2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法

1、,用二分法求方程的近似解,主讲人：何永香,复习旧知,零点概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.,方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c(a,b)，使得f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.,讨论,有十二个小球，质量均匀，只有一个球是比其它的球重，你用天平称几次可以找出这个球？要求次数越少越好. 第一次，两端各放六个，低的那一端一定有重球； 第二次，两端各

2、放三个球，低的那一端一定有重球； 第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则低的那端是重球.,一元二次方程可以用公式求根,但是没有公式可以用来求方程lnx+2x-6=0的根,那么我们怎样去求这个方程的根呢？,提出问题,求方程的根等价于求相应函数的零点,研讨新知,我们已经知道,函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？,如果能够将零点的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值.,如何缩小零点所在的的范围？,我来说,通过取中点的方法缩小零点所在的的范围,我要问,我要说,f(2.5)=-0.084 0,0.2150

3、,f(2.75)=0.5120,2.75,2.625,（2.5，3）,(2.5,2.75),-0.0090,0.0660,2.5625,2.53125,(2.5,2.625),(2.5,2.5625),（2，3）,借助计算机作函数 的图象.请借助于计算器填下表:,当精度为0.1时,|2.53125-2.5625|=0.031250.1,1,0.5,0.25,0.125,0.0625,2.5,f(2)0,f(2.5)0,f(2.5)0,f(2.5)0,f(2.5)0,2,3,给这种方法取个名字?,I、二分法的定义：,对于在区间a,b上连续不断且满足 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x

4、)的零点所在的区间一分为二，使区间的 两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近 似值的方法叫做二分法.,思考：是否所有存在零点的函数都可以用二分法求得零点？,请思考:利用二分法求函数零点的关键条件是什么？,1.函数y=f (x)在a,b上连续不断.,2. y=f (x)满足 f (a) f (b)0，则在(a,b)内必有零点.,C,练习,探究归纳,1.确定零点所在区间a,b，验证 f(a)f(b)0,给定精确度；,3.计算f(c)；,2.求区间(a,b)的中点c；,（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；,（2）若f(a) f(c)0，则令b= c（此时零点x0(a, c) );,（3）若f(c

5、) f(b)0，则令a= c（此时零点x0( c, b) ).,4.判断是否达到精确度:即若|a-b|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤24,用二分法求函数f(x)的零点的近似值的步骤：,近似数x与真实值x0之差的绝对值 |xx0|就是近似值x的精确度(即精确度是近似数x与真实值x0之间的接近程度)，用数轴上对应的点描述，近似值x在以真实值x0为中心、精确度为半径的邻城中的任一数. 找到的区间的两个端点差的绝对值必须小于题中所给精确度的数值，则该区间就是满足题中条件的零点区间，该闭区间上的任一数值就是零点的近似值.,例4:利用计算器求方程2 x+3x=7的近似解(精确度0.1)。,解：原方程即为2 x+3x-7=0,令f(x)= 2 x+3x-7。,因为1.375-1.4375 =0.06250.1 所以原方程的近似解可取1.4375,f(x)= 2 x+3x-7,-1 0 1 2,通过计算得下表,可知f(1)f(2)0,说明在区间(1,2)内有零点。,作出函数的对应值表与图象,y,x,y,例2.设函数 ,用二分法求 方程 在 内近似解的过 程中取区间中点 ，那么下一个有根区间为 （ ） A C 或 都可 B D 不能确定,想一想,为什么由|a-b|便可判断零点的近似值为a或b?,答：设函数零点为x0,则ax0b,则:0x0-a