三角形中的垂直平分线

1、第一章 三角形的证明,如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?,复习旧知,怎样证明？,直线MNAB于C且AC=CB， 点P在MN上.,线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。,一、线段垂直平分线的性质:,求证：,PA=PB,已知：,直线MNAB于C，AC=CB，点P在MN上 PA=PB,一、线段垂直平分线的性质:,数学语言：,直线MN垂直平分AB，点P在MN上 PA=PB,也可以说：,P是线段AB垂直平分线MN上的点， PA=PB,还可以说：,线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。,你能写出上面这个定理的

2、逆命题吗?它是真命题吗?,如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明,二、线段垂直平分线的判定:,到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。,证明:,CA=CB,C在AB的垂直平分线上,已知:,求证:,证明:,过C作COAB于O， 则 AOC= BOC=90 在 RtAOC和Rt BOC中， AC=BC OC=OC RtAOC Rt BOC（HL） OA=OB 又

3、COAB于O C在AB的垂直平分线上,O,范例讲解,例1、已知：如图，在ABC中，AB=AC，O是 ABC内一点，且OB=OC。 求作：直线OA垂直平分线段BC。,证明：,AB=AC,点A在线段BC的垂直 平分线上,同理，点O在线段BC的垂直平分线上,直线AO是线段BC的垂直平分线,(到一条线段两 个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上),(两点确 定一条直线),、在以线段AB为底边的所有等腰三角形中，它 们另一个顶点的位置有什么共同特征？,合作交流,所有顶点在同一条直线上,所有顶点在线段AB的 垂直平分线上,到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。,一、线段垂直平分

4、线的性质定理：,线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。,二、线段垂直平分线的判定定理:,三、关系：,互逆,如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED= cm;如果ECD=600,那么EDC= 0.,7,60,解决问题,解:,如图,P为MON内一点,OMPA于E,ONPB于F，EA=EP，FB=FP，若AB长为15cm，求PCD的周长,OMPA于E，EA=EP，点C在OM上，CA=CP(线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等） 同理， ONPB于F，FB=FP，点D在ON上， DB=DP,CPCD=CP+CD+DP=CA+CD+DB

5、=AB 又AB=15cm PCD周长=15cm,如图,在ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,BCE的周长等于50,求BC的长.,尺规作图,回顾,已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线.,用尺规作线段的垂直平分线.,1.分别以点A和B为圆心,以大于AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D.,2. 作直线CD.,则直线CD就是线段AB的垂直平分线.,CD为什么是AB的垂直平分线？,提示: 因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也用这种方法作线段的中点.,1.已知直线 l 和直线上一点P,利用尺规作出直线 l 的一条垂线,使它经过点P.,P ,l,拓展练习：,图，求作一点P，使PA=PB，PC=PD,课堂小结, 畅谈收获：,到一条线段两个