高数A1-2.ppt

1、一、数列极限的定义,二、收敛数列的性质,1.2 数列的极限,一、数列极限的定义,引例 1,如何用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.,A1,A2,A3,A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积, , .,显然n越大, An越接近于S.,因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势.,（添加）引例2、截杖问题：,春秋战国庄子.天下 “一尺之棰，日截其半，万世不竭”,数列,如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这

2、一序列叫做数列, 记为xn, 其中第n项xn叫做数列的一般项.,数列举例:,2, 4, 8, , 2n , ;,1, -1, 1, , (-1)n+1, .,数列xn可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x1, x2, x3, , xn , .,数列的几何意义,数列,如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为xn, 其中第n项xn叫做数列的一般项.,数列xn可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), nN .,数列与函数,数列,如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的

3、实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为xn, 其中第n项xn叫做数列的一般项.,例如,当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a, 则常数a称为数列xn的极限, 或称数列xn收敛a, 记为,数列极限的通俗定义,当n无限增大时, xn无限接近于a . 当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.,分析,因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意小的正数, 则当n

4、无限增大时, xn无限接近于常数a.,当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a, 则数列xn收敛a.,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,添加引例,数列极限的精确定义,设xn为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的正数e 总存在正整数N 使得当nN 时 不等式 |xna |e 都成立 则称常数a是数列xn的极限 或者称数列xn收敛于a 记为,如果不存在这样的常数a 就说数列xn没有极限, 0, NN 当nN时 有|xna| .,极限定义的简记形式,数列极限的几何意义, 0, NN 当nN时 有|xna| .,存在 NN 当nN时 点xn一般落在邻域(a-e

5、, a+e)外:,当nN时 点xn全都落在邻域(a-e, a+e)内:,任意给定a的e邻域(a-e, a+e),注意：,分析:,例1,证明, 0, NN 当nN时 有|xna| .,例2,分析:,证明, 0, NN 当nN时 有|xna| .,分析:,例3 设|q|1, 证明等比数列 1, q , q2, , qn-1, 的极限是0.,对于 0, 要使 |xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1log|q|e +1就可以了.,|qn-1-0|=|q|n-1e ,当nN时, 有,因为 0,证明,N= log|q|e +1N, 0, NN 当nN时 有|xna| .,常用数列极限公式,二、收敛数

6、列的性质,定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一,使当nN时, 同时有,因此同时有,这是不可能的. 所以只能有a=b.,证明,注: 如果M0, 使对nN 有|xn|M, 则称数列xn是有界的; 如果这样的正数M不存在, 就说数列xn是无界的,二、收敛数列的性质,定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一,定理2(收敛数列的有界性),如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界,1 如果数列xn收敛, 那么数列xn一定有界 发散的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛?,2 数列1, 1, 1, 1, , (1)N1, 的有界性与收敛如何？,讨论,二、收敛数列的性质

7、,定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一,定理2(收敛数列的有界性),如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界,二、收敛数列的性质,定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一,定理2(收敛数列的有界性),如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界,定理3(收敛数列的保号性) 如果数列xn收敛于a, 且a0(或a0) 那么存在正整数N 当nN时 有xn0(或xn0),推论 如果数列xn从某项起有xn0(或xn0) 且数列xn收敛于a 那么a0(或a0),注: 在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序 这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列.,定理4(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列xn收敛于a那么它的任一子数列也收敛 且极限也是a,例如 数列xn 1 1 1 1 (1)n1 的一个子数列为x2n 1 1 1 (1)2n1 ,1 数列的子数列如果发散, 原数列是否发散? 2 数列的两个子数列收敛, 但其极限不同, 原数列的收敛性如何? 3 发散的数列的子数列都发散吗？,4 如何判断数列1 1 1 1 (1)N1 是发