2019版高考数学一轮复习第二十二章选修4系列22.2坐标系与参数方程讲义

1、22.2坐标系与参数方程五年高考考点一极坐标方程和直角坐标方程的互化1.(2017北京理,11,5分)在极坐标系中,点A在圆2-2cos -4sin +4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为.答案12.(2017天津理,11,5分)在极坐标系中,直线4cos+1=0与圆=2sin 的公共点的个数为.答案23.(2015北京,11,5分)在极坐标系中,点到直线(cos +sin )=6的距离为.答案14.(2015重庆,15,5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2cos 2=4,则直线l与曲线C的交点的极

2、坐标为.答案(2,)5.(2015广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2sin=,点A的极坐标为A,则点A到直线l的距离为.答案6.(2014天津,13,5分)在以O为极点的极坐标系中,圆=4sin 和直线sin =a相交于A,B两点.若AOB是等边三角形,则a的值为.答案37.(2014重庆,15,5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为sin2-4cos =0(0,00).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos .(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程

3、化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.解析(1)消去参数t得到C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(2分)将x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为2-2sin +1-a2=0.(4分)(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组(6分)若0,由方程组得16cos2-8sin cos +1-a2=0,(8分)由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1时,极点也为C1

4、,C2的公共点,在C3上.所以a=1.(10分)9.(2015江苏,21C,10分)选修44:坐标系与参数方程已知圆C的极坐标方程为2+2sin-4=0,求圆C的半径.解析以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为2+2-4=0,化简,得2+2sin -2cos -4=0.则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0,即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圆C的半径为.10.(2015课标,23,10分)(选修44:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为

5、极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为=(R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.解析(1)因为x=cos ,y=sin ,所以C1的极坐标方程为cos =-2,C2的极坐标方程为2-2cos -4sin +4=0.(5分)(2)将=代入2-2cos -4sin +4=0,得2-3+4=0,解得1=2,2=,故1-2=,即|MN|=.由于C2的半径为1,所以C2MN的面积为.(10分)11.(2015湖南,16(2),12分)(选修44:坐标系与参数方程)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立

6、极坐标系,曲线C的极坐标方程为=2cos .(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|MB|的值.解析(1)=2cos 等价于2=2cos .将2=x2+y2,cos =x代入即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.(2)将代入,得t2+5t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,|MA|MB|=|t1t2|=18.12.(2014课标,23,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为=2cos

7、 ,.(1)求C的参数方程;(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.解析(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0y1).可得C的参数方程为(t为参数,0t).(2)设D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同,tan t=,t=.故D的直角坐标为,即.教师用书专用(1320)13.(2014安徽改编,4,5分)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是

8、(t为参数),圆C的极坐标方程是=4cos ,则直线l被圆C截得的弦长为.答案214.(2014广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为sin2=cos 和sin =1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为.答案(1,1)15.(2013安徽理改编,7,5分)在极坐标系中,圆=2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为.答案=(R)和cos =216.(2013湖北理,16,5分)(选修44:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为(为参数,ab0),在极坐标系(与直

9、角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标方程分别为sin=m(m为非零常数)与=b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为.答案17.(2013北京理,9,5分)在极坐标系中,点到直线sin =2的距离等于.答案118.(2013江西理,15,5分)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为.答案cos2=sin 19.(2014辽宁,23,10分)选修44:坐标系与参数方程将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐

10、标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.解析(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得由+=1得x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1.故C的参数方程为(t为参数).(2)由解得或不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=,化为极坐标方程,并整理得2cos -4sin =-3,即=.20.(2013辽宁理,23,10分)选修

11、44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为=4sin ,cos=2.(1)求C1与C2交点的极坐标;(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(tR为参数),求a,b的值.解析(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.解得所以C1与C2交点的极坐标为,.(6分)注:极坐标系下点的表示不唯一.(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=x-+1,所以

12、解得a=-1,b=2.(10分)考点二参数方程和普通方程的互化1.(2016天津理,14,5分)设抛物线(t为参数,p0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且ACE的面积为3,则p的值为.答案2.(2015湖北,16,5分)(选修44:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为(sin -3cos )=0,曲线C的参数方程为(t为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=.答案23.(2014湖北,16,5分)已知曲线C1的参数方程是(t为参数),以

13、坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是=2,则C1与C2交点的直角坐标为.答案(,1)4.(2016江苏,21C,10分)选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.解析椭圆C的普通方程为x2+=1.将直线l的参数方程(t为参数)代入x2+=1,得+=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-.所以AB=|t1-t2|=.5.(2016课标全国理,23,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参

14、数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.解析(1)C1的普通方程为+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos ,sin ).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值,d()=.(8分)当且仅当=2k+(kZ)时,d()取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.(10分)6.(2016课标全国,23,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐

15、标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.解析(1)由x=cos ,y=sin 可得圆C的极坐标方程为2+12cos +11=0.(3分)(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为=(R).设A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得2+12cos +11=0.(6分)于是1+2=-12cos ,12=11.|AB|=|1-2|=.(8分)由|AB|=得cos2=,tan =.(9分)所以l的

16、斜率为或-.(10分)7.(2015课标,23,10分)(选修44:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t0),其中0.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=2sin ,C3:=2cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.解析(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.由得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为=(R,0),其中0.因此A的极坐标为(2sin ,),B的极坐标为(2cos

17、,).所以|AB|=|2sin -2cos |=4.当=时,|AB|取得最大值,最大值为4.8.(2015陕西,23,10分)(选修44:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,C的极坐标方程为=2sin .(1)写出C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.解析(1)由=2sin ,得2=2sin ,从而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.(2)设P,又C(0,),则|PC|=,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,P点的直角坐标为(3,0).9.(2014江苏

18、,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长.解析将直线l的参数方程代入抛物线方程y2=4x,得=4,解得t1=0,t2=-8.所以AB=|t1-t2|=8.10.(2014课标,23,10分)(选修44:坐标系与参数方程)已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.解析(1)曲线C的参数方程为(为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2c

19、os ,3sin )到l的距离为d=|4cos +3sin -6|.则|PA|=|5sin(+)-6|,其中为锐角,且tan =.当sin(+)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(+)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.11.(2013江苏,21C,14分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(为参数).试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.解析因为直线l的参数方程为(t为参数),由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,得到直线l的普通方程为2x-y-2=0.同理得到曲线C的普通方程为y2=2x.联立得方程组解得公共点的

20、坐标为(2,2),.教师用书专用(1217)12.(2014北京改编,3,5分)曲线(为参数)的对称中心坐标是.答案(-1,2)13.(2013湖南理,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线l:(t为参数)过椭圆C:(为参数)的右顶点,则常数a的值为.答案314.(2013重庆理,15,5分)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若极坐标方程为cos =4的直线与曲线(t为参数)相交于A,B两点,则|AB|=.答案1615.(2013陕西理,15C,5分)如图,以过原点的直线的倾斜角为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程为.答案(为参数)16.2014福建

21、,21(2),7分已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(为参数).(1)求直线l和圆C的普通方程;(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.解析(1)直线l的普通方程为2x-y-2a=0,圆C的普通方程为x2+y2=16.(2)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d=4,解得-2a2.17.2013福建理,21(2),7分在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为cos=a,且点A在直线l上.(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;(2)圆C的参数方程为(为参数),试判断直线l与圆C的位

22、置关系.解析(1)由点A在直线cos=a上,可得a=.所以直线l的方程可化为cos +sin =2,从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.(2)由已知得圆C的普通方程为(x-1)2+y2=1,所以圆C的圆心为(1,0),半径r=1,因为圆心C到直线l的距离d=0)相切,求a的值.解析直线方程cos=2转化为x-y-4=0,圆的方程=acos (a0)转化为2=acos ,整理成直角坐标方程为x2+y2-ax=0,即+y2=,因为直线与圆相切,a0,所以到直线x-y-4=0的距离等于.所以=,解得a=或a=-8(舍去).故a的值为.2.(苏教选44,四,2,9,变式)在极坐标系中,设直线=与

23、曲线2-10cos+4=0相交于A,B两点,求线段AB中点的极坐标.解析将直线方程=化为普通方程得,y=x,将曲线方程2-10cos+4=0化为普通方程得,x2+y2-10x+4=0,由消去y得,2x2-5x+2=0,解得x1=,x2=2,所以AB中点的横坐标为=,纵坐标为,化为极坐标为.3.(2017江苏苏北四市摸底)已知曲线C的极坐标方程为sin=3,以极点为坐标原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,求曲线C的直角坐标方程.解析由sin=3得sin +cos =3,因为cos =x,sin =y,所以曲线C的直角坐标方程为x+y-6=0.4.(2017南通、泰州高三一模)在极坐标系

24、中,求直线=(R)被曲线=4sin 所截得的弦长.解析解法一:在=4sin 中,令=,得=4sin =2,即弦长为2.解法二:以极点O为坐标原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系.直线=(R)的直角坐标方程为y=x,曲线=4sin 的直角坐标方程为x2+y2-4y=0.由得或所以直线=(R)被曲线=4sin 所截得的弦长=2.5.(2017苏北三市第三次模拟考试,21C)在极坐标系中,已知点A,点B在直线l:cos +sin =0(02)上.当线段AB最短时,求点B的极坐标.解析以极点为原点,极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系,则点A的直角坐标为(0,2),直线l的直角坐标方程为x+y

25、=0.当线段AB最短时,点B为直线x-y+2=0与直线l的交点,由解得所以点B的直角坐标为(-1,1).所以点B的极坐标为.考点二参数方程和普通方程的互化6.(2018江苏徐州铜山中学期中)在极坐标系中,圆C的方程为=2acos (a0),以极点为坐标原点,极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系,设直线l的参数方程为(t为参数),若直线l与圆C恒有公共点,求实数a的取值范围.解析由(t为参数),可得直线l的普通方程为12x-5y-17=0,由=2acos (a0)得2=2acos ,所以圆C的标准方程为(x-a)2+y2=a2,因为直线l与圆C恒有公共点,所以|a|.又因为a0,所以a,解得a,

26、所以实数a的取值范围为a.7.(2018江苏扬州中学高三月考)在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度.已知曲线C1:(t为参数)和曲线C2:sin2=2cos 相交于A、B两点,求AB中点的直角坐标.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),C1的直角坐标方程为4x-3y-8=0,C2的直角坐标方程为y2=2x,将直线方程代入y2=2x可得2y2-3y-8=0,所以y1+y2=,y1y2=-4,所以x1+x2=,所以AB中点的坐标为.8.(苏教选44,四,4,4,变式)已知直线l的参数方程为(t为参数),P是椭圆+y2=1上的任意一点,求点P

27、到直线l的距离的最大值.解析由于直线l的参数方程为(t为参数),故直线l的普通方程为x+2y=0.因为P为椭圆+y2=1上的任意一点,故可设P(2cos ,sin ),其中R.因此点P到直线l的距离d=.所以当=k+,kZ时,d取得最大值.所以点P到直线l的距离的最大值为.B组20162018年模拟提升题组(满分:40分时间:20分钟)解答题(共40分)1.(2017江苏南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:(t为参数).现以坐标原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为=2cos ,直线l与圆C交于A,B两点,求弦AB的长.解析直线l的参数方程:(t为参数)化为普通方程,得4x-3y=0,圆C的极坐标方程=2cos 化为直角坐标方程,得(x-1)2+y2=1,所以圆C的圆心到直线l的距离d=,所以AB=2=.2.(2017江苏淮安期末)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(t为参数).以O