2.3等差数列的前n项和(共三课时) (2).ppt

1、学问是苦根上长出来的甜果,主备人：罗瑜唐强 审核人：牟必继,1.等差数列的定义：,2.通项公式：,3.重要性质:,复习,一般地，我们称a1+a2+an为数列an的前n项和， 常用Sn表示，即Sn=a1+a2+an,数列前n项和:,首项与末项的和： 1100101，,第2项与倒数第2项的和： 299 =101，,第3项与倒数第3项的和： 398 101，, ,第50项与倒数第50项的和：5051101，,于是所求的和是：,问题1:求 S=1+2+3+100=？,你知道高斯是怎么计算的吗？,高斯算法：,高斯算法用到了等差数列的什么性质？,高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四年

2、级时，一次老师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？,高斯（1777-1855）， 德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有“数学王子”之称。,高斯“神速求和”的故事:,问题2：1+2+3+n=？,1 + 2 + + n-1 + n n + n-1 + + 2 + 1 (n+1) + (n+1) + + (n+1) + (n+1),怎样求一般等差数列的前n项和呢？,新课,倒序相加法,等差数列的前n项和公式,公式1,公式

3、2,注： a1为首项，n为项数，d为公差, an为第n项,结论：知 三 求 二,思考：,(2)在等差数列 中，如果已知五个元素 中 的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?,(1)两个求和公式有何异同点？,公式记忆, 类比梯形面积公式记忆,例1、计算：,举例,例2.已知一个等差数列an的前10项的和是310，前20项 的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前 n 项 和的公式吗？,解：依题意知，S10=310，S20=1220,解得 a1=4，d=6,将它们代入公式,注：本题体现了方程的思想.,练习、,解：,例3、,解：,例4. 2000年11月14日教育部颁发了关于在中小学实施“

4、校校通”工程的通知某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网据测算，2001年该市用于“校校通”工程的费用为500万元，为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？,解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元. 所以，可以建立一个等差数列an ，表示从2001年起各年投入的资金，其中,a1=500,d=50,那么，到2010年(n=10),投入的资金总额为,答：从20012010”年,该市在“校

5、校通”工程中的总投入是7250元.,解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元. 所以，可以建立一个等差数列an ，表示从2001年起各年投入的资金，其中,a1=500,d=50,820,1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;,小结,3、应用公式求和.“知三求二”，方程的思想.,已知首项、末项用公式；已知首项、公差用公式.,作业,书面作业：P46 习题2.3 A组 1、2 、3,2.2.3 等差数列的前n项和,第二课时,例1. 已知数列an的前n项和为 ，求该 数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是， 它的首项和公差分别是什么？,新课

6、讲授,解：Sn=a1+a2+an，Sn-1=a1+a2+an-1(n1),当n=1时，, a1也满足式,当n1时，,所以数列an的通项公式为:,由此可知，数列an是一个首项为1.5，公差为2的 等差数列,若已知数列an前n项和为Sn，则该数列的 通项公式为,练习： （1）若Sn=n2-1，求an；（2）若Sn=2n2-3n，求an.,注意：(1)这种做法适用于所有数列； (2)用这种方法求通项需检验a1是否满足an. 若是，则an = Sn- Sn-1,结论,探究： 一般地，如果一个数列an的前n项和为Sn=pn2+qn+r，其中p、q、r为常数，且p0，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则

7、它的首项与公差分别是什么？,分析：当n1时，,当n=1时，a1=S1=p+q+r,又当n=1时，a1=2p-p+q=p+q 当且仅当r =0时，a1满足an=2pn-p+q,故只有当r=0时该数列才是等差数列， 此时首项a1=p+q，公差d=2p(p0),an=Sn-Sn-1 =pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r =2pn-p+q,数列an为等差数列,等差数列前n项和公式的函数特征：,特征：,知识拓展：,思考：,结论：,比如：P44例2,思路1：带公式解方程组,例1：P45例5,等差数列前项和的最值问题：,例2、已知一个等差数列中满足,解：,方法一,解：,方法二,对称轴 且更接

8、近9，所以n=9.,例2、已知一个等差数列中满足,2、在等差数列中an，若a1=25，且S9=S17，求数列前多少项和为最大？,3、在等差数列an中，Sn为其前n项和，首项a1=13，且S3=S11，则n=_时,Sn取得最大值。,7,作业:,1、P45 练习 2,等差数列前n项和,第三课时,仍成等差数列，,且公差为n2d,等差数列前n项和性质,方法一：方程思想,方法二：,成等差数列,等差数列奇，偶项和问题,例2、已知一个等差数列前12项的和是354，前 12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差,分析：方法一：直接套用公式； 方法二：利用奇数项与偶数项的关系,解：方法一：,例2、已知一个等差数列前12项的和是354，前 12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差,解：方法二：,例3、已知一个等差数列中d=05，,分析：还是利用奇数项和偶数项之间 的关系，相差一个公差d.,解：设,作业,1、作业：P46 习题2.3 A组 4、5、 6 B组 2,1倒序相加法 如果一个数列an，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的,2裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和,求数列前n项和方法之一：裂项相