人教版新高二数学暑假第3讲《立体几何》学生版讲义

1、第3讲 立体几何1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴、y轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标

2、轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VS底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VS底h台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR34.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.5.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面

3、与平面平行关系图形来源:学&科&网语言来源:Z_xx_k.Com来源:学|科|网来源:Zxxk.Com来源:学.科.网Z.X.X.K符号语言aba相交关系图形语言符号语言abAaAl独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a6.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.7.异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：.8.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面没

4、有公共点，则称直线l与平面平行.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a，b，aba性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a，a，bab9.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a，b，abP，a，b性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面，aa如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，a，b

5、ab10.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面内的任意直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行ab11.直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0的角.(2)范围：.12.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角

6、：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：0，.13.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l题型一 几何体的表面积和体积例1(2018全国)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方

7、形，则该圆柱的表面积为()A12 B12C8 D10例2一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_例3(2015新课标全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A14斛 B22斛C36斛 D66斛例4如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC

8、的中点，则三棱锥AB1DC1的体积为()A3 B.C1 D.玩转跟踪1如图，直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥DA1BC的体积是_2.已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A1 cm B2 cm C3 cm D. cm3.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为() A. B.C. D.4.用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为()A32 B. C. D.题型二 球的切接问题例5【云南省玉溪市一中高

9、三第四次月考】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,则此球的表面积等于（ ）A B C D例6【重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】已知都是球表面上的点，平面，则球的表面积等于_玩转跟踪 1.(2019全国卷)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF90，则球O的体积为()A8 B4C2 D.题型三平行的判定和性质例7 如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点(1)求证：BE平面DMF；(2)求证：平面BDE平面MNG.例8 如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外

10、一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：PAGH.玩转跟踪1. (2020合肥质检)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF平面ABCD，DE平面ABCD，BFDE，M为棱AE的中点(1)求证：平面BDM平面EFC；(2)若AB1，BF2，求三棱锥ACEF的体积2.如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，AB2，AF1，M是线段EF的中点(1)求证：MA平面BDE.(2)若平面ADM平面BDEl，平面ABM平面BDEm，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论题型四垂直的判定和性质例9 （2020湖北模拟）如图，AB

11、为O的直径，PA垂直于O所在的平面，M为圆周上任意一点，ANPM，N为垂足(1)求证：AN平面PBM.(2)若AQPB，垂足为Q，求证NQPB.例10 （2020咸阳二模）如图，在直角梯形中，为的中点，沿将折起，使得点到点位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）（1）求证：平面平面；玩转跟踪1（2018江苏）在平行六面体中，求证：（1）平面；（2）平面平面2（2018新课标）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由玩转练习一、单选题1在长方体中，为上任意一点，则一定有（ ）A与异面B与垂直C与平面相交D与平面

12、平行2已知、为三条不重合的直线，、为三个不重合的平面，现给出下列四个命题：；.其中正确的命题是（ ）ABCD3如图，分别为边长是4的正方形的边的中点，沿图中虚线折起，使三点重合，则围成的几何体的体积是（ ）AB4C8D4已知，是球的球面上两点，为该球面上的动点.若三棱锥的体积的最大值为36，则球的表面积为（ ）ABCD5如图所示，在四边形中，.将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论中正确的结论个数是（ ） ；与平面所成的角为；四面体的体积为.A个B个C个D个二、多选题6（多选）若直线平行于平面，则下列结论正确的是（ ）A直线与平面无交点B直线平行于平面内的所有直线C平面内有无数条直

13、线与直线平行D平面内存在无数条直线与直线为异面直线7若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为假命题的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则8M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ） A平面ABDB异面直线AC与MN所成的角为定值C在二面角逐渐变小的过程中，三棱锥外接球的半径先变小后变大D若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则的取值范围是三、填空题9如图，在正方体中，分别是棱，的中点，是的中点，点在四边形上及其内部运动，则满足条件_时，有平面.10如图，平面平面，是正三角形，O为的中点，则图中直角三角形的个数为_.四、解答题11如图，在四棱锥中，底面为菱形，为的