高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.3 圆的方程课件 文 苏教版

1、9.3圆的方程,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,圆的定义与方程,知识梳理,定点,定长,(a，b),r,d2e24f0,1.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或d，e，f的方程组； (3)解出a，b，r或d，e，f代入标准方程或一般方程.,2.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点m(x0，y0) (1)点在圆上： ； (2)点在圆外： ； (3)点在圆内： .,(x0a)2(y0b)2r2,(x0

2、a)2(y0b)2r2,(x0a)2(y0b)2r2,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.() (2)已知点a(x1，y1)，b(x2，y2)，则以ab为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.() (3)方程ax2bxycy2dxeyf0表示圆的充要条件是ac0，b0，d2e24af0.() (4)方程x22axy20一定表示圆.() (5)若点m(x0，y0)在圆x2y2dxeyf0外，则 dx0ey0f0. (),考点自测,1.(教材改编)圆心是(2,3)，且经过原点的圆的标准方程为_.,(x2)2(y3)213,易得r

3、 .,答案,解析,2.方程x2y2mx2y30表示圆，则m的范围是_ _.,将x2y2mx2y30化为圆的标准方程得(x )2(y1)2 13. 由其表示圆可得 20，解得m,答案,解析,3.(2016扬州检测)当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过定点c，则以点c为圆心， 为半径的圆的方程为_.,答案,解析,x2y22x4y0,将方程分离参数a可得a(x1)(xy1)0，,方程表示过两直线的交点，由 得交点为(1，2)，,故圆的方程为(x1)2(y2)25，即x2y22x4y0.,4.(教材改编)圆c的圆心在x轴上，并且过点a(1,1)和b(1,3)，则圆c的方程为_.,答案,解析,x

4、2y24x60,设圆心坐标为c(a,0)，,点a(1,1)和b(1,3)在圆c上，,cacb，,解得a2，圆心为c(2,0)，,半径ca ，,圆c的方程为(x2)2y210，即x2y24x60.,5.(2016浙江)已知ar，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_.,答案,解析,(2，4),由已知方程表示圆，则a2a2，解得a2或a1. 当a2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a1时，原方程为x2y24x8y50， 化为标准方程为(x2)2(y4)225， 表示以(2，4)为圆心，半径为5的圆.,5,题型分类深度剖析,题型一求圆的方程 例1(1)(2016

5、天津)已知圆c的圆心在x轴的正半轴上，点m(0， )在圆c上，且圆心到直线2xy0的距离为 ，则圆c的方程为_.,答案,解析,x2y24x50,因为圆c的圆心在x轴的正半轴上，设c(a,0)，且a0，,所以圆心到直线2xy0的距离,解得a2，所以圆c的半径rcm 3，,所以圆c的方程为(x2)2y29，即x2y24x50.,(2)(2015课标全国)一个圆经过椭圆 1的三个顶点，且圆心在 x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_.,答案,解析,由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，2)三点， (4,0)，(0，2)两点的垂直平分线方程为y12(x2)，,令y0，解得x ，圆心为 ，半径为 .,

6、所以圆的标准方程为(x )2y2 .,(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程. (2)待定系数法 若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于d，e，f的方程组，进而求出d，e，f的值.,思维升华,跟踪训练1(2016苏州一模)圆心在直线2xy70上的圆c与y轴交于a(0，4)，b(0，2)两点，则圆c的标准方程为_.,答案,解析,设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，,(x2)2(y3)25,故圆c的标准方

7、程为(x2)2(y3)25.,题型二与圆有关的最值问题 例2(2016盐城检测)已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上，求xy的最大值和最小值.,解答,设txy，则yxt，t可视为直线yxt的纵截距， xy的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距. 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，,即 1，,解得t 1或t 1.,xy的最大值为 1，最小值为 1.,几何画板展示,引申探究 1.在例2的条件下，求 的最大值和最小值.,解答,可视为点(x，y)与原点连线的斜率， 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，

8、即直线与圆相切时的斜率. 设过原点的直线的方程为ykx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，,即 1，解得k2 或k2 ., 的最大值为2 ，最小值为2 .,几何画板展示,2.在例2的条件下，求 的最大值和最小值.,解答,求它的最值可视为求点(x，y)到定点(1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，3)到定点(1,2)的距离与半径的和或差.,又圆心到定点(1,2)的距离为 ，, 的最大值为 1，最小值为 1.,与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解. (2)与圆上点(x，y)有关代数

9、式的最值的常见类型及解法.形如u 型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题.,思维升华,跟踪训练2(2016扬州模拟)已知实数x，y满足方程x2y24x10.求： (1) 的最大值和最小值；,解答,如图，方程x2y24x10表示以点(2,0)为圆心，以 为半径的圆.,设 k，即ykx，,则圆心(2,0)到直线ykx的距离为半径， 即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值.,由 ，解得k23，,kmax ，kmin .

10、,(2)yx的最小值；,解答,设yxb，则yxb， 当且仅当直线yxb与圆切于第四象限时，截距b取最小值，,由点到直线的距离公式，得,即b2 ， 故(yx)min2 .,(3)x2y2的最大值和最小值.,解答,x2y2是圆上的点与原点的距离的平方，故连结oc， 与圆交于b点，并延长交圆于c，则 (x2y2)max(oc)2(2 )27 ， (x2y2)minob2(2 )27 .,题型三与圆有关的轨迹问题 例3(2016盐城模拟)已知圆x2y24上一定点a(2,0)，b(1,1)为圆内一点，p，q为圆上的动点. (1)求线段ap中点的轨迹方程；,解答,设ap的中点为m(x，y)， 由中点坐标公

11、式可知，p点坐标为(2x2,2y). 因为p点在圆x2y24上， 所以(2x2)2(2y)24， 故线段ap中点的轨迹方程为(x1)2y21.,几何画板展示,(2)若pbq90，求线段pq中点的轨迹方程.,解答,设pq的中点为n(x，y)，在rtpbq中， pnbn. 设o为坐标原点，连结on，则onpq， 所以op2on2pn2on2bn2， 所以x2y2(x1)2(y1)24. 故线段pq中点的轨迹方程为x2y2xy10.,几何画板展示,求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法 (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程. (3)

12、几何法，利用圆的几何性质列方程. (4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.,思维升华,跟踪训练3(2016天津模拟)设定点m(3,4)，动点n在圆x2y24上运动，以om、on为两边作平行四边形monp，求点p的轨迹.,解答,几何画板展示,如图所示，设p(x，y)，n(x0，y0)，,则线段op的中点坐标为 ，,线段mn的中点坐标为,由于平行四边形的对角线互相平分，,从而,又n(x3，y4)在圆上， 故(x3)2(y4)24. 因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，,但应除去两点 和 (点p在直线om上的情况).,典例在平面直角坐标系xoy中，曲线yx26x1与坐

13、标轴的交点都在圆c上，求圆c的方程.,利用几何性质巧设方程求半径,思想与方法系列19,本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法. (1)一般解法(代数法)：可以求出曲线yx26x1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式. (2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题.,思想方法指导,规范解答,解一般解法(代数法)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)， 与x轴的交点为(3 ，0)，(3 ，0)， 设圆的方程是x2y2dxeyf0(d2e24f

14、0)，,则有,解得,故圆的方程是x2y26x2y10.,巧妙解法(几何法)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)， 与x轴的交点为(3 ，0)，(3 ，0). 故可设c的圆心为(3，t)， 则有32(t1)2( )2t2，解得t1. 则圆c的半径为 3， 所以圆c的方程为(x3)2(y1)29， 即x2y26x2y10.,课时作业,1.(2016南通模拟)已知点a(1，1)，b(1,1)，则以线段ab为直径的圆的标准方程是_.,答案,解析,x2y22,ab的中点坐标为(0,0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,圆的标准方程为x2y22.,2.已知圆m的圆心m在y

15、轴上，半径为1，直线l：y2x2被圆m所截得的弦长为 ，且圆心m在直线l的下方，则圆m的标准方程是_.,答案,解析,x2(y1)21,点m到l的距离d,设m(0，a)，所以 ，,又因为a2022，所以a1. 所以圆m的标准方程为x2(y1)21.,所以a1或a3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016徐州质检)设圆的方程是x2y22ax2y(a1)20，若0a1，则原点与圆的位置关系是_.,答案,解析,将圆的一般方程化成标准方程为(xa)2(y1)22a， 因为0a1， 所以(0a)2(01)22a(a1)20，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,

16、11,12,13,原点在圆外,所以原点在圆外.,4.点p(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是_.,答案,解析,(x2)2(y1)21,设圆上任一点坐标为(x0，y0)， 4，,连线中点坐标为(x，y)，,代入 4，得(x2)2(y1)21.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.已知圆m的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x2的右侧，若圆m截直线l1所得的弦长为 ，且与直线l2：2x 40相切，则圆m的标准方程为_.,答案,解析,(x1)2y24,由已知，可设圆m的圆心坐标为(a,0)，a2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13

17、,半径为r，得,解得 满足条件，,所以圆m的标准方程为(x1)2y24.,6.若圆x2y22x6y5a0关于直线yx2b成轴对称图形，则ab的取值范围是_.,答案,解析,圆的方程可化为(x1)2(y3)2105a， 可知圆心为(1，3)， 且105a0，即a2. 圆关于直线yx2b成轴对称图形， 点(1，3)在直线上，则b2. ab2a4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(，4),7.(2016常州模拟)已知圆c过点(1,0)，且圆心在x轴的负半轴上，直线l：yx1被该圆所截得的弦长为 ，则过圆心且与直线l平行的直线方程为_.,答案,解析,设圆的方程为(xa)2y

18、2r2(a0)， 因为圆c过点(1,0)，且直线l：yx1被该圆所截得的弦长为 ，,xy30,所以,解得 即圆心坐标为(3,0)，,则所求直线为yx3，即xy30.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.过点p(1,1)的直线，将圆形区域(x，y)|x2y24分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为_.,当圆心与点p的连线和过点p的直线垂直时，符合条件. 圆心o与点p连线的斜率k1， 所求直线方程为y1(x1)，即xy20.,xy20,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.圆心在直线x2y0上的圆c与y轴的正半轴相

19、切，圆c截x轴所得弦的长为 ，则圆c的标准方程为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(x2)2(y1)24,设圆c的圆心为(a，b)(a0，b0)， 由题意得a2b0， 且a2( )2b2， 解得a2，b1. 所求圆的标准方程为(x2)2(y1)24.,10.(2016无锡模拟)已知两点a(1,0)，b(0,2)，点p是圆(x1)2y21上 任意一点，则pab面积的最大值与最小值分别是_.,答案,解析,如图，圆心(1,0)到直线ab：2xy20的距离d 故圆上的点p到直线ab的距离的最大值是 最小值是 又ab ，故pab面积的最大值和最小值分别 是,1

20、,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.已知圆c经过p(4，2)，q(1,3)两点，且在y轴上截得的线段的长为 ，半径小于5. (1)求直线pq与圆c的方程；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由题意知直线pq的方程为xy20.,由于线段pq的垂直平分线的方程是y x ，,设圆心c(a，b)，半径为r，,即yx1，所以ba1.,由圆c在y轴上截得的线段的长为 ，,知r2( )2a2，,可得(a1)2(b3)212a2，,由得a1，b0或a5，b4. 当a1，b0时，r213，满足题意， 当a5，b4时，r237，不满足题意. 故圆c的方程为(x1)2y213.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)若直线lpq，且l与圆c交于点a，b，且以线段ab为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程.,解答,设直线l的方程为yxm(m2)，,a(x1，mx1)，b(x2，mx2).,由题意可知oaob，即 0，,化简得2x1x2m(x1x2)m20.,x1x2(mx1)(mx2)0，,由 得2x22(m1)xm2120，,x1x2m1，x1x2 ，,m4或m3，经检验都满足题意， 直线l的方程为xy40或xy30.,代入，得m212