第二章 时频分析与连续小波变换.ppt

1、小波分析导论 第二章 时频分析与连续小波变换,时频联姻(Time Meets Frequency),傅里叶分析回顾 联合时频分析的基本原理 短时傅里叶分析:STFT 连续小波变换:CWT 时频分析的应用 瞬时频率 基于短时傅里叶脊和小波脊的瞬时频率检测 本章小结,一、傅里叶分析回顾,概述 定义 性质 实现,傅里叶分析可以分析信号中的“频率成分”。 它是一个全局的分析。 它有很多好的性质：如其所选择的基本分析单元是LTI系统的特征函数，可将其方便地用于分析线性时不变系统-利用傅里叶分析可以将时域卷积运算转化成频域相乘运算。 傅里叶分析数字实现时常常采用FFT进行快速实现。,傅里叶分析概述,傅里叶

2、变换(分析)的定义,根据信号的不同，傅里叶变换有四种定义： CTFT: 连续时间傅里叶变换 CFS: 连续时间傅里叶级数 DTFT： 离散时间傅里叶变换 DFS： 离散时间傅里叶级数,CTFT:连续时间傅里叶变换 适用信号:连续时间信号 变换公式:,CFS: 连续时间傅里叶级数 适用信号:连续时间周期信号 变换公式:,DTFT：离散时间傅里叶变换 适用信号:离散时间信号 变换公式:,DFS：离散时间傅里叶级数 适用信号:离散时间周期信号 变换公式:,四种傅里叶变换的关系:,信号时域和频域特性之间关系：,本课程中傅里叶变换的记号:,连续时间傅里叶变换性质,从频率分析角度看： 傅里叶变换不能提供频

3、率随时间局部变化的规律。 从信号奇异性分析角度看: 傅里叶变换不容易提供信号局部奇异性信息： 不容易从傅里叶变换系数在高频的分布规律分析出原始信号在特定点上的奇异性（局部的变化）.然而,小波变换可以做到这一点。 傅里叶变换在高频处的衰减性依赖于信号的整体奇异性。,傅里叶变换的重要缺陷:难于获得信号的“局部变化”规律,傅里叶变换的衰减性与信号的全局正则性之间的关系：,1965年库利和图基提出FFT算法 FFT不是一种新的傅里叶变换,它仅仅是计算DFS的一种快速算法. FFT的出现极大地促进了傅里叶变换在工程中的应用.,傅里叶变换的快速算法：FFT,二、联合时频分析,联合时频分析引入的动机： 具有

4、时变频率结构的信号在自然界中随处可见： 语音/音频信号 颜色变化的光线 雷达信号 地震信号 ,1946年,Dennis Gabor(1971年Nobel奖获得者) : “迄今为止，通信理论的基础一直是信号分析的两种方法组成的：一种将信号号描述成时间的函数，另一种将信号描述成频率的函数（Fourier分析）。这两种方法都是理想化的。然而，我们每一天的经历特别是我们的听觉却一直是用时间和频率来描述的。”,为了分析信号中时变的频率结构，需要引入一些时频分析的新工具：短时傅里叶变换和小波变换就是其中的代表。 短时傅里叶变换和小波变换的差别在于采用了不同的时频原子 不同时频原子具有不同的时频特性。,时频

5、原子,时频原子的基本概念 线性时频变换的定义 时频原子的时频局部化描述 Heisenberg测不准原理 时频原子的时频结构-Heisenberg-box 时频能量密度,时频原子基本概念,时频原子 具有时频局部化特性的基本信号分析单元 短时傅里叶时频原子 小波时频原子,特点：都是由一个基本的单元信号经过变换得到； 短时傅里叶原子是通过平移和调制形成的； 小波原子是通过平移和伸缩得到的。,线性时频变换,：参数集,线性时频变换的时频局部化 如果时频原子在时间上是集中于某个时刻点u周围,根据(1)式,则 仅与信号f(t)在该邻域的值有关。 如果时频原子在频率上是集中于某个频率点 周围,根据(2)式,则

6、 仅与信号f(t)的频谱在该邻域的值有关。,如果所选择的时频原子的能量在时间上集中在某个时刻点,同时在频率上集中在某个频率点,则线性时频变换的结果必然精确反映原始信号在某个时刻点和某个频率点上的信息-具有最高的时频分辨率。 问题:上述时频原子存在否?,“最高的时频分辨率 ”,时频原子的分辨率受如下两个结论限制: Heisenberg测不准原理 不存在同时具有时限和频限的时频原子,设,时频原子 的时频结构：时频局部化的定量描述,Heisenberg-box示例： 有关Heisenberg-box的几个值得注意的问题： 根据测不准原理，Heisenberg-box的面积至少要大于1/2； 在Hei

7、senberg-box所处位置以外的地方并不表示该时频原子就没有能量分布，Heisenberg-box只是代表了该时频原子的大部分能量集中的位置和区域。,Heisenberg测不准原理结论,时频不可能同时有限长 尽管有了Heisenberg测不准原理的限制,可能仍然有人认为存在 某个信号在时间-频率域上可以同时是有限长的,但这个结论也是 不成立的。,定理:时频不能同时有限长,时频能量密度,它度量了信号的能量在以 为中心的时频邻域内的分布。,连续STFT 定义 短时傅里叶原子的时频结构 常用信号的连续STFT 连续STFT的反变换 连续STFT的性质 能量守恒定理 再生核方程 短时谱,三、短时傅

8、里叶变换STFT(Short Time Fourier Transform),连续STFT,短时谱,短时傅里叶原子的时频结构: (为简化起见，设g(t)为实偶信号)：,短时傅里叶原子的时频结构图示：,短时傅里叶原子的时频结构在整个时频平面上 保持不变！,常用信号的短时傅里叶变换 正弦信号,正弦信号短时谱对应的时频区域,单位冲激信号,线性调频信号,推导 在高斯窗 下短时傅里叶变换。,STFT反变换-完备性 如果f(t)是能量有限信号，则：,STFT性质 稳定性： Parseval定理,时频能量密度的体现,STFT的冗余性:重建核方程 上面的性质表明:并不是所有的能量有限的二维信号都是某个一维能量

9、有限信号的短时傅里叶变换!,能量有限信号,能量有限二维信号,STFT,模糊函数与重建核 模糊函数定义 模糊函数沿时间轴和频率轴的衰减性可以定义 信号的时频结构-比Heisenberg box更精确 模糊函数在雷达信号设计中具有重要用途,重建核和模糊函数的关系,离散短时傅里叶变换,连续小波变换,连续小波正变换 连续小波反变换 连续小波变换性质 时移不变性 尺度变换性 微分性 再生核方程 能量守恒定理 尺度谱 小波原子的时频结构 解析小波及解析小波变换 小波脊,连续小波变换的定义：,Notes:,(2)尺度因子s的作用是对母小波做伸缩，选择不同的s会改变波形的宽窄，但不会改变波形的形状。尺度因子s

10、越大，波形越宽，可以用于分析持续时间长的低频信号。,(4)小波可以是实小波，实小波往往用来检测信号的奇异性，如在图象处理中检测边缘的墨西哥草帽小波。,墨西哥草帽小波的波形及其傅里叶变换：,基于墨西哥草帽小波的连续小波变换：奇异性检测,(5)小波也可以是复小波，并且一般采用复解析小波。采用复解析小波常用来做时频分析，如检测信号的瞬时频率。采用复解析小波进行的小波变换称为解析小波变换(AWT:Analytic Wavelet Transform).,（6）连续小波变换的滤波器解释:,S变化时可以看成是带宽不断变化的一组带通滤波器。,(7)连续的含义（三重连续）： 信号是连续的； 尺度因子是连续的；

11、 位移因子 是连续的。 (8)计算机实现连续小波变换时运算量很大 用计算机处理时较慢,这往往限制了其在实时信号处理中的应用。,连续小波变换的计算,计算连续时间小波变换的4个步骤：,1、选取一个小波，然后将其和待分析信号从起点开始 的一部分进行相乘积分。 2、计算相关系数c。,3、将小波向右移，重复1和2的步骤直到分析完整个信号。 4、将小波进行尺度伸缩后再重复1，2，3步骤，直至完成所有尺度的分析。,连续小波变换的计算 可以采用模拟器件来实现连续小波变换。 连续小波变换的数值计算,位移的离散化： 在上式中令: ,则有:,在实际计算时,尺度参数s也要进行离散化,常见离散化方法是令:,可以用FFT

12、来计算。,连续小波反变换-连续小波变换的完备性问题,有关该定理的说明: 该定理的证明过程利用了傅里叶分析的结果。 称为小波容许条件。,在该定理证明过程中假设 是与频率 无关的有限值，要使该假设成立，必然要求小波具有零均值。,如果 ，则容许条件成立。,尺度函数,墨西哥草帽小波对应的尺度函数及其傅里叶变换：低通特性,含有尺度函数的连续小波变换重建公式：,连续小波变换性质： 1、时移不变性：,注意： (1)该性质在小波用于模式识别中的特征提取过程中 十分重要 (2)并不是所有小波变换都具有时移不变性 DWT(离散小波变换)不具有时移不变性。,DWT(离散小波变换)不具有平移不变性(示例)：,2、尺度

13、变换性质,该性质指出：当信号在时间轴作伸缩时，其小波变换在时间轴和尺度轴上要作相同比例的伸缩，但小波变换的波形不变-小波被称为“数学显微镜”得名的由来。,3、微分性质,4、连续小波变换的重建核方程：冗余性,说明： (1)重建核方程表明连续小波变换具有冗余性-某一点的小波变换值可以通过 平面其余点上的小波变换值按重建核方程恢复。,(2),(3)重建核方程表明：并不是任意的二维函数 都可以作为一个信号的连续小波变换。,反映的是 的相关性。,当 时，此时u-s平面内各点的小波系数才互不相关，此时的小波变换没有冗余。此条件实际上表明不同尺度和位移处的小波是正交的。,(5)能量守恒定理：,尺度谱和归一化

14、尺度谱,尺度谱和归一化尺度谱： 描述信号能量在时间-尺度平面的分布。,尺度谱的时间-尺度表示和时间-频率表示,假定频率和尺度间满足如下关系：,，其中 是母小波的中心频率,则：,小波时频原子的时频结构,小波原子的时频结构(续),小波原子的时频结构(续),在频域中有：,小波原子的时频结构(续),对应的时频窗(Heisenberg-box)的特点：,(1)用于确定时频窗的四个参数都与尺度参数s有关。 (2)当s大于1且增大时，时频窗的时间长度增加 ， 而时频窗的频率长度减少 (3)时频窗的面积为：,时频窗面积与尺度和位移参数无关，但与选定的母小波有关。,小波原子的时频结构(续),(4)低频：时频窗时

15、间宽度大，频率宽度小 高频：时频窗时间宽度小，频率宽度大,解析小波和解析小波变换,解析信号： Analytic Signal 解析小波: Analytic Wavelets 解析小波变换: Analytic Wavelet Transforms,解析信号: 定义:一个信号是解析的是指其傅里叶变换的值在负频率处全部为零(没有负的频率成份)。 实信号f(t)对应的解析信号 的傅里叶变换为:,解析小波 可以通过对一个实偶窗函数g(t)进行频率调制得到,解析小波变换(Analytic Wavelets) 采用解析小波进行的小波变换称为解析小波变换: 采用解析小波变换主要是可以同时得到信号的瞬时幅频特性

16、和相频特性.,有关解析小波变换有如下结论: 信号f(t)的解析小波变换可以由该信号的解析信号对应的解析小波变换确定:,利用解析小波变换计算实信号的解析信号,如果f(t)是实信号,并且 ,则有:,常用信号的解析小波变换(Gabor小波作为解析小波):,时频分析应用: 瞬时频率检测,瞬时频率 解析信号可以分解成模和复相位的形式: 瞬时频率定义为复相位的导数:,常用信号及其瞬时频率 单频正弦信号,常用信号及其瞬时频率(续),多分量信号:,可见:含有多个频率分量的信号(多分量信号)的瞬时频率 不能客观反映原始信号中的频率分布情况。 解决办法:可以先通过短时傅里叶变换和小波变换分离不同频率成分,然后再求

17、瞬时频率。,瞬时频率检测的两个应用: 通信中的频率调制: 音频处理中的加性声音模型:,变化缓慢,基于短时傅里叶脊和小波脊的瞬时频率检测,短时傅里叶脊 小波脊,短时傅里叶脊和小波脊用于瞬时频率检测理论基础：,证明:,短时傅里叶脊：STFT Ridges,根据上述的理论，再做如下的假设：,多分量信号的短时傅里叶脊（STFT Ridges）,短时傅里叶脊用于瞬时频率检测中窗长的选择:,窗长选择示例：,短时傅里叶脊是短时谱的局部极大值点。 短时傅里叶脊在变换允许的时频分辨率范围内可以描述信号的瞬时频率。 变换允许的分辨率由Heisenberg盒描述。 对多分量信号,如果要用短时傅里叶脊来检测这两个信号

18、的瞬时频率，则需满足如下条件：,短时傅里叶脊：STFT Ridges,小波脊：Wavelet Ridges,小波时频原子（三参数小波）：,解析小波变换：,小波脊:归一化尺度谱的极值点,小波脊：Wavelet ridges,小波脊是归一化尺度谱的极大值点。 小波脊在变换允许的时频分辨率下可以描述信号的瞬时频率。 变换允许的时频分辨率由Heisenberg-box来描述。,(a)尺度谱 (b)小波脊,(c)短时谱 (d)短时脊,原因:高频时CWT的频率分辨率过低,(a)尺度谱 (b)小波脊,(c)短时谱 (d)短时脊,原因: 高频时STFT的时间分辨率过低,附录：常见小波介绍,可以通过Matlab

19、命令Waveinfo了解常见小波的信息 可以通过Wavefun画出小波的波形,1. Crude wavelets(原始小波),Wavelets: 高斯小波、Morlet小波 特性: 仅满足小波的最低要求 - 不能构成正交函数集合 - 小波函数不是紧支撑的 - 不一定能保证稳定重建. 可能的分析方法: - 连续分解 主要的好性质: 对称性,小波函数具有显式的表达式. 主要问题: 不存在快速算法,精确重建不可能.,Wavelets: meyer (meyr). 特性: - 尺度函数存在,可以进行正交分析. - 尺度函数和小波函数是无限可微分的. - 尺度函数和小波函数都不是有限支撑的 可能的分析方

20、法: - 可以进行连续小波变换. - 可以进行离散变换,但滤波器无限长. 主要的好性质: 对称性,无限正则性. 主要问题: 不存在快速算法. Wavelets: 离散的Meyer wavelet (dmey). 特性: - 用FIR 滤波器来近似 Meyer wavelet 可能的分析方法: - 连续小波变换. - 离散小波变换.,2. Infinitely regular wavelets(无限正则的小波),3. Orthogonal and compactly supported wavelets(正交紧支撑小波),Wavelets: Daubechies (dbN), symlets (

21、symN), coiflets (coifN). 常见特性: - 尺度函数存在,可以进行正交分析. - 尺度函数和小波函数是有限长的. - 小波函数具有一定的消失矩. 可能的分析方法: - 可以进行连续变换. - 可以采用FWT进行离散小波变换. 主要的好的性质:紧支撑,具有消失矩,可以用FIR滤波器进行快速实现. 主要的问题:差的正则性. 特别的特性: For dbN : asymmetry(不对称) For symN : near symmetry(近似对称) For coifN: near symmetry and phi as psi, has also vanishing momen

22、ts(近似对称,但尺度函数也具有消失矩).,Wavelets: B-splines biorthogonal wavelets (biorNr.Nd and rbioNr.Nd). 特性: 尺度函数存在,可以进行双正交分析. 分解的尺度函数和小波函数,重构的尺度函数和小波函数都是有限长的. 分解的尺度函数和小波函数都具有消失矩. 重建的小波函数和尺度函数都具有正则性. 可能的分析方法: 连续小波变换. 采用FWT进行离散小波变换. 主要好性质: FIR filters是对称的,分解和重构所需要的特性可以分离. 主要问题: 不具有正交性.,4. Biorthogonal and compactl

23、y supported wavelet pairs(双正交紧支撑小波),Wavelets: Complex Gaussian wavelets (cgauN), complex Morlet wavelets (cmorFb-Fc), complex Shannon wavelets (shanFb-Fc), complex frequency B-spline wavelets (fbspM-Fb-Fc). 特性: 只具有最小的特性 -尺度函数不存在. - 不能进行正交分析. - 小波函数不是紧支撑的. - 不能保证精确重建. 可能的分析: - 复的连续分解. 主要的好的特性: 对称性, 小

24、波函数具有显式的表达式. 主要问题: 不存在快速算法和精确重构.,5. Complex wavelets(复小波),haar : Haar wavelet. db : Daubechies wavelets. sym : Symlets. coif : Coiflets. bior : Biorthogonal wavelets. rbio : Reverse biorthogonal wavelets. meyr : Meyer wavelet. dmey : Discrete Meyer wavelet. gaus : Gaussian wavelets. mexh : Mexican h

25、at wavelet. morl : Morlet wavelet. cgau : Complex Gaussian wavelets. cmor : Complex Morlet wavelets. shan : Complex Shannon wavelets. fbsp : Complex Frequency B-spline wavelets.,MatLab介绍的有关小波信息,Haar小波:,General characteristics: Compactly supported wavelet, the oldest and the simplest wavelet. scaling

26、 function phi = 1 on 0 1 and 0 otherwise. wavelet function psi = 1 on 0 0.5, = -1 on 0.5 1 and 0 otherwise. Family Haar Short name haar Examples haar is the same as db1 Orthogonal yes Biorthogonal yes Compact support yes DWT possible CWT possible Support width 1 Filters length 2 Regularity haar is n

27、ot continuous Symmetry yes Number of vanishing moments for psi 1,db小波:Daubechies Wavelets,General characteristics: Compactly supported wavelets with extremal phase and highest number of vanishing moments for a given support width. Associated scaling filters are minimum-phase filters. Family Daubechi

28、es Short name db Order N N strictly positive integer Examples db1 or haar, db4, db15 Orthogonal yes Biorthogonal yes Compact support yes DWT possible CWT possible Support width 2N-1 Filters length 2N Regularity about 0.2 N for large N Symmetry far from Number of vanishing moments for psi N,不同阶次的Daub

29、echies小波波形：,Meyer小波,General characteristics: Infinitely regular orthogonal wavelet. Family Meyer Short name meyr Orthogonal yes Biorthogonal yes Compact support no DWT possible but without FWT FIR based approximation provides FWT CWT possible Support width infinite Effective support -8 8 Regularity indefinitely derivable Symmetry yes,Meyer小波:,Biorthogonal Wavelets:双正交小波,General characteristics: Compactly supported biorthogonal spline wa