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1、近世代数,（一）,基本概念,预备知识 集合与映射 代数运算 运算律 一一映射、变换,集合,集合：若干个固定事物的全体叫做一个集 合.每个事物称为集合的元素. 空集合：一个没有元素的集合叫做空集. 集合的表示： 文字描述: 比如，平方等于2的有理 数构成的集合 特性描述：比如x|关于x的一个命题P 枚举表示: a1,a2,an. 这种描述允许某种 省略，比如，1,2,3,. 注解：但有可能产生误解，不提倡！,集合,元素与集合的关系：“”或“”. 集合与集合之间的关系：“=”、“”、“”、“”、“”. 子集、真子集、全集 集合的运算：“”、“”、“”,映射,映射: 假如通过一个法则 f ，对于任意

2、的xX,有唯一的yY与其对应 , 则称 f 是 X 到 Y 的映射，记为f: XY. 例：A=1,2,3,4,5, B=2,4,6,8,那么 f：12， 24， 36，42，52 是一个A到B的映射,1 2 2 4 3 6 4 8 5,A,B,映射,满射,若是在一个集合A到另一个集合B的映射之下，B的每一个元都至少是A中某一元素 的象，那么叫做一个A到B的满射. 若R() = Y，那么叫做一个A到B的满射. 例：设A=1,2,3,4, B= 奇,偶,那么 ：1,3,5,奇； 2,4,6,偶 是一个A到B的满射.,1 2 3 4 5 奇 6 . . . 偶 . . .,满射,单射,单射:一个A到

3、另一个集合B的映射 ：ab 叫做一个A到另B的单射，假如 a1a2 b1 b2 若a1, a2A, a1a2 (x1) (x2);,单射,1 2 2 4 3 6 4 8 9,双射,双射: 假如一个集合A到集合B的映射 既是单射又是满射，那么 叫做A到 B的双射,双射,1 2 2 4 3 6 4 8 . . . . . . n 2n,既不单又不满映射,既不单又不满映射： 假如一个集合A到集合B的映射 既不是单射又不是满射，那么 叫做A到 B的既不单又不满的映射.,1 2 2 4 3 6 4 8 5,A,B,映射,逆映射,若f是X到Y的双射，则存在映射f -1 满足f -1f=IX 及 f f -

4、1 =IY。f -1称为Y到X的逆映射，记为f -1: Y X. 设f 是X到Y的单射，满足g f=IX 的Y到X的映射g 称为f 的右逆映射，f 则称为右可逆映射. 设f 是X到Y的满射，满足f g=IY,的Y到X的映射g 称为f 的左逆映射，f 则称为左可逆映射. 如果f 既有左逆映射又有左逆映射,则称f 是可逆映射.,例子,设A=a, b, c, B=1, 2, 3, 4. f: AB 定义为： f(a)=1, f(b)=2, f(c)=3. 显然f是单射. g: BA定义为： g(1)=a, f(2)=b, f(3)= f(4)=c 显然g是满射. 因为 g f(A)=A=IA, 所以

5、f 右可逆且映射g 是 f 的右逆映射.,例子,设A=1, 2, 3, 4， B=a, b, c. f: AB 定义为： f(1)=a, f(2)=b, f(3)= f(4)=c 显然f是满射. g: BA定义为 g(a)=1, g(b)=2, g(c)=3. 显然g是单射. 因为 fg (B)=B=IB, 所以f 左可逆且映射g 是 f 的左逆映射.,集合积,集合积：设A1, A2, ,An是n个集合，由一切 从A1, A2, ,An里顺序取出的元素 组 (a1, a2, ,an)构成的集合叫做A1, A2, ,An的积，记作A1A2 An 集族：以集合作为元素的集合. 幂集：集合X的所有子

6、集构成的集合.,映射的一般定义,令A= A1A2 An,我们看集合积A与集合之间建立的映射. 定义：假如通过一个法则，对于任意的 (a1, a2, ,an)A，都有唯一一个D的 元素d与其对应，那么这个法则叫 做集合积A到集合D的一个映射； D 的元d叫做元(a1, a2, ,an)在之下的 象；元(a1, a2, ,an)叫做元d在之下 的 一个原象,例1,A1=A2= =An=D=所有实数作成的集合,是一个A1A2 An到D的映射.,注解：集合A1，A2， ，An，D中可能 有几个是相同的,例 2,A1=东，西, A2=南, D=高，低. 1: (西，南)高= 1(西，南) 1不是A1A2

7、到D的映射. 注解：映射一定要替每一个元(a1, a2, ,an)规定一个象d.,例3,A1=东，西, A2=南, D=高，低. 2: (西，南)高= 2(西，南) (东，南)低= 2(东，南) 2是A1A2到D的映射. 注解：一般来讲， A1, A2的次序不能调换.,例4,A1=D=所有实数作成的集合 ：aa,如果a 1 ab,如果b2=1 不是A1到D的映射. 注解： 一个元只能有唯一的一个象.,例5,A1=D=所有正整数作成的集合 ：aa-1 不是A1到D的映射. 注解： 所有的象都必须是D的元.,一般映射需要注意的几点,集合A1，A2， ，An，D中可能有几个是 相同的 映射一定要替每

8、一个元(a1, a2, ,an)规定 一个象d. 一般来讲， A1, A2的次序不能调换. 一个元只能有唯一的一个象. 所有的象都必须是D的元.,映射相同,定义：我们说A1A2 An到D的映射1 和 2是相同的，假如对于任何一个元 (a1, a2, ,an)来说 1(a1, a2, ,an)= 2(a1, a2, ,an) 注解：两个映射本身是否相同并不重要， 重要的是它们作用于元素的效果是 否相同.,例6,设A=D=所有正整数作成的集合 1: a1=1(a) 2: aa0=2 (a),代数运算及其运算律,考虑两个集合A，B与另一个集合D. 代数运算：一个AB到D的映射叫做AB到 D的代数运算

9、.,代数运算的表示：,方便起见，代数运算的表示表示为：,例1,设A=所有整数, B=所有不等于零的整数， B=所有有理数,是一个AB到D的代数运算，也就是普通除法,例2,令V是数域F上一个向量空间，那么F的数与V的向量间的乘法是一个FV到V的代数运算.,例3,A=1, B=2， D=奇，偶,奇,是一个AB到D的代数运算.,例4,A=1,2, B=1,2， D=奇，偶,奇,奇,奇,偶,是一个AB到D的代数运算，,注解：跟一般映射一样，当A=B时，A, B的次序对于一个AB到D的代数运算来说没有什么关系，因为一个AB到D的代数运算也是B A 到D的代数运算. 但值得注意的是， A和B的次序可以调换

10、并不意味着对于任意的aA, bB, 有,当A和B都是有限集时，代数运算可以用运算表来表示：,二元运算,AB到D的一般代数运算用到的时候比较少，最常用的是AA到A的代数运算.,结合律,首先看一个集合A的代数运算. 任取a,b,cA,有何意义呢？,例如：A=所有整数，代数运算为普通减法，那么对于a,b,cA (a-b)-c a-(b-c),是否一定成立？,结合律,定义：我们说，一个集合A的代数运算满足结合 律，假如对于任意的a,b,cA，有,结合律的作用：,任取a1,a2,anA,考虑,结合律可以保证这些加括号的结果相等,定理：假如一个集合A的代数运算满足结合 律，那么对于A的任意n个元 a1,a

11、2,anA， 所有加括号所得的结果都相等，因 此，下面符号有意义,定理证明：归纳,元的个数为2或3时，结论正确. 假定元的个数n-1时，结论成立. 考虑元的个数为n的情况. 对于任意的(a1。a2。 an)来说，只要证明 (a1。a2。 an)= a1。(a2。 an)即可.,交换律,定义：我们说，一个集合A的代数运算满足 结合律，假如对于任意的a,bA,有 a 。b = b 。a 定理：假如一个集合A的代数运算同时满足 结合律与交换律，那么在,里，元的次序可以调换,定理证明：归纳,元的个数为1或2时，结论正确. 假定元的个数=n-1时，结论成立. 考虑元的个数为n的情况. 只要证明: 对于任

12、意的1,2,n的排列i1,i2,in 下式成立即可,分配律,我们看两个代数运算：和 ：是一个BA到A的代数运算 ：是一个二元运算 那么对于任意的bB, a1, a2 A b(a1a2)和(ba1) (ba2 )都有意义，但未必相等,定义： 我们说，代数运算和满足第 一分配率，假如对于任意的bB, a1, a2 A，都有 b(a1a2)=(ba1)(ba2 ),定理： 假如满足结合律，和满足第一 分配率，对于任意的bB, a1, a2 A，都有 b(a1a2 an) =(ba1)(ba2 )(ban ),定理证明：,元的个数为1或2时，结论正确. 假定元的个数=n-1时，结论成立. 考虑元的个数

13、为n的情况.这时 b(a1a2 an) = b(a1a2 an-1)an = b(a1a2 an-1)(ban) =(ba1)(ba2 )(ban ),定义: 我们说，代数运算和满足第 二分配率，假如对于任意的 bB, a1, a2 A，都有 (a1a2)b = (a1b)(a2b),定理： 假如满足结合律，和满足第一分配率，对于任意的bB, a1, a2 A，都有 (a1a2 an)b =(a1b)(a2b)(anb),引言,通过了解双射，同态及同构的理论，为后继课程中学习群同态，群同构（群第一、二同构定理）环同态，环同构理论做准备。具体要求： 充分了解双射（一一映射）的特性以及由此引导出的

14、逆映射。 两个代数系统的同态的概念，尤其是同态的满射所具有的性质。 掌握同构映射的实质，为以后学习内容奠定基础。,一一映射、变换,比较两个集合时常常采用在两个集合之间建立一一映射，或一一变换的方法. 定理：一个A与B之间的一一映射带来一 个用-1表示的B与A之间的一一映射. 证明：要证明-1为B与A之间的一一映射，需证明（1） -1为B与A之间的映射 （2） -1为B与A之间的单射 （3） -1为B与A之间的满射,注解,与-1正如作用力与反作用力一样，永远同时存在，因此 A与B之间的一一映射通常用a b表示 这里向右的箭头表示的作用；向左的箭头表示-1的作用 对于一个一一映射来说， A与B的次

15、序所占的地位不太重要，因此也叫做A与B之间的一一映射.,注解,假如A与B之间有一个一一映射存在， A是一个有限集，那么B也是一个有限集. 一个有限集不能与其真子集间有一一映射存在，但对无限集不然.,变换,定义： 一个A到A的映射叫做A的一个变换. 一个A到A的满射、 A到A的单射或A到A的一一映射叫做A的满射变换、单射变换或一一变换. 变换在近世代数里是极其重要的概念.,例,A=所有实数. : xex 是A的一个单射变换. A=所有整数. : aa/2 , a(a+1)/2 是A的一个满射变换. A=1,2,3. 1: 11 , 22 , 33 2: 12 , 23 , 31 都是A的一一变换

16、.,集合A 运算： 任取aA bA,带运算集合之间的关系同态,映射只与集合有关，但我们很少单独考察集合，而是要看带有代数运算的集合同态或同构,集合B 运算：,定义： 一个A到B的映射叫做一个对于运算 和,同态映射的定义,来说的， A到B的同态映射，假如在之下，对于任意的a, bA, 只要 就有 即,例,设A=所有整数, 代数运算是普通加法. B=1,-1,代数运算是普通乘法. 1: a1, a 是A的任意一个元 2： a 1, 若a是偶数 a-1, 若a是奇数 3： a-1, a是是A的任意一个元,定义： 假如对于代数运算 和 来说，有一个A到B的满射的同态映射，我们就说这个映射是一个同态满射

17、，并且称对于代数运算 和 来说， A与B同态.,同态满射的定义,同态的作用：对带有代数运算的集合进行比较,比较的结果,定理1： 假定对于代数运算 和 来说，集合A与B同态. 那么， （1）若 适合结合律， 也适合结合律； （2）若 适合交换律， 也适合交换律,结合律证明：,证明：,因为,所以,交换律证明：,证明：,因为,所以,比较的结果,定理2： 假定, 都是集合A的代数运算，, 都是B的代数运算 ，并且存在A到B的满射. 使得对于代数运算, 来说同态，对于代数运算 , 也同态，那么， （1）若 , 适合第一分配律, , 也适合第一 分配律； （2）若, 适合第二分配律, , 也适合第二 分配

18、律,证明第一分配率,因为,所以,同构映射,如果一个同态满射是一个一一映射同构 定义： 我们说，一个A与B间的一一映射是一个对于代数运算 和 来说的， A与B间的同构映 射（简称同构），假如在之下，对于任意的a, bA，只要 就有,集合同构,假如在A与B之间对于给定的代数运算来说，存在一个同构映射，我们说A与B关于代数运算同构，记作,例,设A=1, 2, 3, B=4, 5, 6 那么，：14， 25， 36 是A到B的一个同构映射.,自同构,定义： 对于给定代数运算而言的A与A间的同构映射称为A的自同构 设A=1, 2, 3，代数运算由下表给定：,那么，是A的自同构,注解：,上述表明，同构的两

19、个代数体系由运算所带来的规律性是相同的， 因此，同构的两个代数体系尽管可能有这样或那样的差别，但从近世代数的宗旨来看，我们自然认为：它们的差别是表面上的，次要的，而它们的共同点运算所体现的规律性则是本质的，主要的。 于是，我们需要阐明近世代数的观点是：凡同构的代数体系都认为是（代数）相同的。,注解,在上述观点下，一个代数体系经同构映射而保持不变的性质叫做它的代数性质。 于是，由代数运算所表述的任意一个性质都是代数性质。 代数体系的代数性质的总合统称为它的代数结构。 同构的代数体系有完全相同的代数结构。 研究代数体系的首要目的：就是确定所有互不同构的代数体系以及它们的代数结构。 而为了确定一个代

20、数体系的代数结构，只须让它与一个代数结构已经清楚的代数体系同构则可。,关系,关系： 一个AA到D的映射R叫做A的元间一个关系： 若R(a, b)=对，我们说，a与b符合关系R, 记作aRb 若R(a, b)=错，我们说，a与b不符合关系R. 例： A=所有实数 R(a, b)=对, 若 b-a0 R(a, b)=错, 若 b-a0 是A的元间的一个关系：ab,等价关系,定义: 设是集合A上的一个二元关系，如果具有以下三种性质： 反身性：aA, aa 对称性：a, b A, 当 ab 时, 必有 ba； 传递性：a,b,cA, 当 ab且 bc时，必有 ac. 那么，关系叫做A上的一个等价关系.

21、 并且当ab时，习惯称a与b等价.,集合的分类：,定义： 若把集合A分成若干个叫做类的子集，使得A的每一个元属于而且只属于一个类，那么这些类的全体叫做集合A的一个分类,定理1. 集合A的一个分类决定A的元间的一个等价关系. 定理2. 集合A的元间的一个等价关系决定A的一个分类.,定理1证明,根据分类定义等价关系如下： ab, 当且仅当a, b属于同一等价类. 下面证明是等价关系 自反性： a与a属于同一等价类，所以aa 对称性：若a与b属于同一等价类，则b与a属于同一等价类. 即，a b b a 传递性：若a与b属于同一等价类，且b与c属于同一等价类，则a与c属于同一等价类.即 a b 且 b c a c,定理2证明,根据给定的等价关系作A的一个