高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第3讲 导数与函数的极值、最值课件

1、第3讲导数与函数的极值、最值,最新考纲了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).,知 识 梳 理,1.函数的极值与导数 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f(x0)0， 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是_； 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.,极大值,(2)求可导函数极值的步骤 求f(x)； 求方程_的根； 检查f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的符号.如果左正

2、右负，那么f(x)在这个根处取得_；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得_.,f(x)0,极大值,极小值,2.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在a，b上有最值的条件 如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)设函数f(x)在a，b上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下： 求f(x)在(a，b)内的极值； 将f(x)的各极值与_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.,f(a)，f(b),诊 断 自 测,1.判断正误(在括号内打“”或“”) (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.() (

3、2)函数的极大值不一定比极小值大.() (3)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件.() (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(),解析(1)函数在某区间上或定义域内的极大值不唯一.(3)x0为f(x)的极值点的充要条件是f(x0)0，且x0两侧导数符号异号. 答案(1)(2)(3)(4),2.函数f(x)x33x1有() a.极小值1，极大值1 b.极小值2，极大值3 c.极小值2，极大值2 d.极小值1，极大值3,解析因为f(x)x33x1，故有y3x23，令y3x230，解得x1， 于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,

4、所以f(x)的极小值为f(1)1，f(x)的极大值为f(1)3.,答案d,3.(选修22p32a4改编)如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(),a.1 b.2 c.3 d.4 解析由题意知在x1处f(1)0，且其左右两侧导数符号为左负右正. 答案a,4.(2017武汉模拟)函数y2x32x2在区间1，2上的最大值是_.,答案8,5.函数f(x)ln xax在x1处有极值，则常数a_.,答案1,随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,当a0时，随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,当a0时，随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下表

5、：,规律方法函数极值的两类热点问题 (1)求函数f(x)极值这类问题的一般解题步骤为： 确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值. (2)由函数极值求参数的值或范围. 讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f(x)0根的有无(个数).然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号.,由f(4)2(6416aa2)8得a10或a6

6、(舍去)， 当a10时，f(x)在(1，4)上单调递减，f(x)在1，4上的最小值为f(4)8，符合题意. 综上有，a10.,规律方法(1)求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤：求函数在(a，b)内的极值；求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；将函数f(x)的极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)含参数的函数的最值一般不通过比值求解，而是先讨论函数的单调性，再根据单调性求出最值.含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间，二是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论.,【训练2】 已知函数f(x)

7、(ax2)ex在x1处取得极值. (1)求a的值； (2)求函数在区间m，m1上的最小值.,解(1)f(x)(axa2)ex， 由已知得f(1)(aa2)e0， 解得a1，经检验a1符合题意，所以a的值为1. (2)由(1)得f(x)(x2)ex，f(x)(x1)ex. 令f(x)0得x1，令f(x)0得x1.,所以函数f(x)在(，1)上递减，在(1，)上递增. 当m1时，f(x)在m，m1上递增，f(x)minf(m)(m2)em， 当0m1时，f(x)在m，1上递减，在(1，m1上递增，f(x)minf(1)e. 当m0时，m11，f(x)在m，m1上单调递减，,思想方法 1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分. 2.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小. 3.可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同. 4.若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(