导数在研究函数中的应用.ppt

1、导数在研究函数中的应用,函数在某点处的导数的几何意义为函数图象在该点处切线的斜率，它量化了曲线经过该点时上升或下降的“变化趋势” 因此函数的导数刻画了可导函数在整个定义域内的变化的趋势(上升或下降的陡峭程度)，而函数的单调性也可以刻画函数的此种性质,那么导数与函数的单调性有什么联系？,结论:,由函数的图象观察，当函数的图象上升时，各点处切线的斜率或增大或减小，但均为正值；而当函数的图象下降时，各点处切线的斜率则均为负值,数学理论 一般的，设可导函数yf(x)，如果 在某区间上f(x)0，那么函数f(x)为该 区间上的单调增函数；如果f(x)0，那 么函数f(x)为该区间上的单调减函数,数学应用

2、,请借助于导数说明下列函数的单调性： 1函数yx2； 2函数y2x1,例1 利用函数的导数确定函数f(x)x24x3 的单调增、减区间,例2 确定函数的f(x)2x36x27的单调区间,例3 确定函数f(x)sinx，x0，2的单调区间,例5 已知函数f(x)ax33x2x1是R上的单调 减函数，求实数a的取值范围,作业： 29 练习3，34 习题2,极大值与极小值,观察图象，不难发现，函数图象在P点处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调增变为单调减）,在P点附近，P点的位置最高，亦即f(x1)比它附近点的函数值都要大我们称f(x1)为函数的一个极大值，相应地，称x1为函数的极大值点

3、 类似地，图中f(x2)为函数的一个极小值，x2为函数的极小值点 函数的极大值、极小值统称为函数的极值，极大值点、极小值点统称为函数极值点,例1 求函数f(x)x2x1的极值,例4 已知函数f(x)ax3bx2cx (a0)在x1时取得极值，且f(1)1,例5 研究函数yx的极小值和此时的导数,小结： 1对可导函数而言，导数为零的点是该点为极值点的 条件,必要不充分, 求f(x)0，解得xx0； 列表判断函数在xx0两侧的单调性； 判断极值点，并求极值,2求极值的步骤：,3函数的极值是函数的局部性概念，体现了函数在某一点附近的情况，极值点是区间内部的点，而不是区间的端点；且极大值与极小值没有必

4、然的大小关系,4一般的，当函数f(x)在某个区间上连续且有有限个极值点时，函数的极大、极小值点时交替出现的,作业： 131 练习1 234 习题3,最大值与最小值,函数f(x)在x0处取极大值，是指在x0附近f(x0)比其它函数值都大，极大值是相对函数定义域内某一局部而言的,如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x I，总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值,同样的，极小值也是研究函数在定义域内的某一局的性质,如果 存在x0，使得对任意的x I，总有f(x)f(x0)，,最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，则最大值惟一,观察函数y = f(x)，x a

5、，b的图象：,f(x2)，f(x4)是极大值，而函数的最大值是f(b) 类似地，f(x1)，f(x3)，f(x5)是极小值，而函数的最小值是f(x3),函数是否一定有最大值，最小值？,最值一般出现在哪里？如何求函数的最值？,求函数最值的步骤： 求函数的极值； 求函数端点处的函数值f(a)，f(b) ； 比较极值与端点值f(a)，f(b) ，求出函数的最值,最值出现在极值点，或区间的端点处,例1 求f(x)x24x3在区间1，4上的最值,例2 求f(x)xsinx在区间0，2上的最值,1函数f(x)的图象在区间a，b上连续，且函数单调递减，则f(x)在a，b上的最大值为_，最小值为_ 2函数f(x)x33xa，当x，时，函数f(x)的最小值为1，则a的值为 3若函数f(x)x33xa在区间0，3上的最大值与最小