直角三角形的性质与判定

1、第1课时 直角三角形的性质与判定,北师大版 八年级下册,2 直角三角形,白银市平川区电厂学校 李 发,情景引入,下图第2002年北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它的设计灵感来自哪类三角形的知识？,获取新知,探究一：直角三角形的性质 我们探索过直角三角形的哪些性质？与同伴交流.,1.直角三角形的角有哪些性质？,想一想,2.直角三角形的边有哪些性质？,获取新知,1. 直角三角形的两个锐角互余； 2.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.,【归纳结论】,方法一: 拼图计算 方法二：割补法 方法三：赵爽的弦图 方法四：总统证法 方法五：青朱出入图 方法六：折纸法,这些证法你还能

2、记得多少?你最喜欢哪种证法?,勾股定理的证明,获取新知,证明：延长CB至点D，使BD=b，作EBD=A，并取BE=c，连接ED、AE，则ABCBED. BDE=90，ED=a（全等三角形的对应角相等，对应边相等）. 四边形ACDE是直角梯形 .,勾股定理的证明,S梯形ACDE = (a+b)(a+b)= (a+b)2,ABE=180-ABC-EBD=180- 90=90 AB=BE SABE = c2 S梯形ACDE = SABE +SABC+ SBED , (a+b)2= c2+ ab+ ab即 a2+ab+ b2= c2+ ab+ ab a2+b2=c2,a,a,c,A,这个证明方法出自一

3、位总统, 1881年，伽菲尔德(J.A. Garfield )就任美国第二十任总统,在 1876 , 利用了图中梯形面积面积等于三个三角形面积的和，得, (a+b)2= c2+ ab+ ab即 a2+ab+ b2= c2+ ab+ ab,勾股定理证明-总统证法,伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法,S梯形ACDE = SABE +SABC+ SBED ,a2+b2=c2,获取新知,问题1：如果一个三角形有两个角互余，那么这三角形是直角三角形吗？为什么？你能证明吗？,探究二：直角三角形的判定,获取新知,勾股定

4、理的逆定理.,问题2：如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形吗？,逆定理的证明,已知：如图，在ABC中，AB2+AC2=BC2 求证：ABC是直角三角形,证明：作RtDEF，使D=90，DE=AB，DF=AC(如图)， 则DE2+DF2=EF2.(勾股定理) DE=AB，DF=AC, AB2+AC2=BC2 BC2=EF2 BC= EF ABCDEF（SSS） A=D=90(全等三角形的对应角相等) 因此，ABC是直角三角形,1.定理：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形 2.勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是

5、直角三角形,【归纳结论】,观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗?,1.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 2.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形,获取新知,探究三：互逆命题和互逆定理.,获取新知,互逆命题和互逆定理.,上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件,【归纳结论】,在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.相对于逆命题来说，另一个就为原命题 如果有些命题，原命

6、题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.,1.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:,(1)四边形是多边形； (2)两直线平行，同旁内角互补； (3)如果ab=0，那么a=0 b=0,解：(1)多边形是四边形原命题是真命题，而逆命题是假命题 (2)同旁内角互补，两直线平行原命题与逆命题同为真命题 (3)如果a=0，b=0，那么ab=0原命题是假命题，而逆命题 是真命题,随堂练习,(1)两条直线平行，内错角相等 (2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等 (3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 (4)全等三角形的对应角相等,2.说出下列命题的逆命题这些命题的逆命题成立吗?,感悟: 原命题成立