般地把函数y log a x ( a 0 且 a 1) 叫做对数函数 性质：见表 1 定义：一般地，函数y x叫做幂函数，x 是自变量， 是常

14、数。 幂函数 性质：见表2 以 10 为底的对数叫做常用对数。 换底公式：log b N log a N log a b 自然对数：以 e 为底的对数叫做自然对数。 积、商、幂的对数运算法则： （1）() (N1 N2 N3)123+ 即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和。 （2）( M ) N 即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数。 12 / 54 （3）M 即正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数。 幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，x 是自变量，a 是常数。 幂函数的性质： 1、所有的幂函数在(0，+)都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：1

15、1）; 2、 在(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴（简记为指大图低）； 在(1，+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴。 3、 幂函数的图象一定会出现在第一象限内， 一定不会出现在第四象限，值域是 否出现在第二、第三象限内，要看函数的奇偶性，幂函数的图象最多只能同 事出现在两个象限内，如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。 4、 幂函数的定义域的求法可分五种情况，即：（1）为 0；（2）为正整数； （3）为负整数；（4）为正分数；（5）为负分数。 5、 作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出 13 / 54 幂函数在第一象限的图象

16、， 然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内 完整的图象。 6、幂函数y x ( R)的图象主要分为以下几类： (1) 当=0 时， 图象是过(1， 1)点平行于 x 轴但抠去(0， 1)点的一条 “断” 直线； (2) 当为正偶数时，幂函数为偶函数，图象过第一、第二象限及原点。 (3) 当为正奇数时，幂函数为奇函数，图象过第一、第三象限及原点。 (4) 当为负偶数时，幂函数为偶函数，图象过第一、第二象限，但不过原点。 (5) 当为负奇数时，幂函数为奇函数，图象过第一、第二象限，但不过原点。 7、当0 时，幂函数y x图象一些性质： (1) 图象都通过点(1，1)，(0，0)； (2) 在第

17、一象限内，函数值随 x 的增大而增大； (3) 在第一象限内，1 时，图象是向下凸的；01 时，图象是向上凸的。 8、当B 且 B 推不出 A，则 A 是 B 的充分非必要条件； 若 A 推不出 B 且A，则 A 是 B 的必要非充分条件 若B 且A，则 A 是 B 的充要条件 若 A 推不出 B 且 B 推不出 A，则 A 既不是 B 的充分条件，也不是 B 的必要 条件。 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4、逻辑联结词：或、且、非；含逻辑联结词的命题真假的判断； 5、全称量词与存在量词；全称命题与存在性命题；命题的否定。 全称命题p:xM,P(x),它的否定p:x

18、M,P(x) 特称命题p:xM,P(x),它的否定p:xM,P(x) 圆锥曲线与方程 椭圆 50 / 54 第一定义：平面内与两个定点F 1 、F 2 的距离和等于常数（大于F 1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点的距离叫做椭圆的焦距，即 MF 1 MF 2 2a(2a F 1 F 2 ) 。 第二定义： 平面内与一定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比是常数e的点的轨迹叫做椭 圆。 定点F是椭圆的焦点， 定直线l是椭圆的准线， 常数e是椭圆的离心率。 即 （d为M到l得距离）。 标准方程及其性质： 标准方 程 焦点在 x 轴上 x2y2 2 1(a b 0) 2

19、ab MF d e(0 e 1) 焦点在 y 轴上 y2x2 2 1(a b 0) 2ab 图形 c2 a2b2c2 a2b2 F 1 (0,c) 、 F 2 (0,c) 焦点坐 标 顶点坐 标 范围 对称轴 准线方 程 离心率 F 1 (c,0) 、 F 2 (c,0) (a,0) ,(0,b)(b,0) ,(0,a) x a, y bx b, y a x轴，长轴为2a；x轴，短轴为2b； y轴，短轴为2b。 a2 x c y轴，长轴为2a。 a2 y c e c ，0 e 1 a 51 / 54 x2y2 （1）设点P(x 0 , y 0 )为椭圆 2 2 1(a b 0)上一点，F 1

20、、F 2 分别椭圆的左、右焦 ab 焦半径 公式： 点，则PF 1 a ex 0 ，PF 2 aex 0 ； y2x2 （2）设点P(x 0 , y 0 )为椭圆 2 2 1(a b 0)上一点，F 1 、F 2 分别椭圆的下、上焦 ab 点，则PF 1 a ey 0 ，PF 2 aey 0 ； 双曲线 第一定义：平面内与两个定点F 1 、F 2 的距离的差的绝对值是常数（小于F 1F2 ）的点的轨迹叫 做 双 曲 线 。 这 两 个 定 点 叫 做 双 曲 线 的 焦 点 ， 两 定 点 的 距 离 叫 做 椭 圆 的 焦 距 ， 即 MF 1 MF 2 2a(2a F 1F2 )。 第二定

21、义：平面内与一定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比等于常数e（e 1）的点的 轨迹叫做双曲线。定点F是双曲线的焦点，定直线l是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。即 MF d e(e 1)（d为M到l得距离）。 双曲线的标准方程及其几何性质： 焦点在x轴上 标准方程 x2y2 2 1(a 0,b 0) 2ab 焦点在y轴上 y2x2 2 1(a 0,b 0) 2ab 图形 F 1 (c,0) 、 F 2 (c,0)F 1 (0,c) 、 F 2 (0,c) 焦点坐标 c2 a2b2c2 a2b2 52 / 54 顶点坐标 范围 (a,0)(0,a) x ay a x轴，实轴为2a；x 轴，虚轴为2b； 对称轴 y 轴，虚轴为2b。 a2 x c y 轴，实轴为2a。 a2 y c 准线方程 离心率 渐近线方 程 等轴双曲 线 c ，e 1 a b y x a 1、实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线； e y a x b 2、等轴双曲线的离心率e 2 ，两条渐近线方程为 y x x2y2 设点P(x 0 , y 0 )为双曲线