高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直课件 理 北师大版

1、8.7立体几何中的向量方法(一) 证明平行与垂直,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,(1)直线的方向向量：在直线上任取一 向量作为它的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为,1.直线的方向向量与平面的法向量的确定,知识梳理,非零,2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合) . (2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l . (3)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l

2、或l. (4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则 .,v1v2,存在两个实数x，y，使vxv1yv2,vu,u1 u2,3.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2 . (2)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l . (3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则 .,v1v2,v1v20,vu,u1u2,u1u20,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.() (2)平面的单位法向量是唯一确定的.() (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.() (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行

3、.() (5)若ab，则a所在直线与b所在直线平行.() (6)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行.(),1.已知a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)，则下列向量是平面abc法向量的是,考点自测,答案,解析,设n(x，y，z)为平面abc的法向量，,xyz.故选c.,2.直线l的方向向量a(1，3,5)，平面的法向量n(1,3，5)，则有 a.l b.l c.l与斜交 d.l或l,答案,解析,由an知，na，则有l，故选b.,3.平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k等于 a.2 b.4 c.4 d.2,，两平面法向量平行，,答案,解析

4、,4.(教材改编)设u，v分别是平面，的法向量，u(2,2,5)，当v(3，2,2)时，与的位置关系为_；当v(4，4，10)时，与的位置关系为_.,答案,解析,当v(3，2,2)时， uv(2,2,5)(3，2,2)0. 当v(4，4，10)时，v2u.,5.(教材改编)如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，o是底面正方形abcd的中心，m是d1d的中点，n是a1b1的中点，则直线on，am的位置关系是_.,答案,解析,垂直,题型分类深度剖析,题型一利用空间向量证明平行问题,例1(2016重庆模拟)如图所示，平面pad平面abcd，abcd为正方形，pad是直角三角形，且paad2，

5、e，f，g分别是线段pa，pd，cd的中点.求证：pb平面efg.,证明,平面pad平面abcd，abcd为正方形，pad是直角三角形，且paad， ab，ap，ad两两垂直，以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(2，0,0)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，p(0，0,2)，e(0,0,1)，f(0,1,1)，g(1，2,0).,即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，,pb 平面efg，pb平面efg.,引申探究,本例中条件不变，证明平面efg平面pbc.,证明,又ef 平面pbc，bc平面pbc， ef平面pbc， 同理可证gfpc，从而得出

6、gf平面pbc. 又efgff，ef平面efg，gf平面efg， 平面efg平面pbc.,思维升华,(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键. (2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.,跟踪训练1 (2016北京海淀区模拟)正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是c1c，b1c1的中点.求证：mn平面a1bd.,证明,如图所示，以d为坐标原点

7、，da，dc，dd1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.,设正方体的棱长为1，则m(0,1， )，n( ，1,1)，d(0,0,0)，a1(1,0,1)，b(1,1,0)，,设平面a1bd的法向量为n(x，y，z)，,取x1，得y1，z1. 所以n(1，1，1).,又mn 平面a1bd，所以mn平面a1bd.,例2如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)abca1b1c1的所有棱长都为2，d为cc1的中点.求证：ab1平面a1bd.,题型二利用空间向量证明垂直问题,命题点1证线面垂直,证明,方法一设平面a1bd内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数，使

8、m .,令 a， b， c，显然它们不共面，并且|a|b|c|2，abac0，bc2，以它们为空间的一个基底，,方法二如图所示，取bc的中点o，连接ao. 因为abc为正三角形， 所以aobc. 因为在正三棱柱abca1b1c1中， 平面abc平面bcc1b1，所以ao平面bcc1b1. 取b1c1的中点o1，以o为原点，分别以 ， ， 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则b(1,0,0)，d(1,1,0)，a1(0,2， )， a(0,0， )，b1(1,2,0).,设平面a1bd的法向量为n(x，y，z)， (1,2， )， (2,1,0).,令x1，则y2，z ，

9、 故n(1,2， )为平面a1bd的一个法向量，,故ab1平面a1bd.,例3(2016武汉模拟)如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是边长为a的正方形，侧面pad底面abcd，且papd ad，设e，f分别为pc，bd的中点. (1)求证：ef平面pad；,命题点2证面面垂直,证明,如图，取ad的中点o，连接op，of. 因为papd，所以poad. 因为侧面pad底面abcd，平面pad平面abcdad， 所以po平面abcd. 又o，f分别为ad，bd的中点，所以ofab. 又abcd是正方形，所以ofad.,以o为原点，oa，of，op所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标

10、系，,所以ef平面pad.,(2)求证：平面pab平面pdc.,证明,又papd，pdcdd，所以pa平面pdc. 又pa平面pab，所以平面pab平面pdc.,思维升华,证明垂直问题的方法 (1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键. (2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然 ，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一

11、条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.,跟踪训练2 (2016青岛模拟)如图，在多面体abca1b1c1中，四边形a1abb1是正方形，abac，bc ab，b1c1綊 bc，二面角a1abc是直二面角.求证： (1)a1b1平面aa1c；,证明,二面角a1abc是直二面角，四边形a1abb1为正方形， aa1平面bac. 又abac，bc ab， cab90，即caab， ab，ac，aa1两两互相垂直. 建立如图所示的空间直角坐标系，点a为坐标原点， 设ab2，则a(0,0,0)，b1(0,2,2)，a1(0,0,2)，c(2,0,0)，c1(1,1,2).,设平面aa1c的一个法向量

12、n(x，y，z)，,a1b1平面aa1c.,(2)ab1平面a1c1c.,证明,设平面a1c1c的一个法向量m(x1，y1，z1)，,令x11，则y11，z11，即m(1，1,1)., m012(1)210，,又ab1 平面a1c1c，ab1平面a1c1c.,题型三利用空间向量解决探索性问题,例4(2016北京)如图，在四棱锥p-abcd中，平面pad平面abcd，papd，papd，abad，ab1，ad2，accd . (1)求证：pd平面pab；,平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，abad，ab平面abcd， ab平面pad.pd平面pad，abpd. 又papd，pa

13、aba，且pa，pb平面pab， pd平面pab.,证明,(2)求直线pb与平面pcd所成角的正弦值；,解答,取ad中点o，连接co，po， papd， poad. 又po平面pad， 平面pad平面abcd， po平面abcd， co平面abcd， poco， accd，coad.,以o为原点建立如图所示空间直角坐标系. 易知p(0,0,1)，b(1,1,0)，d(0，1,0)，c(2,0,0).,设n(x0，y0 ,1)为平面pcd的一个法向量.,设pb与平面pcd的夹角为.,(3)在棱pa上是否存在点m，使得bm平面pcd？若存在，求 的值；若不存在，说明理由.,解答,bm 面pcd，b

14、m平面pcd，,思维升华,对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”.,跟踪训练3 (2016深圳模拟)如图所示，四边形abcd是边长为1的正方形，md平面abcd，nb平面abcd，且mdnb1，e为bc的中点. (1)求异面直线ne与am所成角的余弦值；,解答,如图，以d为坐标原点，建立空间直角坐标系， 依题意得d(0,0,0)，a(1,0,0)，m(0,0,1)，c(0,1,0)，b(1,1,0)，n(1,1,1)，e(

15、 ，1,0)，,(2)在线段an上是否存在点s，使得es平面amn？若存在，求线段as的长；若不存在，请说明理由.,解答,假设在线段an上存在点s，使得es平面amn. 连接ae，如图所示.,由es平面amn，,典例(12分)(2016吉林实验中学月考)如图1所示，正abc的边长为4，cd是ab边上的高，e，f分别是ac和bc边的中点，现将abc沿cd翻折成直二面角adcb，如图2所示. (1)试判断直线ab与平面def的位置关系， 并说明理由； (2)求二面角edfc的余弦值； (3)在线段bc上是否存在一点p，使apde？证明你的结论.,利用向量法解决立体几何问题,思想与方法系列19,规范

16、解答,思想方法指导,几何画板展示,对于较复杂的立体几何问题可采用向量法 (1)用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想. (2)两种思路：选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断.建立空间直角坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题.,返回,解(1)ab平面def，理由如下： 在abc中，由e，f分别是ac，bc中点，得efab. 又ab 平面def，ef平面def， ab平面def.

17、 1分 (2)以d为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则a(0,0,2)，b(2,0,0)，c(0,2 ，0)，e(0， ，1)，f(1， ，0)， 3分,设平面edf的法向量为n(x，y，z)，,返回,课时作业,1.(2016茂名调研)已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，).若a，b，c三向量共面，则实数等于,答案,解析,由题意得ctab(2t，t4，3t2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2.(2016西安质检)若平面，的法向量分别是n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，则 a. b. c.，相交但不垂直 d.以上答案均不正确,答案,解析,n

18、1n22(3)(3)15(4)0， n1与n2不垂直，且不共线. 与相交但不垂直.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,3.已知平面内有一点m(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点p中，在平面内的是 a.p(2,3,3) b.p(2,0,1) c.p(4,4,0) d.p(3，3,4),答案,解析,点p在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,a.相交 b.平行 c.在平面内 d.平行或在平面内,答案,解析,ab与平面cde平行或在平面cde内.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

19、,5.设u(2,2，t)，v(6，4,4)分别是平面，的法向量.若，则t等于 a.3 b.4 c.5 d.6,答案,解析,，则uv262(4)4t0，t5.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.(2016泰安模拟)如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，棱长为a，m，n分别为a1b和ac上的点，a1man ，则mn与平面bb1c1c的位置关系是 a.斜交 b.平行 c.垂直 d.mn在平面bb1c1c内,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,建立如图所示的空间直角坐标系，,又c1d1平面bb1c1c， 所以 (0，a,0)为平面bb1c1

20、c的一个法向量.,所以mn平面bb1c1c.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,7.(2016广州质检)已知平面内的三点a(0,0,1)，b(0,1,0)，c(1,0,0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_.,答案,解析,设平面的法向量为m(x，y，z)，,m(1,1,1)，mn， mn，.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 是平面abcd的法向量，则正确.,abap，adap，则正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,*9.如图

21、，圆锥的轴截面sab是边长为2的等边三角形，o为底面中心，m为so中点，动点p在圆锥底面内(包括 圆周).若ammp，则点p形成的轨迹长度为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,由题意可知，建立空间直角坐标系，如图所示. 则a(0，1,0)，b(0,1,0)，s(0,0， )，m(0,0， )，,设p(x，y,0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,10.如图，在三棱锥p-abc中，abac，d为bc的中点，po平面abc，垂足o落在线段ad上.已知bc8，po4，ao3，od2. (1)证明：apbc；,证明,1,2,3,4,5,6,7

22、,8,9,10,11,12,如图所示，以o为坐标原点，od，op所在直线为y轴，z轴，建立空间直角坐标系. 则o(0,0,0)，a(0，3,0)， b(4,2,0)，c(4,2,0)，p(0,0,4).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,(2)若点m是线段ap上一点，且am3.试证明平面amc平面bmc.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,由(1)知ap5， 又am3，且点m在线段ap上，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,又根据(1)的结论知apbc，且bmbcb， ap平面bmc，于是am平面bmc. 又am平面amc，故平面amc平面bmc.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,11.(2016长沙模拟)如图，在四棱锥pa