1 导数的概念.ppt

1、1,第二章 函数的导数与微分,3.1 导数的概念 3.2 函数的和、差、积、商的求导法则 3.3 反函数和复合函数的求导法则 3.4 高阶导数 3.5 隐函数的导数 3.6 函数的微分,第三章 导数与微分,引言：研究变量与变量之间的依赖关系即研究函数关 系；研究变量的变化趋势即研究函数极限；除此之外, 还要研究各变量之间相对变化快慢的程度; 如质点运 动速度、城市人口增长的速度、国民经济发展的速度 等等, 这就需要用导数来研究. 本章将介绍导数和微 分的概念以及它们的计算方法.,3,3.1 导数的概念,匀速直线运动的(瞬时)速度：,t,P,即路程的改变量与时间的改变量之商.,设作变速直线运动的

2、质点P (运动轨迹为 s = s(t) 从 t0时刻到t0+t时刻, 动点P在t 这段时间内经过的路程为 s = s(t0+t)-s (t0) ，平均速度为,1.变速直线运动的瞬时速度,一.引例,当t变化, v也随之而变; 当t时, 可看作是质点在时刻t0 的“瞬时速度”的近似值. 从而对平均速度取极限, 便有,如果极限 存在, 则称此极限 值为动点在时刻t0的瞬时速度, 即,2.平面曲线的切线斜率,当某一质点沿曲线运动时, 不仅在速度上有变化, 而且在运动方向上也有变化. 欲知做曲线运动的质点 在某点的运动方向,就是要求曲线上该点的切线方程,而 求切线方程的关键是求出切线的斜率.,y,o,x

3、,设曲线L的方程为y=(x), M0(x0 ,y0)为L上一定点, 动点M(x0+x,y0+y), 作割线 M0M, 与x轴夹角为, 则割线M0M的斜率为,L：y=(x),M,T,x,y,当动点M 趋向定点 M0时, 有,x0 此时割线 M0M 的极限位置就是曲线 L 过定点 M0 的切线 M0T;,6,那么割线斜率的极限就是切线 的斜率, 即,如果极限 存在, 此极限值便是曲线在点x0处切线的斜率,即,存在. 则称此极限值,为函数(x) 在点 x0 处的导数(或微商). 也称(x)在点 x0处可导. 记作,以上引例一个是物理学中的瞬时速度, 一个是几何学中的切线斜率. 仅从数量关系来看, 二

4、者的数学结构完全相同函数改变量与自变量改变量之比的极限, 简称差商的极限.,定义1. 设函数 y =(x)在点 x0 的某个邻域内有定义, 设自变量在点 x0 处有改变量x 0 时 (x0+x也在该 邻域内) , 函数有相应改变量y = f(x0+x)-f(x0), 若极限,二.导数概念,8,若此极限不存在, 则称(x)在点 x0 处不可导.,若令 则, 从而,注1:,反映的是函数在点 x0 处的变化速度, 也称为函数在 x0 处的变化率. 的值由 x0 唯一确定(极限的唯一性).,反映的是自变量x从x0 改变到x0+x,时函数的平均变化速度, 称为函数的平均变化率.而导数,注2：导数,(三统

5、一)可变化为,若 则,定义2. 如果函数(x)在某区间(a, b)内每一点都可导, 则称(x)在该区间 (a, b)内可导.,例1.求函数 在x = 1处的导数 .(分几个步骤),11,设函数(x)在区间(a, b)内可导, 由注1知 , 都有一个导数值 与之对应, 从而得到一个定义在(a, b)内的新函数 .将它称为(x)的导函数;简称导数, 记为,结论: 例1中的 可先求 再将其中的 x 代为 x0=1即可.由引例知,例2 (1) 求常数函数 y = C的导数. (2) 求三角函数y = sin x的导数. (3) 求对数函数 的导数. (4) 求幂函数 的导数.,证,求导数举例,13,如

6、果极限,存在, 则称此极限值为函数 (x),三.左右导数,定义3. 如果极限,存在,则称此极限值为函数(x)在点 x0 处的右导数. 也称(x)在点 x0,右可导. 记作,17,定理1. (x)在 x0 处可导, 导数为,定义4. 若函数(x)在区间(a, b) 内每一点都可导, 且 则称函数(x)在a, b内可导.,在点 x0 处的左导数. 也称(x)在点 x0 左可导.,记作,例3.讨论下列函数在x = 0点处的可导性,由例3(3)知 (x) = |x| 在 x = 0 处不可导; 但由第一章例24(1)知(x)=|x|在x = 0处却是连续的.,定理2. 若函数y = (x)在 x0 处可导, 则y = (x)在 x0 处必连续.,注意：连续却不一定可导.不连续一定不可导,四.可导与连续的关系,20,例4.设函数 在x = 0处可导, 求a和b.,o,x,y,L：y=(x),T,函数y = (x)在点 x0 处的导数 f(x0) 便是曲线y = (x)在点 M0(x0 ,y0) 处的切线的斜率, (如右图),结论：函数 y = (x) 在点 x0 处可导, 则曲线 y = (x)在点M0(x