(选修2—1)2.1曲线与方程(一).ppt

1、高中数学选修21 第二章曲线与方程,授课教师：姚志华,2012年4月5日,2.1.1曲线与方程,提出问题: 直线的方程与方程的直线的概念是怎样叙述的?,一:情景引入,（1）以一个方程的解为坐标的点都是其对应直线上的点； （2）直线上的点的坐标都是其对应方程的解。,简言之，若方程的解和直线上的点是一一对应的，则称这个方程为这条直线的方程，这条直线称为方程的直线。,满足这样的（1）（2）的方程为直线的方程，这条直线称为方程的直线。,二：曲线的方程与方程的曲线,（1）曲线上的点的坐标都是其对应方程的解；,（2）以方程的解为坐标的点都是其对应曲线上的点。,纯粹性,完备性,（一）曲线的方程与方程的曲线的

2、概念,二：坐标法的定义,（二）坐标法的概念,我们把利用坐标系来研究几何图形的方法，叫做坐标法。,在平面上建立直角坐标系：,用坐标法来研究几何图形，也就是利用代数方法来研究几何问题，形成了数学的一个重要分支解析几何。,平面解析几何研究的主要问题： （1）利用已知条件，求出平面曲线的方程； （2）通过方程研究平面曲线的性质。,下面研究如何求曲线的方程。,迪卡尔,三：例题分析,例1 设 A、B 两点的坐标是 （-1，-1）、（3，7），求线段 AB 的垂直平分线的方程。,如何求曲线的方程?,方法1：利用现成的结论直线方程的知识求解。,解1 ：因为 ,所以所求直线的斜率k= ，,又因为线段AB的中点坐

3、标为（1，3）,所以线段AB垂直平分线的方程依据两点式可以求得x+2y-7=0。,三：例题分析,例1 设 A、B 两点的坐标是 （-1，-1）、（3，7），求线段 AB 的垂直平分线的方程。,方法2：若没有现成的结论怎么办?需要掌握一般性的方法。,问题1 设 A、B 两点的坐标是 （-1，-1）、（3，7），求线段 AB 的垂直平分线的方程。,我们的目标就是要找x与y的关系式,解:设M(x，y)是线段AB的垂直平分线上的任一点,先找曲线上的点满足的几何条件,则|MA|=|MB|，,（1）由上面过程可知，垂直平分线上的任一点的坐标都是方程的解；,（2）设点M1（x1，y1）是方程（*）的解，即x

4、1+2y1-7=0，因为上面的变形过程步步可逆，所以,所以|M1A|=|M1B|，,综上所述，所求线段 AB 的垂直平分线的方程是x+2y-7=0。,第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路，但这种方法有一般性。 求曲线的方程可以这样一般地尝试，注意其中的步骤:,四：例题总结方法提炼,求曲线的方程（轨迹方程），一般有下面几个步骤: 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M的坐标; 2.写出适合条件P的几何点集（限）; 3.用坐标表示条件,列出方程（代）； 4.化简方程为最简形式； 5.证明（查漏除杂）。,以上过程可以概括为一句话：建设现（限）

5、代化。,例2 点 M 与两条互相垂直的直线的距离的积是常数 k ( k 0 )，求点 M 的轨迹方程。,三：例题分析,例3 已知一条曲线在 x 轴上方，它上面的每一点到点 A (0，2) 的距离减去它到 x 轴的距离的差都是 2，求这条曲线的方程。,三：例题分析,三：例题分析,例4 已知一条直线和它上方的一个点F,点F到的距离是2，一条曲线也在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。,（x，y）,（0，2）,三：课堂练习,练习1：已知点M与轴的距离和点M与点F（0，4）的距离相等,求点M的轨迹方程。,解：设点M的坐标为（x，y）,建立坐标系，

6、设点的坐标,限（找几何条件） 代（把条件坐标化）,化简,这就是所求的点的轨迹方程。,三：思考题,如图，已知点C的坐标是（2 ， 2） , 过点C直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B，设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程。,M（x，y）,C（2，2）,B,A,三：例题分析,例2 已知直角坐标平面上点Q(2,0) 和圆O：x2+y2=1，动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数（0）， 求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？,例2 求抛物线y=x2+（2m+1）x+m2-1（mR） 的顶点 的轨迹方程。,三：例题分析,（2）写出适合条件 p 的点 M 的集合 P=Mp(M) ；,4.1.1求曲线方程的一般步骤,（1）建立适当的直角坐标系，用有序实数对例如（x，y) 表示曲线上任意一点 M 的坐标；,（3）把曲线上的点所适合的条件 p（M） 用坐标来表示，列出方程 f ( x，y ) = 0 ；,（4）把方程 f ( x，y ) = 0 化为最简形式；,（5