数学新学案北师大版选修课件第三章导数应用 模块复习2 .pptx

1、第2课时导数的四则运算及几何意义,知识网络,要点梳理,答案:函数的平均变化率导数的概念切线的斜率导数的加法与减法法则简单的复合函数的求导法则,知识网络,要点梳理,1.切线方程的求法: (1)以曲线上的点(x0,f(x0)为切点的切线方程的求解步骤: 求出函数f(x)的导数f(x); 求切线的斜率f(x0); 写出切线方程y-f(x0)=f(x0)(x-x0),并化简. (2)如果已知点(x1,y1)不在曲线上,则设出切点(x0,y0),注意:过某一定点求曲线的切线方程或斜率时,首先应判断所给定点是不是切点,如果不是,需将切点坐标设出.,知识网络,要点梳理,2.导数的计算: 导数的计算在应用导数

2、研究函数性质中具有非常重要的作用,求导时可遵循以下原则:对于根式型函数,可考虑进行有理化变形;对于分式中分子、分母是齐次结构的函数,可裂项化为和差形式;对于多个整式乘积形式的函数,可展开化为和差形式;对三角函数,可进行恒等变形;对于复合函数,应分清复合层次.,知识网络,要点梳理,思考辨析 判断以下说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)函数f(x)所表示的曲线在点(x0,f(x0)处有切线,则函数f(x)在该点处一定存在导数. (),(3)与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线. () (4)可导的周期函数的导函数是周期函数. (),专题归纳,高考体验,专题一导数

3、的几何意义 【例1】 已知函数f(x)= ,g(x)=aln x,aR.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程. 分析:本题考查导数的几何意义,考查推理论证能力和分析问题、解决问题的能力.,即x-2ey+e2=0.,专题归纳,高考体验,反思感悟利用导数的几何意义,可求切线的斜率, (1)若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的导数不存在,但有切线,则切线与x轴垂直; (2)若f(x0)0,则切线的倾斜角为锐角;若f(x0)0,则切线的倾斜角为钝角;若f(x0)=0,则切线与x轴平行.,专题归纳,高考体验,变式训练1已知曲线y=x4+ax2+

4、1在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,则a=() A.9B.6 C.-9D.-6 解析:y=4x3+2ax, 当x=-1时,y=-4-2a=8, a=-6. 答案:D,专题归纳,高考体验,(1)求该曲线在点P(-1,-1)处的切线方程; (2)求该曲线过点Q(2,0)的切线方程; (3)求满足斜率为- 的该曲线的切线方程.,又P(-1,-1)是曲线上的点, P为切点,所求切线的斜率为k=f(-1)=-1. 曲线在点P处的切线方程为y+1=-(x+1), 即y=-x-2.,专题归纳,高考体验,解得a=1.故所求切线方程为y=-x+2.,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,专题二导数的计算

5、【例2】 求下列函数的导数:,分析:根据函数的求导法则及导数的运算法则进行.,解:(1)y=(5-4x3)=-12x2. (2)y=(3x2+xcos x)=(3x2)+(xcos x)=6x+cos x-xsin x.,专题归纳,高考体验,分析:题目所给的函数是由三层函数复合而成的,如果直接求导,将会很麻烦,注意到这是一个对数函数,能利用对数的性质先化简.,专题归纳,高考体验,反思感悟求一个函数的导数的基本方法有三种:一是利用定义,二是利用基本初等函数的导数公式,三是先把函数分解成基本初等函数的和、差、积、商的运算,再利用导数的运算法则进行计算. 求复合函数的导数,一般是利用复合函数的求导法

6、则,将问题转化为基本初等函数的导数解决.具体过程中要注意以下几点:分析清楚复合函数的复合关系,它是由哪些基本函数(存在求导公式)复合而成,适当选定中间变量;分步求导中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中要特别注意中间变量的系数;根据基本函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转回原自变量的函数.,专题归纳,高考体验,变式训练3已知f(x)=x(2 015+ln x),若f(x0)=2 016,则x0等于() A.e2B.1 C.ln 2D.e,由f(x0)=2 016得2 016+ln x0=2 016,则ln x0=0, 解得x0=1.,答案:B,专题归纳,高考体验

7、,变式训练4若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f(1)=2,则f(-1)等于() A.-1B.-2C.2D.0 解析:f(x)=4ax3+2bx,f(x)为奇函数. 又f(1)=2,f(-1)=-2. 答案:B,解析:y=-2(3x+5)-2-13=-6(3x+5)-3. 答案:-6(3x+5)-3,专题归纳,高考体验,考点一:导数的几何意义 1.(2016山东高考)若函数y=f(x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是() A.y=sin xB.y=ln xC.y=exD.y=x3,专题归纳,高考体验,解析:设曲线

8、上两点P(x1,y1),Q(x2,y2). 则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k1=f(x1),k2=f(x2),若函数具有T性质,则k1k2=f(x1)f(x2)=-1. A项,f(x)=cos x,显然k1k2=cos x1cos x2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T;,C项,f(x)=ex0,显然k1k2= e 1 e 2 =-1无解,故该函数不具有性质T;,质T.综上,选A.,答案:A,专题归纳,高考体验,上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是() A.(0,1)B.(0,2) C.(0,+)D.

9、(1,+),解析:由题意得P1,P2分别位于两段函数的图像上. 设P1(x1,ln x1),P2(x2,-ln x2)(不妨设x11,0x21),则由导数的几何意,专题归纳,高考体验,答案:A,专题归纳,高考体验,3.(2016全国丙高考)已知f(x)为偶函数,当x0时,-x0,则f(-x)=ln x-3x. 因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ln x-3x. 所以f(x)= -3,f(1)=-2. 故所求切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1. 答案:y=-2x-1,专题归纳,高考体验,4.(2016全国甲高考)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲

10、线y=ln(x+1)的切线,则b=.,设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2相切于点P1(x1,y1),与曲线y=ln(x+1)相切于点P2(x2,y2),则y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1).由点,因为这两条直线表示同一条直线,专题归纳,高考体验,答案:1-ln 2,专题归纳,高考体验,5.(2015课标全国高考)已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则a=. 解析:f(x)=3ax2+1,f(1)=3a+1, 即切线斜率k=3a+1. 又f(1)=a+2,已知点为(1,a+2). 而由过(1,a+2),(2,7)两点的直线的斜率为 =5-a, 5-a=3a+1,解得a=1. 答案:1,专题归纳,高考体验,6.(2016天津高考)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f(x)为f(x)的导函数,则f(0)的值为. 解析:f(x)=(2x+3)ex,f(0)=3.