高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一)

1、高中数学竞赛讲义高中数学竞赛讲义 + +完美数学高考指导完美数学高考指导 ( (一一) ) 高中数学竞赛讲义（一）高中数学竞赛讲义（一） 集合与简易逻辑 一、基础知识一、基础知识 定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各 个对象称为元素， 用小写字母来表示， 元素在集合 A 中， 称属于 A， 记为， 否则称不属于 A， 记作。 例如，通常用N，Z，Q，B，分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称 为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大

2、括号内并用逗号隔开表示集合的方法， 如1，2， 3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数，分别表示有理数集和 正实数集。 定义 2 子集：对于两个集合A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则 A 叫做 B 的子集， 记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果A 是 B 的子集，B 也是 A 的子集，则称 A 与 B 相等。 如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元素不属于 A，则 A 叫 B 的真子集。 定义 3 交集， 定义 4 并集， 定义 5 补集，若 定义 6 差集， 定义 7 集合 记作闭区间 。 记作开区间 ，R 记作 ，

3、集合 称为 A 在 I 中的补集。 定理 1 集合的性质：对任意集合A，B，C，有： （1） （3）（4） （2）； 【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。 （1） 若 反之， 即 ， 则 ， 则 ， 且或 或 ， 所以 ， 即 或 且或 ， 即 ， 即且 ； ， 1 / 67 （3）若 ，即 ，则或，所以 ，反之也有 或，所以，又，所以 定理 2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有 法，第类办法中有 种不同的方法，第二类办法中有种不同的方 种不同的方法，那么完成这件事一共有 种不同的方法，第二步有 种不同的方法。 种不同的方法。 种不同的方法，第步定理 3 乘法原理：做

4、一件事分个步骤，第一步有 有种不同的方法，那么完成这件事一共有 二、方法与例题 1利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。 例 1 设 （1） （2） （3）若 证明（1）因为 （2）假设 所以 （3）设 ； ； ，则 ，且 ，则存在，使 ，求证： ，所以 ，由于和有相同的奇偶性， 是奇数或 4 的倍数，不可能等于 ，则 ，假设不成立，所以 （因为）。 ，再证，则。2利用子集的定义证明集合相等，先证 例 2 设 A，B 是两个集合，又设集合M 满足 ，求集合 M （用 A，B 表示）。 【解】 先证 再证 则 综上， ， 若 。所以 ， 若 ， 则 ， 因为， 所以 1） 若， 则 ， 所

5、以 ； 2） 若 ； ， 3分类讨论思想的应用。 2 / 67 例 3 ，求 【解】依题设， 因为 因为 ，解得 综上所述， ，所以 ，所以 或；或。 ，再由 ，所以 ，若，则 解得 ，所以 或 或 2，所以 ，即 ， ，若 或 3。 ，若，则或 4计数原理的应用。 例 4 集合 A，B，C 是1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集，（1）若 的个数；（2）求 I 的非空真子集的个数。 【解】（1）集合 I 可划分为三个不相交的子集；AB，BA，中的每个元素恰属于其中一个子集，10 个 ，求有序集合对（A，B） 元素共有 310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有31

6、0个。 （2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1 或者属于该子集或者 不属于，有两种；第二步，2 也有两种，第 10 步，0 也有两种，由乘法原理，子集共有 子集有 1022 个。 5配对方法。 例 5 给定集合的个子集：，满足任何两个子集的交集非空， 并且再添加 I 的任 个，非空真 何一个其他子集后将不再具有该性质，求的值。 【解】将 I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对， 共得对，每一对不能同在这个子集中，因此， ；其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C1A 与 A，并设 ，则，从而可以在个子集中再

7、添加，与已知矛盾，所以。综上，。 6竞赛常用方法与例问题。 定理 4 容斥原理；用表示集合 A 的元素个数，则 ， 需要此结论可以推广到个集合的情况， 即 3 / 67 定义 8 集合的划分：若，且，则这些子集的全集叫I 的一个-划分。 定理 5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。 定理 6 抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于个元素，也必有一个 抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。 例 6 求 1，2，3，100 中不能被 2，3，5 整除的数的个数。 【解】 记 ，由容斥原理， ， ，所以不能被 2，3，5 整除的数有个。

8、 例 7 S 是集合1，2，2004的子集，S 中的任意两个数的差不等于4 或 7，问 S 中最多含有多少个元素？ 【解】将任意连续的 11 个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S，将这 11 个数按连续两个为一组，分成 6 组，其中一组只有一个数，若 S 含有这 11 个数中至少 6 个，则必有两个数在同一组， 与已知矛盾，所以 S 至多含有其中 5 个数。又因为 2004=18211+2，所以 S 一共至多含有 1825+2=912 个元素，另 一方面，当 有 912 个元素。 例 8求所有自然数，使得存在实数满足： 时，恰有，且 S 满足题目条件，所以最少含

9、 【解】 当时， 。下证当 ；当时，；当 满足条件。 时， 时，不存在 令 所以必存在某两个下标 ，则 ，使得，所以或，即 ，所以或，。 （）若 ，则 ，考虑，有或，即，设 ，导致矛盾，故只有 4 / 67 考虑 推出矛盾，设 条件的实数。 ，有 ，则 或，即，设，则 故当 ， 时，不存在满足，又推出矛盾， 所以 （）若 ，推出矛盾，故 是 所以。故当 ，考虑，有 。考虑 ，所以 ，有 或 或 ，即，这时 ，即=3，于 ，矛盾。 因此，这又矛盾，所以只有 时，不存在满足条件的实数。 ，例 9 设1，2，3，4，5，6，7，8，9，n，在 A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合 求的最

10、小值。 【解】 中最多重复出现次，则必有。若不然，数出现次（），则设 B 中每个数在所有 出现的所有 在 中，至少有一个 A 中的数出现 3 次，不妨设它是 1，就有集合1， ，其中 。当时，如下20 个集合满足要求： ，为满足题意的集合。必各不相同，但只 能是 2，3，4，5，6 这 5 个数，这不可能，所以 20 个中，B 中的数有 40 个，因此至少是10 个不同的，所以 1，2，3，7，8，1，2，4，12，14， 1，2，5，15，16， 1，2，6，9，10， 1，3，4，10，11， 1，3，5，13，14， 1，3，6，12，15， 1，4，5，7，9， 1，4，6，13，16

11、， 1，5，6，8，11，2，3，4，13，15， 2，3，5，9，11， 2，3，6，14，16， 2，4，5，8，10，2，4，6，7，11，2，5，6，12，13， 3，4，5，12，16， 3，4，6，8，9，3，5，6，7，10，4，5，6，14，15。 例 10 集合1，2，3n可以划分成个互不相交的三元集合 正整数 ，其中，求满足条件的最小 【解】 设其中第 个三元集为则 1+2+ 所以。 当为偶数时， 有， 所以， 当为奇数时， 有， 所以， 当 时，集合1，11，4，2，13，5，3，15，6，9，12，7，10，14，8满足条件，所以的最小值为 5。 三、基础训练题 1给定

12、三元集合，则实数的取值范围是。 5 / 67 2若集合 3集合 4已知集合 5已知 6若非空集合 S 满足 7集合 8若集合 9集合 10集合 。 ，其中， ，且 ，且若 的非空真子集有个。 中只有一个元素，则。 ，若，则由满足条件的实数组成的集合。 ，则常数的取值范围是。 ，则 之间的关系是。 且 ，且 ，若，则 A 中元素之和是。 ，则满足条件的 ，则 值构成的集合为。 ，那么符合要求的集合S 有个。 11已知 S 是由实数构成的集合，且满足1） 少个元素？说明理由。 12已知 四、高考水平训练题 1已知集合 2 ，则 3已知集合 。 ）若，则。如果，S 中至少含有多 ，又 C 为单元素集

13、合，求实数的取值范围。 ，且，则，。 ，当时，实数的取值范围是。 4若实数为常数，且 5集合 6集合 7集合 。 ，若 ，则 ，且，则 ，则。 中的最小元素是。 。 8已知集合，且，则的取值范围是。 6 / 67 9设集合 在，使得，并证明你的结论。 ，问：是否存 10 集合 A 和 B 各含有 12 个元素， 且 C 中含有 3 个元素；2）。 含有 4 个元素， 试求同时满足下列条件的集合C 的个数： 1） 11判断以下命题是否正确：设A，B 是平面上两个点集， ，则必有 五、联赛一试水平训练题五、联赛一试水平训练题 ，证明你的结论。 ，若对任何，都有 1已知集合 2集合 是。 3已知集合

14、 4 已知集合 构成的集合，则 5集合 N 的关系是。 6设集合 7非空集合 8已知集合 A，B，（不必相异）的并集 是。 9已知集合 ，集合 A 满足：，且当 ， 则使 。 ，集合 ，其中，且 的子集 B 满足：对任意的 ，则实数的取值范围是。 ，则集合 B 中元素个数的最大值 ，若，则实数 ， 若 。 是平面上正八边形的顶点所 ，则集合 M 与 时，则 A 中元素最多有个。 成立的所有的集合是。 , 则满足条件的有序三元组（A，B，C）个数 ，问：当取何值时， 为恰有 2 个元素的集合？说明理由，若改为3 个元素集合，结论如何？ 10求集合 B 和 C，使得 11S 是 Q 的子集且满足：

15、若 ，试确定集合 S。 12集合1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的若干个五元子集满足：S 中的任何两个元素至多出现在两个不同的 五元子集中，问：至多有多少个五元子集？ 六、联赛二试水平训练题六、联赛二试水平训练题 ，则 ，并且 C 的元素乘积等于 B 的元素和。 恰有一个成立，并且若，则 7 / 67 1 求证： 是三个非空整数集， 已知对于 1， 2， 3 的任意一个排列 中必有两个相等。 ， 如果， 则。 2求证：集合1，2，1989可以划分为 117 个互不相交的子集 17 个元素；（2）每个中各元素之和相同。 ，使得（1）每个恰有 3某人写了封信，同时写了个信封，然后将信任意装入

16、信封，问：每封信都装错的情况有多少种？ 4设是 20 个两两不同的整数，且整合 中不同元素个数的最小可能值。 5设 S 是由 6 对于整数 个人组成的集合。求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数。 ， 求出最小的整数， 使得对于任何正整数， 集合的任一个 中有 201 个不同的元素，求集合 元子集中，均有至少 3 个两两互质的元素。 7 设集合1， 2， ， 50， 求最小自然数， 使S的任意一个元子集中都存在两个不同的数a和b， 满足 8集合，试作出 X 的三元子集族 当 x0n 时，f(x)在m, n上的最小值为 f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。 定义 1 能判断真

17、假的语句叫命题，如“ 35”是命题， “萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、 “且”、 “非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。 注 1 “p 或 q”复合命题只有当 p，q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且 q”复合命题只有当 p，q 同时 为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非 p”即“p”恰好一真一假。 定义 2 原命题：若p 则 q（p 为条件，q 为结论）；逆命题：若q 则 p；否命题：若非p 则 q；逆否命题：若非q 则非 p。 注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，

18、而未必是证明原命题的逆否命题。 定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真，则记为否则记作.在命题“若 p 则 q”中，如果已知,则 p 是 q 的充 分条件； 如果， 则称 p 是 q 的必要条件； 如果但 q 不p， 则称 p 是 q 的充分非必要条件； 如果 p 不q 但， 则 p 称为 q 的必要非充分条件；若且，则 p 是 q 的充要条件。 二、方法与例题 1待定系数法。 例 1 设方程 x21=0 的两根是 ， ，求满足 f( )= ( )= (1)=1 的二次函数 f(x). 【解】 设 f(x)2(a0), 则由已知 f( )= ( )= 相减并整理得（ - ）（ + ）1=0，

19、 因为方程 x21=0 中0， 所以 ，所以( + )1=0. 又 + =1,所以 1=0. 又因为 f(1)1， 所以 1=1，所以 2. 又(1)，所以 f(x)2-(1)2. 再由 f( )= 得 a 2-(1) +2= , 所以 a 2 +2= + =1，所以 a2 +1=0. 即 a( 2- +1)+10,即 10， 所以 1, 所以 f(x)2-22. 2方程的思想。 例 2 已知 f(x)2满足-4f(1)-1, -1f(2)5，求 f(3)的取值范围。 【解】 因为-4f(1)-1, 所以 1(1)4. 又-1f(2)=45, f(3)(2)(1), 9 / 67 所以(-1)

20、+f(3)5+4, 所以-1f(3)20. 3利用二次函数的性质。 例 3 已知二次函数 f(x)2(R, a0)，若方程 f(x)无实根，求证：方程 f(f(x)也无实根。 【证明】若 a0，因为 f(x)无实根，所以二次函数 g(x)(x)图象与 x 轴无公共点且开口向上， 所以对任意的 x(x)0 即 f(x)x，从而 f(f(x)f(x)。 所以 f(f(x)x，所以方程 f(f(x)无实根。 注：请读者思考例 3 的逆命题是否正确。 4利用二次函数表达式解题。 例 4 设二次函数 f(x)2(a0)，方程 f(x)的两根 x1, x2满足 0x1x2 （）当 x(0, x1)时，求证

21、：xf(x)x1； , （）设函数 f(x)的图象关于 0 对称，求证：x0 【证明】 因为 x1, x2是方程 f(x)0 的两根，所以 f(x)(1)(2)， 即 f(x)(1)(2). （）当 x(0, x1)时，10, 20，所以 f(x)x. 其次 f(x)1=(1)a(2)+1(1)2+ 综上，xf(x)x1. （）f(x)(1)(2)2+1(x12)1x2, 0，所以 f(x)1，求证：方程的正根比1 小，负根比-1 大。 【证明】 方程化为 2a2x2+212=0. 构造 f(x)=2a2x2+212, f(1)=(1)20, f(-1)=(1)20, f(0)=120， 所以

22、 f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。 即方程的正根比 1 小，负根比-1 大。 6定义在区间上的二次函数的最值。 例 6 当 x 取何值时，函数取最小值？求出这个最小值。 【解】 1-,令u,则 0u1。 10 / 67 5u21=5, 且当即3 时，. 例 7 设变量 x 满足 x2(b-1)，并且 x2的最小值是 【解】 由 x2(b-(1)，即 b-2 时，x2在0，-(1)上是减函数， 所以 x2的最小值为 11. 综上，. 7.一元二次不等式问题的解法。 例 8 已知不等式组的整数解恰好有两个，求a 的取值范围。 【解】 因为方程 x22=0 的两根为 x1, x2=

23、1, 若 a0，则 x1x2.的解集为 ax1-2a. 因为 1-2a1，所以 a0,所以不等式组无解。 若 a0，）当 0a时，x1x2,的解集为 ax1. 因为 0ax1时，a1，由得 x1-2a， 所以不等式组的解集为 1x1 且(1)3， 所以 1a2，并且当 1a2 时，不等式组恰有两个整数解0，1。 综上，a 的取值范围是 10，=()2()2-4()20 恒 成立，所以()2-40，即 A2222() 同理有 B0，C0，所以必要性成立。 再证充分性，若 A0，B0，C0 且 A2222()， 1）若 0，则由 B222 得()20，所以，所以=0，所以成立，成立。 2）若 A0

24、，则由知0，所以成立，所以成立。 综上，充分性得证。 9常用结论。 定理 1 若 a, bR, . 【证明】 因为ab，所以-(), 所以（注：若 m0，则xm 等价于m）. 又, 即.综上定理 1 得证。 定理 2 若R, 则 a222；若,则 (证略) 注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。 三、基础训练题 1下列四个命题中属于真命题的是，“若0，则 x、y 互为相反数”的逆命题；“两个全等三角形的面积相 等”的否命题；“若 q1，则 x20 有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。 2由上列各组命题构成“p 或 q”，“p 且 q”

25、，“非p”形式的复合命题中，p 或 q 为真，p 且 q 为假，非 p 为 真的是.p；3 是偶数，q：4 是奇数；p:3+2=6:():a; p: 3. 当 2|a 时，不等式 2-4|0 的解是 1x2，则 a, b 的值是. 5. x1 且 x2 是 1 , q: . 的条件，而-2m0 且 0n1 是关于 x 的方程 x20 有两个小于 1 的正根的条件. 6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是. 7.若2+52=0的子集至多有 2 个，则 m 的取值范围是. 8. R 为全集，34, 则(). 9. 设 a, b 是整数，集合()|()2+3b6y，点（2，1）A，

26、但点（1，0）A，（3，2）A 则的值是. 10设集合0，则集合A 且B. 11. 求使不等式 2+41-2x2对任意实数 x 恒成立的 a 的取值范围。 12对任意 x0,1,有成立，求 k 的取值范围。 四、高考水平训练题 1若不等式0 当1 时恒成立的 x 的取值范围是. 3若不等式 2410, 5|0 和 a2x2220 解集分别为 M 和 N，那么 “ 是“”的条件。 6若下列三个方程 x2+443=0, x2+(1)2=0, x2+220 中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是. 12 / 67 ” 7已知 p, q 都是 r 的必要条件，s 是 r 的充分条件，q 是 s

27、 的充分条件，则 r 是 q 的条件。 8已知 p: |12, q: x2-2120(m0)，若非 p 是非 q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是. 9已知 a0，f(x)2，对任意 xR 有 f(2)(2)，若 f(1-2x2)0 且1 时，g(x)最大值为 2，求 f(x). 11.设实数满足条件： 五、联赛一试水平训练题五、联赛一试水平训练题 1不等式 3-2x2-430，求证：方程 20 有一根 x 0 满足 0x00，当函数的最小值取最大值时，23. 4. 已知 f(x)1-2, x0,1，方程 f(f(f)(x)有个实根。 5若关于 x 的方程 4x2-40 在-1，1上至

28、少有一个实根，则m 取值范围是. 6若 f(x)432对一切 xR 都有 f(x)x 且 f(1)=1，则 2. 7. 对一切 xR，f(x)2(a、=、） 9若 abc100，试问满足(x)|50 的整数 x 最多有几个？ 2设函数 f(x)2+83(a1)，使得存在 tR，只要 x1, m就有 f()x. 7.求证：方程 32+2()=0(b0)在(0,1)内至少有一个实根。 8设, aA, bB，若 n 个正数 a1, a2,位于 a 与 A 之间，n 个正数 b1, b2,位于 b 与 B 之间，求证： 9设为实数，g(x)2, 1，求使下列条件同时满足的a, b, c 的值： （）=

29、381; （）g(x)444; （）g(x)364. 高中数学竞赛讲义（三）高中数学竞赛讲义（三） 函数函数 一、基础知识一、基础知识 定义 1 映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则 f，若对 A 中的任意一个元素 x，在 B 中都有唯一一个元素 与之对应，则称 f: AB 为一个映射。 定义 2 单射，若 f: AB 是一个映射且对任意 x, yA, 都有 f(x)f(y)则称之为单射。 定义 3 满射，若 f: AB 是映射且对任意 yB，都有一个 xA 使得 f(x)，则称 f: AB 是 A 到 B 上的满射。 定义 4 一一映射，若 f: AB 既是单射又是满射，则叫做一一映射，

30、只有一一映射存在逆映射，即从B 到 A 由 相反的对应法则 1构成的映射，记作1: AB。 定义 5 函数，映射f: AB 中，若A，B 都是非空数集，则这个映射为函数。 A 称为它的定义域，若xA, yB， 且 f(x)（即 x 对应 B 中的 y），则 y 叫做 x 的象，x 叫 y 的原象。集合f(x)A叫函数的值域。通常函数由解析式给出， 此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数3-1 的定义域为0R. 定义 6 反函数，若函数f: AB（通常记作(x)）是一一映射，则它的逆映射1: AB 叫原函数的反函数，通常写 作 1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式(x)

31、中反解 x 得1(y)，然后将x, y 互换得1(x)，最后指出反函数的定义域即原 函数的值域。例如：函数的反函数是 1-(x0). 定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线对称。 定理 2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义 7 函数的性质。 （1）单调性：设函数f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2I 并且 x1 x2，总有 f(x1)f(x2)，则称 f(x)在区 间 I 上是增（减）函数，区间I 称为单调增（减）区间。 （2）奇偶性：设函数 (x)的定义域为 D，且D 是关于原点对称的数集，若对于任意的xD，都有f()(x)，则称f(x) 是

32、奇函数；若对任意的 xD，都有 f()(x)，则称 f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴 对称。 14 / 67 （3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x 取定义域内每一个数时，f()(x)总成立，则 称 f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。 定义 8 如果实数 ab，则数集xb, xR叫做开区间，记作（），集合xR记作闭区间，集合x b记作半开半闭区间（，集合xa记作开区间（a, +），集合a记作半开 半闭区间（-. 定义 9 函数的图象，点集()(x),

33、xD称为函数(x)的图象，其中 D 为 f(x)的定义域。通过画图不难得出函数(x) 的图象与其他函数图象之间的关系(0)； （1）向右平移 a 个单位得到()的图象； （2）向左平移 a 个单位得到()的图象； （3）向下平移b 个单位得到(x)的图象；（4）与函数()的图象关于 y 轴对称；（5）与函数()的图象关于原点成中心对 称；（6）与函数 1(x)的图象关于直线对称；（7）与函数(x)的图象关于 x 轴对称。 定理 3 复合函数g(x)的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如, 2 在（-,2）上是减函数，在（0， +）上是减函数，所以在（-,2）上是增函数。 注：复合函数单调性的

34、判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。 二、方法与例题 1数形结合法。 例 1 求方程 1的正根的个数. 【解】 分别画出 1|和 例 2 求函数 f(x)= 的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。 的最大值。 【解】 f(x)= 示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。 ，记点 P(x, x?2)，A（3，2），B（0，1），则 f(x)表 因为 所以 f(x) ,当且仅当 P 为延长线与抛物线 2的交点时等号成立。 2.函数性质的应用。 15 / 67 例 3 设 x, yR，且满足，求. 【解】 设 f(t)3+1997t，先证f(t)在（-，+）上递增

35、。事实上，若a0，所 以 f(t)递增。 由题设 f(1)1(1)，所以 1=1，所以 2. 例 4 奇函数 f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又 f(1)(12)0，求 a 的取值范围。 【解】 因为 f(x) 是奇函数，所以 f(12)(a2-1)，由题设 f(1)f(a2-1)。 又 f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-11a2-11，解得 0a1。 例 5 设 f(x)是定义在（-，+）上以 2 为周期的函数，对 kZ, 用表示区间(21, 21，已知当 xI0时，f(x)2， 求 f(x)在上的解析式。 【解】 设 x，则 210，则由得n0，设f(t)(+1),则 f(

36、t)在（0，+）上是增函数。又f(m)()，所以，所以31+23=0， 所以 )若 m0。同理有 0,但与 m0 矛盾。 综上，方程有唯一实数解 3.配方法。 例 7 求函数的值域。 【解】21+2+1-1 =(+1)-1-1. 当时，y 取最小值-，所以函数值域是-，+）。 4换元法。 例 8 求函数(2)(+1)0,1的值域。 16 / 67 【解】令，因为x0,1，所以2u2=2+24,所以u2,所以2， 12，所以 2 +2，8。 ，8。所以该函数值域为2+ 5判别式法。 例 9 求函数的值域。 【解】由函数解析式得(1)x2+3(1)44=0. 当 y1 时，式是关于 x 的方程有实

37、根。 所以=9(1)2-16(1)20，解得y1. 又当 1 时，存在 0 使解析式成立， 所以函数值域为，7。 6关于反函数。 例 10 若函数(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(- )上递增，求证：1(x)在(- )上也是增 函数。 【证明】设 x1x2, 且 y11(x1), y21(x2)，则 x1(y1), x2(y2)，若 y1y2，则因为 f(x)在(- )上递增，所以 x1x2与假 设矛盾，所以 y1y2。 即 1(x)在(- )递增。 例 11 设函数 f(x)=，解方程：f(x)1(x). 【解】 首先 f(x)定义域为 （-， -） -， +） ； 其次

38、， 设 x1, x2是定义域内变量， 且 x1x20, 所以 f(x)在（-，-）上递增，同理 f(x)在-，+）上递增。 在方程 f(x)1(x)中，记 f(x)1(x)，则 y0，又由 1(x)得 f(y)，所以 x0,所以- 若，设 xy，则 f(x)y 也可得出矛盾。所以. 即 f(x)，化简得 3x5+2x4-41=0, 即(1)(3x4+5x3+5x2+51)=0, 因为 x0，所以 3x4+5x3+5x2+510，所以 1. 三、基础训练题 ，+）. 17 / 67 1已知-1, 0, 1, -2, -1, 0, 1, 2，映射f：XY 满足：对任意的xX，它在Y 中的象 f(x

39、)使得(x)为偶数，这样的 映射有个。 2给定1，2，3，-1，0，1和映射 f：XY，若 f 为单射，则 f 有个；若 f 为满射，则 f 有个；满足 ff(x) (x) 的映射有个。 3若直线(2)与函数 2+2x 图象相交于点（-1，-1），则图象与直线一共有个交点。 4函数(x)的值域为，则函数 g(x)(x)+的值域为。 5已知 f(x)=，则函数 g(x)f(x)的值域为。 6已知 f(x)，当 x3 时 f(x)为增函数，则 a 的取值范围是。 7设(x)在定义域（ 8若函数 ，2）内是增函数，则(x2-1)的单调递减区间为。 1 (x)存在反函数(x)，则 1(x)的图象与 (

40、)的图象关于直线对称。 9函数 f(x)满足 10. 函数 =1-，则 f()。 , x(1, +)的反函数是。 11求下列函数的值域：（1） 12. 已知 ; (2); (3)2; (4) 定义在 R 上，对任意xR, f(x)(2)，且 f(x)是偶函数，又当x2,3时，f(x)，则当x-2,0时， 求 f(x)的解析式。 四、高考水平训练题 1已知 a, f(x)定义域是（0,1，则 g(x)()()(x)的定义域为。 2设 0a1 时，f(x)=(1)x2-61 恒为正值。则 f(x)定义域为。 3映射 f: a, b, c, d1，2，3满足 10f(a)f(b)f(c)f(d)0，

41、函数 f(x)定义域为 R，且 f()=，求证：f(x)为周期函数。 11设关于x 的方程 2x22=0 的两根为 ， （ ），已知函数f(x)=,（1）求f( )、f( )；（2）求证： f(x)在 ， 上是增函数；（3）对任意正数 x1, x2，求证：0，a1(x)是奇函数，则 G(x)(x)是（奇偶性）. 3若，则下列等式中正确的有.F(-2)2(x)；F()=；F(1)(x)；F(F(x). 4.设函数 f：R RR R 满足 f(0)=1，且对任意R R，都有 f(1)(x)f(y)(y)2，则 f(x). 5 已知 f(x)是定义在 R R 上的函数， f(1)=1， 且对任意 x

42、R R 都有 f(5)f(x)+5, f(1) f(x)+1。 若 g(x)(x)+1， 则 g(2002)= . 6. 函数 f(x)=的单调递增区间是. 7. 函数 f(x)= 8. 函数 的奇偶性是：奇函数，偶函数（填是，非）。 的值域为. 9设 f(x)=, 对任意的 aR R，记 V(a)f(x)1, 3f(x)1, 3，试求 V(a)的最小值。 10解方程组：（在实数范围内） 19 / 67 11设 k, f: 满足：（1）f(x)严格递增；（2）对任意 n, 有 ff(n)，求证：对任意 n, 都有nf(n) 六、联赛二试水平训练题六、联赛二试水平训练题 1求证：恰有一个定义在所

43、有非零实数上的函数f，满足：（1）对任意 x0, f(x)f 且0，有 f(x)(y)=1(). ；（2）对所有的 x 2.设 f(x)对一切 x0 有定义，且满足：（）f(x)在（0，+）是增函数；()任意 x0, f(x) f(1). 1，试求 3. f:0,1R R 满足：（1）任意 x0, 1, f(x)0；（2）f(1)=1；（3）当 x, y, 0, 1时，f(x)(y)f()，试求最小常 数 c，对满足（1），（2），（3）的函数 f(x)都有 f(x). 4. 试求 f()=6(x22)()-4(x22)-3()+5(x0, y0)的最小值。 5对给定的正数(0, 1)，有1p

44、22，试求 f(x)=(1)+在1上的最大值。 6已知 f: (0,1)R R 且 f(x)=. 当 x时，试求 f(x)的最大值。 7函数 f(x)定义在整数集上，且满足f(n)=，求 f(100)的值。 8函数(x)定义在整个实轴上， 它的图象在围绕坐标原点旋转角 试给出一个具有上述性质的函数。 后不变。 （1）求证：方程 f(x)恰有一个解； （2） 9设是正有理数的集合，试构造一个函数f: ，满足这样的条件：f(y), y. 高中数学竞赛讲义（四）高中数学竞赛讲义（四） 几个初等函数的性质几个初等函数的性质 一、基础知识一、基础知识 1指数函数及其性质：形如(a0, a1)的函数叫做指

45、数函数，其定义域为R，值域为（0，+），当0a1 时，为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。 20 / 67 2分数指数幂：。 3对数函数及其性质：形如(a0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+），值域为 R R，图象过定点 （1，0）。当 0a1 时，为增函数。 4对数的性质（M0, N0）； 1）(a0, a1)； 2）a()= aa N； 3）a（）= aa N；4）a a M；， 5）a a a M；6） ; 7)a (0, a, c1). 5. 函数（a0）的单调递增区间是和，单调递减区间为和。（请读者自 己用定义证明） 6连续函数的性质：若ab, f(x)在a, b上连

46、续，且 f(a)f(b)0. 【证明】 设 f(x)=()1 (x(-1, 1)，则 f(x)是关于 x 的一次函数。 所以要证原不等式成立，只需证f(-1)0 且 f(1)0（因为-1a0， f(1)(1)(1)0， 所以 f(a)0，即 10. 例 2 （柯西不等式）若a1, a2,是不全为 0 的实数，b1, b2,R R，则（ 号当且仅当存在R R，使 a, 1, 2, , n 时成立。 ）（）()2，等 【证明】 令 f(x)= （）x2-2(), 因为0，且对任意 xR R, f(x)0， 所以=4()-4（）()0. 展开得（）()()2。 ，使 a, 1, 2, , n。等号成

47、立等价于 f(x)=0 有实根，即存在 例 3 设 x, y, , c 为常数且 c(0, 2，求 21 / 67 的最小值。 【解】2 2. 令，则 0,设 f(t),0t 因为 0c2，所以 00，所以= 例 5 对于正整数 a, b, c(abc)和实数 x, y, z, w，若 70w，且 【证明】 由 70w取常用对数得 70. ，求证：. 所以70,70,70， 相加得()70，由题设， 所以 70，所以 70. 所以 70=257. 若 1，则因为 70，所以 0 与题设矛盾，所以 a1. 又 abc，且 a, b, c 为 70 的正约数，所以只有 2, 5, 7. 所以. 例

48、 6 已知 x1,1, a1, c1. 且 2，求证 c2=(). 【证明】 由题设 2，化为以 a 为底的对数，得 22 / 67 ， 因为0,1，所以 2，所以 c2=(). 注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。 3指数与对数方程的解法。 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。 值得注意的是函数单调性的应用和未知数范 围的讨论。 例 7 解方程：34 x +5 x =6 x. 【解】 方程可化为 为 f(3)=1，所以方程只有一个解3. =1。设 f(x)=, 则 f(x)在(-)上是减函数，因 例 8 解方程组：（其中 x, y）. 【解】

49、 两边取对数，则原方程组可化为 把代入得()236，所以()2-360. 由 0 得 1，由()2-36=0(x, y)得 6， 代入得 2，即 2，所以 y26=0. 又 y0，所以 2, 4. 所以方程组的解为 例 9 已知 a0, a . 1，试求使方程()2(x22)有解的 k 的取值范围。 【解】由对数性质知，原方程的解x 应满足 若、同时成立，则必成立， . 故只需解 由可得 2(12)， . 当 0 时，无解；当 k0 时，的解是，代入得k. 若 k1，所以 k0，则 k21，所以 0k1. 综上，当 k(-1) (0, 1)时，原方程有解。 三、基础训练题三、基础训练题 1命题

50、 p: “(23)(53)x(23)(53)”是命题 q:“0”的条件。 2如果 x1是方程 27 的根，x2是方程 1027 的根，则 x12. 1 3 已知 f(x)是定义在 R R 上的增函数， 点 A （-1， 1） ， B （1， 3） 在它的图象上，(x)是它的反函数， 则不等式 1( 2x)|1 的解集为。 23 / 67 4若 2a 0，则 a 取值范围是。 5命题 p: 函数 2 在2，+）上是增函数；命题 q: 函数 2( 2-41)的值域为 R，则 p 是 q 的条件。 6若 0b0 且 a1，比较大小：(1)(1). 7已知 f(x)=23x, x1, 3，则函数f(x

51、)2(x2)的值域为。 8若，则与 x 最接近的整数是。 9函数的单调递增区间是。 10函数 f(x)=的值域为。 11设f(x)1+23 x +(1) x xa，其中n 为给定正整数, n2, aR R.若 f(x)在 x(-,1时有意义，求 a 的取值范 围。 12当 a 为何值时，方程 四、高考水平训练题四、高考水平训练题 =2 有一解，二解，无解？ 1函数 f(x)(x2-1)的定义域是. 2已知不等式 x20 在 x时恒成立，则 m 的取值范围是. 3若 x22，则 x2, x, 1 从大到小排列是. 4. 若 f(x)，则使 f(a)(b). 5. 命题 p: 函数 2 在2，+）

52、上是增函数；命题 q：函数 2( 2-41)的值域为 R R，则 p 是 q 的条件. 6若 0b0 且 a1，比较大小：a(1)| a(1)|. 7已知 f(x)=23x, x1, 3，则函数f(x)2(x2)的值域为. 8若，则与 x 最接近的整数是. 9函数的单调递增区间是. 24 / 67 10函数 f(x)=的值域为. 11设 f(x)1+23 x +(1) x xa，其中 n 为给定正整数，n2R。若 f(x) 在 x(-,1时有意义，求a 的取值 范围。 12当 a 为何值时，方程 四、高考水平训练题 =2 有一解，二解，无解？ 1函数 f(x)(x2-1)的定义域是. 2已知不

53、等式 x210, y10, 1000，则()()的取值范围是. 7若方程()=2(1)只有一个实数解，则实数k 的取值范围是. 8函数 f(x)=的定义域为 R，若关于 x 的方程 f?2(x)(x)0 有 7 个不同的实数解，则 b, c 应满 足的充要条件是. （1）b0；（2）b0 且 c0；（3）b0 且 0；（4）b0 且 0。 9已知 f(x), F(x)()()(t0)，则 F(x)是函数（填奇偶性）. 10已知 f(x)，若=1，=2，其中1, 1，则 f(a)(b). 11设 aR R ，试讨论关于 x 的方程(1)(3)()的实数解的个数。 12设 f(x)，实数 a, b

54、 满足 0ab, f(a)(b)=2f （1）a4+2a2-41=0, b4-4b3+2b2+1=0；（2）3b0 且 a1, f(x)()(x1)，（1）求 f(x)的反函数 1(x)；（2）若1(n) x1 x2 x30，都有1993+1993+19931993 恒成立，则 k 的最大值为. 3实数 x, y 满足 4x2-54y2=5，设 22，则 的值为. 4已知 0b1, 00 1, b1，且()，求(1)(1). +20 的解集为. 10（1）试画出由方程所确定的函数(x)图象。 （2）若函数与(x)的图象恰有一个公共点，求a 的取值范围。 +=2n+3n+。11对于任意 n(n1

55、)，试证明： 六、联赛二试水平训练题六、联赛二试水平训练题 1设 x, y, z且 1，求的最小值。 2当 a 为何值时，不等式5(x26)30 有且只有一个解（a1 且 a1）。 f(y)3 f(x)是定义在 （1， +） 上且在 （1， +） 中取值的函数， 满足条件； 对于任何 x, y1 及 u, v0, f()f(x) 都成立，试确定所有这样的函数f(x). 4. 求所有函数 f：R RR R，使得(x)(x)=()f()成立。 5设 m14 是一个整数，函数 f：N NN N 定义如下： f(n)=, 求出所有的 m,使得 f(1995)=1995. 6求定义在有理数集上且满足下列

56、条件的所有函数f: f()(x)(y)(x)f(y), x, yQ Q. 7是否存在函数 f(n)，将自然数集 N 映为自身，且对每个n1, f(n)(f(1)(f(1)都成立。 26 / 67 8设 p, q 是任意自然数，求证：存在这样的 f(x) Z(x)（表示整系数多项式集合） ，使对 x 轴上的某个长为的 开区间中的每一个数 x, 有 9设 ， 为实数，求所有 f: R R ，使得对任意的, f(x)f(y)2f成立。 高中数学竞赛讲义（五）高中数学竞赛讲义（五） 数列数列 一、基础知识一、基础知识 定义 1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，n，. 数列分有穷数列和无穷数列

57、两种，数列的一 般形式通常记作 a1, a2, a3,，或 a1, a2, a3,，。其中 a1叫做数列的首项，是关于n 的具体表达式，称为数列的通 项。 定理 1 若表示的前 n 项和，则 S11, 当 n1 时，1. 定义 2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有 1（常数），则称为等差数列，d 叫做公差。若三个数 a, b, c 成等差数列，即 2，则称 b 为 a 和 c 的等差中项，若公差为d, 则, . 定理 2 等差数列的性质：1）通项公式 1+(1)d；2）前 n 项和公式： ；3）()d，其 中 n, m 为正整数；4）若，则 q；5）对任意正整数 p, q，恒有()(a21

58、)；6）若 A，B 至少有一个不为零，则是等差数 列的充要条件是 2. 定义 3 等比数列，若对任意的正整数n，都有，则称为等比数列，q 叫做公比。 定理 3 等比数列的性质：1）11；2）前 n 项和，当 q1 时，；当 1 时，1；3）如果 a, b, c 成等比数 列，即 b2(b0)，则 b 叫做 a, c 的等比中项；4）若，则。 定义 4 极限，给定数列和实数 A，若对任意的0，存在 M，对任意的 nM(nN N ),都有，则称 A 为 n+ 时数列的极限，记作 定义 5 无穷递缩等比数列， 若等比数列的公比 q 满足1， 则称之为无穷递增等比数列， 其前 n 项和的极限 （即 其

59、所有项的和）为（由极限的定义可得）。 定理 3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当 p(n)时成立时能推出 p(n)对 1 成立，则 由（1），（2）可得命题 p(n)对一切自然数 nn0成立。 27 / 67 竞赛常用定理竞赛常用定理 定理 4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若： （1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切 nk 的自然数 n 都成立时（k n0）可推出 p(1)成立，则由（1），（2）可得命题 p(n)对一切自然数 nn0成立。 定理 5 对于齐次二阶线性递归数列 12，设它的特征方程 x 2的两个根为 , :(1)若 ，则 1 1 2 1，其中 c 1, c2 由初始条件 x1, x2的值确定；(2)若 = ，则(c12) 1，其中 c 1, c2 的值由 x1, x2的值确定。 二、方法与例题二、方法与例题 1不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律， 当然结论未必都是正确的， 但却是人类探索未知世界的普遍方