高中数学选修4-4 2.4渐开线与摆线.ppt

1、四渐开线与摆线,1.渐开线 (1)把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切而逐渐展开,那么笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开线的基圆. (2)圆的渐开线的参数方程:,2.摆线 (1)圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点的轨迹,圆的摆线又叫旋轮线. (2)圆的摆线的参数方程:,做一做1半径为2的圆的渐开线的参数方程为(),答案：C,做一做2半径为2的圆的摆线的参数方程为(),答案：C,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)只有圆才有渐开线. () (2)渐开线和摆线

2、的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到不同的图形. () (3)对于同一个圆,如果建立的直角坐标系的位置不同,画出的渐开线的形状就不同. () (4)在求圆的摆线和渐开线参数方程时,如果建立的坐标系的原点和坐标轴不同,可能会得到不同的参数方程. (),探究一,探究二,思维辨析,圆的渐开线、摆线的参数方程的理解,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,【例2】 已知生成摆线的圆的直径为80 mm,则摆线的参数方程为. 分析：直接代入摆线的参数方程即可.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,渐开线、摆线的参数

3、方程的应用 【例3】 导学号73760033已知圆的直径为2,其渐开线的参数方程对应的曲线上的A,B两点所对应的参数分别是 ,求A,B两点间的距离. 分析：先写出圆的渐开线的参数方程,再把点A,B所对应的参数分别代入参数方程可得A,B两点的坐标,然后使用两点间的距离公式求得A,B间的距离.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,变式训练3设摆线 (t为参数,0t2)与直线y=1相交于A,B两点,求A,B两点间的距离.,探究一,探究二,思维辨析,对参数的几何意义理解不全面致误 典例已知一个圆的摆线经过定点(1,0),请写出该摆线的参数方程. 错解令r(1-

4、cos )=0可得cos =1,所以=0,代入x=r(-sin )可得x=0.故此题无解.,正解令r(1-cos )=0可得cos =1,所以=2k(kZ).代入x=r(-sin )可得x=r(2k-sin 2k)=1.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,变式训练若半径为5的圆的摆线上某点的纵坐标为0,则其横坐标可能是() A.B.5C.10D.12 解析：根据条件可知圆的摆线的参数方程为 (为参数),把y=0代入可得cos =1,所以=2k(kZ).而x=5-5sin =10k(kZ).根据选项可知应选C. 答案：C,1 2 3 4 5,1.已知圆的渐开线的参数方程为 (为参数),则此渐开线对应基圆的面积是() A.1B.C.2D.2 解析：由参数方程知基圆的半径为1,故其面积为. 答案：B,1 2 3 4 5,答案：A,1 2 3 4 5,3.若一个圆的渐开线的参数方程为 (为参数),则相应的摆线的参数方程为.,1 2 3 4 5,4.已知圆的方程为x2+y2=25,点P为其渐开线上一点,对应的参数= ,则点P的坐标为.,1 2 3 4 5,5.有一标准的渐开线齿轮,齿轮的齿廓线的基圆直径为