11行列式的概念.ppt

1、线性代数,课程介绍,主要研究代数学中线性关系的问题， 三种对象： 矩阵、方程组和向量,具有较强的抽象性与逻辑性、 是一门概念特别多、推理与 计算都比较繁复的课程,什么是线性代数？,随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。,历史：,线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究 . 现代意义的线性代数基本上出现于十七世纪。 直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。 十九世纪上半叶才完成了到n维线性空间的过渡。,鸡兔同笼,“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”,课程内容,1.行列式 2.矩阵 3

2、.线性方程组 4.特征值与特征向量 5.相似矩阵与二次型,中心内容,向量概念的引入，形成了向量空间的概念。 凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。,向量空间， 线性变换， 矩阵理论.,地位与作用,1、在数学、物理学和技术学科、工程技术和国民经济的许多领域都有着重要和广泛的应用，在各种代数分支中占居首要地位 ；,地位与作用,2、计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；,地位与作用,3、“以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想。各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是

3、解决这些问题的有力工具。,为什么要学习线性代数？,1.学习线性代数课程，不仅培养人们的抽象思维和数学建模能力，而且培养人们对研究对象进行有序化、代数化、可解化的处理能力。,为什么要学习线性代数？,2.通过这门课程的学习，使学生获得线性代数的基本知识和必要的基本运算技能，同时使学生运用数学方法分析问题和解决问题的能力得到进一步提升，从而为学生学习后续课程打下必要的数学基础。,为什么要学习线性代数？,3.线性代数是工科院校学生的一门必修基础课，是学习自然科学、工程技术和企业管理等所必备的基础知识和重要工具。,目的和要求,1.行列式,行列式是人们从解线性方程组的需要讨论中建立起来的。 行列式实质是由

4、一些数值排列成的数表按一定的法则计算得到的一个数。,1.1.1 二阶与三阶行列式,1.1 行列式的概念,二阶行列式,对角线法则,行列式的记号,行列式现在的两条竖线记法是英国数学家凯莱(Cayley)最先给出的。 德国数学家雅可比(Jacobi)也于1841年总结并提出了行列式的系统理论。 另一个研究行列式的是法国数学家柯西(Cauchy)，他大大发展了行列式的理论，在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了Laplace的展开定理。,解二元线性方程组,用消元法,若 0 ，得,系数行列式,课堂练习1,解二元线性方程组,课堂练习2,行

5、列式 的充分必要条件是 .,三阶行列式,对角线法则,课堂练习,1.求方程的根,系数行列式,利用三阶行列式求解三元线性方程组,三元线性方程组的解为:,则三元线性方程组的解为:,说明：三阶行列式可用二阶行列式表示,按首行展开,降阶！,三阶行列式与二阶行列式关系?,法国数学家范德蒙(Vandermonde)是第一个对行列式理论进行系统的阐述(即把行列式理论与线性方程组求解相分离)的人，并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。 法国数学家拉普拉斯(Laplace)在1772年的论文对积分和世界体系的探讨中，证明了Vandermonde的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法，用r行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。,n阶行列式,1.1.2 n阶行列式,余子式与代数余子式,例如,a23的余子式为：,行列式的每个元素分别对应着一个余子式和代数余子式,a23的代数余子式为：,三阶行列式与二阶行列式关系?,1.1.2 n 阶行列式的定义,定义1.1.1,按首行展开,例 计算上三角行列式,下三角行列式,例 证明对角行列式,课堂练习1,说明 1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行不同列 的三个元素的乘积,其中三项为正,三项