7月22日下午讲座.ppt

1、连云港市教育科学研究所 孙朝仁,数学实验的,研究与实践,2012.7.22 盐城,新课程的核心理念就是 “教与学方式的转变”,课题: 动手做数学数学实验课程的设计与开发研究 （2009年江苏省教育科学规划重点资助课题）,数学学习的四个层次:,“算”数学 “想”数学 “做”数学 “用”数学,动手做数学,数学实验,数学综合实践应用,课题学习,研究领域,研究载体,研究方向,方式：研究性学习,一、比较研究：数学实验与综合实践,二、内容剖析：数学实验研究概述,四、考核评价：考查实验活动进入视野,内容导航,三、教学策略：数学实验操作流程,一、比较研究：数学实验与综合实践,1.从内涵来看,“综合与实践”是一

2、类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题。,数学实验是让学生借助于一定的物质仪器或技术手段，并在数学思想和数学理论的指导下，借助于对实验素材进行数学化的操作来学（理解）数学、用（解释）数学或做（建构）数学的一类数学学习活动,一、比较研究：数学实验与综合实践,2.从特点与功能来看,“综合与实践”： （1）以问题为载体； （2）以学生为主体； （3）以综合为内容。 直观性；综合性；实践性；开放性；应用性,“数学实验”： （1）以问题为载体； （2）以物质仪器或信息技术为手段； （3）以学生为主体。 直观性

3、；操作性；反复性；探索性；应用性,一、比较研究：数学实验与综合实践,3.从目标指向来看,“综合与实践”： 目标指向不很明确，以问题为载体，重在综合，注重与生活实际、其他学科以及学科内部的联系。,“数学实验”： 目标指向明确，注重实验结果或得到实验结识，非综合，直观性强，问题具体而明确，不一定要活动。,二、内容剖析：数学实验研究概述,1.数学实验的历史溯源,从历史沿革来看，国外的数学实验研究较早. 90年代中后期，数学实验在国内许多高校开展了实践探索 2001年8月在无锡马山召开的“全国数学科学方法论与数学创新教育学术交流会”上，中国社会科学院哲学所林夏水先生在计算机实验报告中建议，可以在中学开

4、设数学实验随后，在各类数学教学研究刊物上，不断有“数学实验”的提法,尤以2000年2003年以及2007年2009年最多近年来，涉及数学实验的研究课题越来越多。,二、内容剖析：数学实验研究概述,2.“数学实验”概念的界定,侧重于问题情境的描述，“数学实验是教师根据表现某一数学问题的各种元素创设的一个问题情境，在这一情境下，学生通过观察、操作、实践、试验等活动，自己发现问题、提出问题、验证问题，总结新结论” 侧重于操作层面进行描述，“数学实验是为了探究数学知识、检验数学结论(或假设)而进行的某种操作或思维活动数学实验教学是指恰当运用数学实验，创设问题情境，引导学生参与实践、自主探索、合作交流，而

5、发现问题、提出猜想、验证猜想和创造性解决问题的教学活动”,二、内容剖析：数学实验研究概述,2.“数学实验”概念的界定,从数学建模的视角给出定义,“数学实验是一种新的数学教学和数学学习模式，它是实验者根据实际问题的特点和要求，经反复思考和研究后，作出某些合理的假设，使问题在不致失真的情况下得到简化，并进行抽象和概括，建立数学模型，然后研究所建立的数学模型的方法与算法，求得结果并将结果反回到实际问题中去检验和解释” 综合上面的各个角度进行描述，认为“数学实验是把表现一个数学问题的各种元素构成一个程序，即构建一个问题情境在这个情境下，由教师或学生对各元素进行有控制的操作通过对各种情境的变换，让学生去

6、发现问题、验证问题，总结新结论”,二、内容剖析：数学实验研究概述,2.“数学实验”概念的界定,我们的“动手做数学数学实验课程的设计与开发”研究课题中的数学实验与上述的种种论述有相似之处，也有区别 我们认为 “数学实验”概念可以界定为： 数学实验是通过动手动脑“做”数学的一种数学学习活动，是学生运用有关工具或技术（如纸张、剪刀、模型、测量工具、作图工具以及计算机等），在数学思维活动的参与下进行的一种以人人参与的实际操作为特征的数学验证或探究活动,二、内容剖析：数学实验研究概述,3.“数学实验”特征及其教学价值,观点一：数学实验的价值表现在 “运用实物模型深化对数学概念的理解、通过实验操作体现知识

7、的形成过程、通过实验操作可以概括数学知识、通过实验操作可以发现和验证数学规律、通过实验操作可以获得重要的数学定理、通过实验操作帮助学生形成估算意识”。,观点二：数学实验的价值在于“运用实物模型深化数学概念、通过实验操作体验知识的形成过程、通过实验操作探究解题思路、通过实验操作培养学生的创造能力、通过实验操作验证和发现数学规律”。,二、内容剖析：数学实验研究概述,3.“数学实验”特征及其教学价值,董林伟主任观点： （1）数学实验可以激发学生的兴趣，从而引导学生主动参与学习过程； （2）数学实验可以使抽象数学形象化，让学生容易理解数学的本质意义； （3）数学实验可以帮助学生学会思考，寻求到解决问题

8、的途径与方法； （4）数学实验可以让学生手脑结合，在体验的过程中积累活动经验； （5）数学实验可以让学生享受成功，培养学生的积极的学习情感。,二、内容剖析：数学实验研究概述,4.初中开展数学实验的可行性分析,（1）从师生对待数学实验的态度调查来看，为中学开展数学实验提供了人力资源,二、内容剖析：数学实验研究概述,4.初中开展数学实验的可行性分析,（1）从师生对待数学实验的态度调查来看，为中学开展数学实验提供了人力资源,显示：男、女生对待数学实验的态度均好于学习态度和学习信心，女生比男生更好一些，这说明对学生来说他们喜欢数学实验这种教学形式；,二、内容剖析：数学实验研究概述,4.初中开展数学实验

9、的可行性分析,（1）从师生对待数学实验的态度调查来看，为中学开展数学实验提供了人力资源,显示：不同学习层次的学生在学习态度、实验态度、学习信心方面基本一致，这说明在中学开展数学实验具有普适性。,二、内容剖析：数学实验研究概述,4.初中开展数学实验的可行性分析,（1）从师生对待数学实验的态度调查来看，为中学开展数学实验提供了人力资源,教师对数学实验的态度是： 20%的教师希望由少数人对数学实验进行专门研究，然后开设培训课，推向全体教师； 10%的教师认为应该各自独立研究，然后交流各自研究成果； 70%的教师则认为边学习、边研究、边讨论，然后交流成果。 这说明从教师层面来说，绝大部分教师还是认同在

10、中学开展数学实验，同时，也愿意亲身实践、共同开发数学实验。,二、内容剖析：数学实验研究概述,4.初中开展数学实验的可行性分析,（2）从学生年龄特点与认知规律来看，中学生适合开展数学实验,从感知觉能力方面的发展来看，中学生处于显著提高的转折点。 从记忆和注意能力发展方面来看，初中生识记的有意性在初中阶段经历逐步得到发展 从数学思维发展方面来看，中学生的抽象逻辑思维从总体上讲处于优势地位 从想象能力的发展方面来看，中学生想象的有意性迅速增长 例如：“等式性质”“不等式性质”“二元一次方程”等内容的导出，教材中安排了天平的实验内容。,二、内容剖析：数学实验研究概述,4.初中开展数学实验的可行性分析,

11、（3）在初中开展数学实验有其理论依据,拟经验主义数学观为中学开展数学实验提供了哲学基础。 数学观的现代发展，已由静态的绝对主义的数学观向动态的拟经验主义的数学观转化。前者认为数学是数学知识的简单汇集，而后者则认为数学是人类的一种创造性活动，它是一个由数学理论、数学方法、数学问题和数学特有的符号语言等多种成分所组成的复合体。 而数学实验，恰好为我们在数学教育中探索如何帮助学生巩固数学经验、强化数学洞察力和能力提供了新的途径。,二、内容剖析：数学实验研究概述,4.初中开展数学实验的可行性分析,（3）在初中开展数学实验有其理论依据,建构主义教学观为数学实验中的知识建构提供了教育学基础。 其核心观点是

12、，认识并非主体对于客观实在的简单、被动的反应，而是一个主动的建构过程，即所有的知识都是建构出来的；建构主义也认为，虽然学生要学的数学都是前人已经建造好了的，但对学生来说，仍是全新的、未知的，需要每个人再现类似的创造过程来形成。 数学实验活动教学正是突出学生的主体地位的教学，主张让学生到真实环境中去感受、体验数学，通过学生自己的实践获取知识从具体到抽象的一个过程；同时，还强调应该让学生通过积极的思考和活动，通过合作和交流主动地建构知识,二、内容剖析：数学实验研究概述,4.初中开展数学实验的可行性分析,（3）在初中开展数学实验有其理论依据,弗赖登塔尔的“再创造”教育理论为数学实验中的“做”数学提供

13、了可能性基础。 荷兰数学教育家弗赖登塔尔（Hans Freuden thanl， 19051990）认为，数学是人类的一种活动，数学教学也是一种人类活动教师不必将各种规则、定律灌输给学生，而是创造合适的条件，让学生在实践活动的过程中，自己再创造出各种运算法则，或是发现有关的各种规律他认为，学一个活动最好的方法是“做” 数学实验正是让学生体会知识的形成与发生发展的过程，而不是把知识的结论直接交给学生，或者只把计算机当作结论验证的工具。数学实验提供了让学生动脑、动手，借助现代教育技术进行发现和探究的空间和时间，通过观察、实验、分析、综合、归纳、类比、猜想、抽象、看概括等探索性、研究性活动，培养学生

14、的创新精神和实践能力。,二、内容剖析：数学实验研究概述,4.初中开展数学实验的可行性分析,（3）在初中开展数学实验有其理论依据,主体教育理论为中学开展数学实验提供了心理学基础。 它认为人的主体性素质是现代化社会人的核心素质，在教育中应该注重培养和发展人的主体性“学生既是教育的客体，又是教育的主体”教育者应当为学生主体性的发展提供适当的环境和一切便利的条件，并在教育过程中充分调动他们学习和自我发展的积极主动性 而数学实验教学正是突出学生主体地位的教学，教学过程中强调让学生自己思考问题、提出问题、探究问题，并在教师指导下解决问题，主张学生在“做”中学，而不是单纯通过聆听教师的讲解来获取知识，要求学

15、生在情境中自己进行各种活动，包括实验、探究、交流、解释现象等。,二、内容剖析：数学实验研究概述,4.初中开展数学实验的可行性分析,（4）课程改革基本理念要求初中开展数学实验.,在初中开展数学实验课是全日制义务教育数学课程标准（2011版，以下简称课标）精神的重要体现。 课标基本理念中指出，“信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地

16、改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去”。,二、内容剖析：数学实验研究概述,4.初中开展数学实验的可行性分析,（4）课程改革基本理念要求初中开展数学实验.,在初中开展数学实验课是全日制义务教育数学课程标准（2011版，以下简称课标）精神的重要体现。 课标在第三学段（79年级）的教学建议中指出：教师应积极开发和有效利用各种课程资源，合理地应用现代信息技术，提高课堂教学效益。有条件的地区，教学中要尽可能地使用计算器、计算机和有关软件；暂时没有这种条件的地区，一方面要积极创造条件改善教学实施，另一方面广大教师应努力自制教具以弥补教学实施的不足。 例如：可以利用计算机展

17、示函数图象、几何图形及其变换过程并研究其性质；从数据库上获得数据，并绘制表示同一组数据的不同图表，使学生能选择适当的图像描述数据；利用计算机产生足够的模拟结果，帮助学生更好地体会事件发生概率的意义等。还可以设计一些实验用以探索一些数量关系、函数的性质、图形的性质，也可以做一个图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，甚至可以利用坐标进行作图、图案的设计、探索图形的变化规律等等。,二、内容剖析：数学实验研究概述,4.初中开展数学实验的可行性分析,（4）课程改革基本理念要求初中开展数学实验.,在初中开展数学实验课是全日制义务教育数学课程标准（2011版，以下简称课标）精神的重要体现。 例如，在进行“无理

18、数的概念”教学时，由于此概念比较抽象，对于初中生来说难以仅从理性认识上获得突破，需要一些感性认识作铺垫，让学生在实验过程中同时积累基本的数学活动经验，可设计如下实验： 实验准备：一把剪刀、两张同样大小的正方形纸片（边长为“1”个单位）、计算器。 实验要求：让学生利用这些工具剪拼出面积为2的正方形。,二、内容剖析：数学实验研究概述,4.初中开展数学实验的可行性分析,（4）课程改革基本理念要求初中开展数学实验.,教材中数学活动为数学实验提供了实验载体 例如，在每章设计了章头活动，依据学生已经具备的数学知识、活动经验，结合本章将要学习的内容，设计了一个数学活动； 在知识发生阶段，设置了“做一做”、“

19、操作”“实践与思考”等栏目，设计了适合学生观察、操作、实验、归纳等形式的活动材料，让学生在“做”数学的过程中“发现”数学规律、数学结论，获得数学思想和方法，学会学习、学会思考； 专门设置了“数学实验室”、每章一个“数学活动”、每册一个“课题学习”,教材设置了一个栏目“数学实验室” 其主要目的是： 通过实践操作感受数学； 自主探索可能发生的规律和结论，然后教材再呈现结论； 运用相关的结论解决某些问题。,二、内容剖析：数学实验研究概述,4.初中开展数学实验的可行性分析,数学实验室的功能： 在小节开头引导学生通过“做”感受数学； 在小节中间引导学生通过“做”探索知识和结论； 在小节最后引导学生通过“

20、做”应用所学知识解 决简单问题。 以七（上）为例：P26“有理数的加法与减法”； P62“字母表示数”；P103“用方程解决问题”中的“月 历游戏”；P125“七巧板”拼图；P128“展开与折叠”。,二、内容剖析：数学实验研究概述,1. 把笔尖放在原点，先向负方向移动1个长度单位，再向负方向移动2个长度单位，这时笔尖的位置表示什么数？请用算式表示以上过程及结果,=,数学实验室,二、内容剖析：数学实验研究概述,仿照上面的做法，请在数轴上呈现下面的算式所表示的笔尖运动的过程和结果,数学实验室,二、内容剖析：数学实验研究概述,数学实验室,二、内容剖析：数学实验研究概述,数学实验室,二、内容剖析：数学

21、实验研究概述,二、内容剖析：数学实验研究概述,4.初中开展数学实验的可行性分析,（5）从计算机的硬件、软件的不断丰富拓展来看，为数学实验提供了技术手段.,计算机硬件的不断拓展为数学实验提供了技术支撑 课标强调，数学课程的设计和实施，应根据实际情况合理地运用现代信息技术，关注信息技术与课程内容的整合，注重实效；充分考虑信息技术对学习内容的和形式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的工具，能有效地改进教与学的方式，使学生能有效的投入到现实、探索性的数学活动中去，换言之，计算机的普及为数学实验提供了物质保障,二、内容剖析：数学实验研究概述,4.初中开展数学

22、实验的可行性分析,（5）从计算机的硬件、软件的不断丰富拓展来看，为数学实验提供了技术手段.,数学教学软件为数学实验提高了数学实验的软实力 例如，用几何画板 作图发现三角形内接矩形 的面积变化规律的“数学 实验”,二、内容剖析：数学实验研究概述,4.初中开展数学实验的可行性分析,（5）从计算机的硬件、软件的不断丰富拓展来看，为数学实验提供了技术手段.,“超市化”学具为数学实验的开展提供了平民化的手段 常规的学具模型有：用于解决概率问题的常见有扑克、骰子、转盘；用于解决图形的展开与折叠有：正方体、长方体包装盒；用于解决视图问题常见有小立方块、柱体、椎体；用于解决一元一次方程建模的常见有日历简本；用

23、于解决平面图形镶嵌问题的有各种正多边形模型；为测量距离有皮尺、标杆等，另外，还有粘板、展板、双面胶、火柴棒；用于探索图形的旋转、对称、平移等性质有透明纸等许许多多学具都为数学实验操作提供了实验手段,二、内容剖析：数学实验研究概述,4.初中开展数学实验的可行性分析,（5）从计算机的硬件、软件的不断丰富拓展来看，为数学实验提供了技术手段.,“超市化”学具为数学实验的开展提供了平民化的手段 例如： 经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 实验操作： 1试着在一张不规则的透明纸上折出两条互相垂直的折痕； 2再取一张透明纸，先折出一条折痕，但是第二条折痕必须满足两个条件：一是要经过你任意选取的一个点，二

24、是还得与第一条折痕垂直； 3在所给的透明纸上，经过一点P画已知直线 的垂线。,箱子中的数学,二、内容剖析：数学实验研究概述,5.数学实验的基本类型,（1）实物验证型建立在实物直观上的数学理解。,有些数学实验，可以帮助学生通过实验检测、验证已解结论或猜想的正确性，从而在实物直观的基础上获得数学的理解。 例如，三角形的三个内角和等于1800，可以设计以下操作实验让学生获得初步结论： 方法一：画一个三角形，用量角器量出它的三个内角。求其和； 方法二：将一个三角形的三个角剪下来，拼成一个半平面。,二、内容剖析：数学实验研究概述,5.数学实验的基本类型,（2）操作思考型建立在实物模拟下的数学思考。,借助

25、直观来帮助学生进行思维，从中发现数学事实，进而揭示数学规律或问题解决的本质。 例如，“三角形的三个内角和等于1800”，可以设计以下的实验帮助学生进行思考和理解。 用铅笔在纸上所画的一个ABC上做实验： 首先将笔尖指向A点（铅笔与AC边平行）； 第1次旋转A后，笔尖指向A点（铅笔与AB边平行） ； 第2次旋转B后，笔尖指向C点（铅笔与BC边平行）； 第3次旋转C后，笔尖指向C点（铅笔与AC边平行） 。 经过3次旋转后，笔尖正好掉转一个方向，这说明A+B+C=1800。,二、内容剖析：数学实验研究概述,5.数学实验的基本类型,（3）探索发现型建立在信息技术平台上的数学探究。,计算机的使用，正在改

26、变数学的性质，数学正在成为一门“实验科学”。借助于计算机（包括图形计算器）的快速运算功能和图形处理能力，模拟再现问题情境，可以引导学生自主探究数学知识、检验数学结论（或假设）的学习活动。在技术中介的参与下，学生可以进行“发现”或“再发现”。 专门软件很多，主要的有以下几种：几何画板，它几乎涵盖了整个中学数学课程的全部内容，操作也较为简单；Z+Z智能教育平台，其融合了几何画板的优势，软件所提供的各种功能可以像在超级市场购物一样进行随意的组合；由美国Wolfram研究所开发的Mathematica，虽然初衷是为大学和科研机构服务，但它良好的表现使得它的在中学数学实验中的应用前景也比较乐观。,数学实

27、验以动手实践为基点，数学思维为主线，问题解决为目标。因此，在选取某个数学内容开展数学实验活动时，设计者需要考虑该数学内容是否具备以下三个条件： （1）可以选取适当的物质工具（实物模型、仪器或技术等）数学化地描述该数学内容或过程； （2）实验的物质工具能被学生有目的的使用，实验的方法与过程具有可操作性； （3）经历数学实验活动的过程，有利于学生更好地理解和掌握数学，发展数学思维，提高发现问题、分析问题和解决问题的能力。,1.数学实验必备的三个基本条件：,三、教学策略：数学实验操作流程,步骤1： 首先，迈克尔教授把学生分成4个学习小组，每组56人然后把全班学生按身高由低到高排成一列，并依次编为1号

28、、2号学生回到各小组后完成下面两个图（线上写姓名，线下写数字）学生在图1中，把自己及小组成员的编号依次标在相应位置在图2中，要求学生首先把自己（我）放在0的位置上，再标出其他组员的对应位置,2.亲临英国的一节数学实验课：,三、教学策略：数学实验操作流程,步骤2： 把步骤1中“按身高由低到高排成一列”改为“按年龄由小到大排成一列”，再完成与上面一样的图 步骤3：让学生自己确定排队的标准，再完成 相同的任务,2.亲临英国的一节数学实验课：,特色一 从常理（Common sence）出发思考 让知识自然生长 特色二 交流自然和谐，兴趣放在首位 特色三 教学强调留白，评价提倡“半肯” 特色四 强调数学

29、应用 重视课程综合,三、教学策略：数学实验操作流程,用数学实验手段进行数学教学的思想方法是：从若干实例（包括学生自己设计的例子） 在计算机上（或手工）进行大量的实验 发现其中（可能存在的）规律 提出猜想 进行证明或论证,3.数学实验教学的基本步骤：,进行数学实验四个步骤： 创设情境；动手实验；提出猜想；验证猜想,三、教学策略：数学实验操作流程,（1）创设情境 所谓创设情境是指教师在学生动手实验前，给学生提供新的学习准备，在这一情境中，学生原有的认知结构与新学习的内容之间发生认知冲突，使学习者在心理上产生学习的需要。,3.数学实验教学的基本步骤：,数学学习中合适的问题情境，应该具备两个条件： 一

30、是要有可行性，学生有可能去思索和研究； 二是要有一定的难度，对学习者来说具有挑战性。,三、教学策略：数学实验操作流程,（2）动手实验 所谓动手实验是指教师给学生提出实验要求，学生按照教师的要求，亲自用手工或计算机完成相应的实验，努力去发现与所研究问题相关的一些数据中反映出的规律性，对实验的结果做出清楚的描述。,3.数学实验教学的基本步骤：,动手实验是整个数学实验中的核心环节。学生通过“做”数学来学习数学，在完成任务过程中： 使抽象的知识具体化，复杂的知识简单化，一般的问题特殊化，肤浅的问题深入化。,三、教学策略：数学实验操作流程,（3）提出猜想 所谓提出猜想是在学生理解了所学习的课题后，通过实

31、验、观察、计算、分析等各种途径和手段，根据已有的信息或者新得到的信息，提出解决课题的假说。,3.数学实验教学的基本步骤：,猜想的提出往往依赖于人的直觉思维，直觉思维有时也被认为是一种灵感。要产生灵感，除了必须具有一定的数学素养外，还应该对面临的问题有比较深刻的理解。另一方面，猜想是根据实验中总结出的规律而提出的，不能凭主观的臆断而随意“乱猜”，要合乎实际，接近事实。,三、教学策略：数学实验操作流程,（4）验证猜想 所谓验证猜想是指在提出猜想之后，一般要用实验的方法、演绎的方法或举反例的方法检验猜想的正确性。,3.数学实验教学的基本步骤：,学生凭直觉思维提出的猜想，可能有三种情况： 既不能肯定，

32、也不能否定； 知道猜想是正确的，但无法严格证明； 知道猜想是不正确的，但举不出反例予以否定。,三、教学策略：数学实验操作流程,用计算器计算,352 ,1225,852 ,7225,252 ,625,不使用计算器计算,10052,1010025,42025,3052 ,93025,2052 ,情境1 下列各式是个位数是5的整数的平方 运算。 观察各式，你有什么发现？,1052 ,11025,152 ,225,案例1:通过计算探索规律（操作思考型）,三、教学策略：数学实验操作流程,情境2 用计算器计算下列各式： 2129 ，3436 ， 4248 ，8387 ， 9595 . 小组讨论：你发现什么

33、了？,1,1224,2016,7221,9025,4,609,7,3,6,9,4,9,1,4,7,3,6,9,7,7,6,1,5,6,2,1,2,0,0,9,4,2,0,9,6,9,6,1,7,3,7,7,4,1,4,9,(10n+a)(10n+b) (n、a、b是正整数，且a+b=10),三、教学策略：数学实验操作流程,情境3 观察下列各式并计算 ： 35 ， 3335 ， 333335 ， 3 3333 335 ，,15,1155,111555,11115555,(n为正整数),33 33 5 1155,n 个,n 个,n 个,(n1) 个,33 333 ，,1111155555,33 3

34、35,三、教学策略：数学实验操作流程,情境4：（1）计算 96 ， 9996 ， 999996 ， 9 9999 996 ， （2）探索上述运算的规律； （3）直接写出下式的计算结果：999 999 999 999 999 996 ,54,9504,995004,99950004,99 99 6 99 5 00 4,(n1)个,n 个,n个,n个,(n为非负整数),三、教学策略：数学实验操作流程,教师描述 在接下来的“展示小组成果”的时候，同学们都希望把自己写的式子展示出来，也就是在展示的过程中我们发现了一些问题，有的式子不具有明显的规律性的特征，那么它是不是不具有相关规律呢？这个问题我们在课

35、堂上没有解决掉，就在下课铃声想起的时候，我听到好多的学生都在低头讨论这个问题，甚至放学的时候还有学生拿着他所写的式子给我看。,三、教学策略：数学实验操作流程,教师感言 执教者张红（东港中学）老师感言：“每一个班级的学生在课堂的表现都是那么让我吃惊，因为学生们发言都非常踊跃，根本不像常态课上的学生表现，学生对相关内容的浓厚的研究兴趣绝对是和常态课不一样的，跃跃欲试的自我展示也和常态课有着明显的区别，更别说通过这样的课堂看出好生、差生”。,三、教学策略：数学实验操作流程,实验活动一：老师发给40位同学每人1张红色的纸，你们有方法量出每一张纸的厚度吗？ 实验活动二：拿出一张长方形纸片，设它的面积为1

36、 对折纸片、撕开，两部分面积都等于1/2，用1/2作为标签写在其中一块的中间，并把它扔在一边； 在余下纸片上重复上述操作，则被扔掉的第2块纸片上的标签为(1/2)2，余下纸片面积为_；（这里要引导学生用幂的形式去表示，便于发现规律） 当进行第n次操作后，扔掉的第n块纸片上的标签为_，余下纸片面积为_； 操作能否结束?换句话说，能否在某一次操作后，将纸片全部扔光？为什么？ 实验活动三： 1类似上述操作，如果每次扔掉纸片的2/3，余下纸片的1/3，那么你又能得到哪些结论呢? 2对折一张长方形纸片（用同样的方式），分析折痕的条数，你能发现其中蕴含着哪些学问?你能提出哪些问题?,案例2：折纸中的学问（

37、实物验证型）,折纸中的学问,问题的设计具有层次性，先让学生测量“一张纸的厚度”，这样通过“测量多张纸的厚度”来解决，充分体现“做”数学的活动过程；接着，设计学生“剪纸片”的活动，让学生在活动中思考探究并得出“倍减”（相应地还有“倍增”）的数学原理；最后，让学生把前面得到“经验公式”的方法应用到更为一般的情景中，即“每次扔掉纸片的2/3，余下纸片的1/3”，又能得到何种结论，即还会产生什么经验公式呢？这是应用层面的数学活动。 整个实验操作活动设计不仅关注对数学知识的掌握，更关注过程与方法，让学生在活动中发现问题、提出问题并解决问题，把学生能力的发展作为核心贯穿活动的始终，使枯燥乏味的数学教学显得

38、生动形象，调动了学生主动参与的积极性，培养学生独立获取知识和方法的能力,案例2：折纸中的学问,问题情境,L=15；L=17，红色多边形的S较大？,N=17；N=16，黄色多边形的S较大？,案例3 数格点 算面积（探索发现型）,任务要求,设格点多边形的面积为S，它的边上的格点数为L，内部的格点数为N。 探究S与L、N之间的数量关系。,案例3 数格点 算面积（探索发现型）,动手探究,探究N=0的格点多边形中S与L之间的数量关系,0,0,0,1,4,1.5,5,2,6,S= L1,0,3,0.5,案例3 数格点 算面积（探索发现型）,验证猜想,你将如何验证归纳所得,的正确性？,案例3 数格点 算面积

39、（探索发现型）,提出猜想,案例3 数格点 算面积（探索发现型）,活动1：取3只茶杯，杯口全部朝上每次翻转2只，经过若干次操作，能否使杯口全部朝下？ 活动2：取4只茶杯，杯口全部朝上每次翻转3只，经过若干次操作，能否使杯口全部朝下？ 活动3：取5只茶杯，杯口全部朝上每次翻转2只，经过若干次操作，能否使杯口全部朝下？ 活动创新:如果把杯口朝上记为“+1”，杯口朝下“1”，这样就把翻转茶杯的问题“数学化”了翻转茶杯的问题就变成：经过若干次操作，能否使杯子的整体状况（表示各个杯子状态的数字之乘积）从“+1”变为“1”？,案例4 翻转茶杯（操作思考型）,翻转茶杯,注：“每次翻转2只茶杯”可以看作“将1只茶杯连续翻转2次”； 第一次翻转后“5翻3” 转化为“2翻3”； 一次“6翻4”的操作相当于进行二次“6翻2”，这些都渗透着化归与转化的数学思想方法。,三角形纸板拼图,钟面上的学问,实验1：小明家装修地板, 只想选择一种正多边形瓷砖,你认为哪些可以供他选择?,案例5 平面图形的镶嵌（操作思考型）,任意四边形能不能呢？,实验2：小明的爸爸在装修过程中用一些边角余料切割成一些形状、大小完全相同的任意三角形，他用这些三角形能进行地板镶嵌吗？,案例5 平面图形的