0-场论与张量(数学基础)

1、1,笛卡尔张量,2,3 笛卡尔张量,一、张量,在三维空间和选定的坐标系中，需要用3n个数来 定义的量称为n阶张量,30 零阶张量 一个分量,31 一阶张量 三个分量,32 二阶张量 九个分量,在直角坐标系中，称笛卡儿张量； 在其他坐标系称普遍张量 。,坐标旋转时能自身转换而保持不变的量，统称为张量,3,（1）指标表示法和符号约定,x、y、z 分别计作 x1、x2、x3， ax、ay、az 分别计作 a1、a2、a3， 分别计作,指标表示法,直角坐标的3个方向记做1、2、3，,4,求和约定,在同一项中如有两个指标相同时，就表示对该指标从1到3求和,（1）指标表示法和符号约定,5,例如,指标 i

2、在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。 一个自由指标每次可取整数1, 3, , n，与哑标一样，无 特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：,自由指标和哑指标,在同一方程的所有项中出现的自由指标必须相同。,6,i 为自由指标，j 为哑标,表示,7,例题1. 展开下列求和式，,（1）指标表示法和符号约定,解：,8,克罗内克尔(Kronecker)符号,（1）指标表示法和符号约定,与 相乘，相当于把 的下标 j 置换为 i。,符号具有以下重要性质：,9,符号具有以下重要性质：,克罗内克尔(Kronecker)符号,（1）指标表示法和符号约定,置换符号,i、j、k 偶排列， 123，2

3、31，312,i、j、k 中有两个以上指标相同时,i, j, k 奇排列， 213，321，132,10,有以下重要性质：,置换符号,（1）指标表示法和符号约定,11,重要公式汇总,（1）指标表示法和求和约定,12,标量是一维的量，它只需1个数来表示，如温度、密度等。 矢量则不仅有数量的大小，而且有指定的方向，它必需由沿某一空间坐标系的3个坐标轴方向的3 个分量来表示，矢量是三维的量。 三维空间中的二阶张量是一个9维的量，必须用9个分量才可完整地表示，如应力，变形速率。 三维空间中的 n 阶张量由 3n 个分量组成。 标量和矢量是低阶张量，标量为零阶张量，而矢量为一阶张量。 笛卡尔张量。,（2

4、）笛卡尔张量,标量、矢量和张量,13,二阶张量 二阶张量有 9 个分量，二阶张量也可表示为矩阵形式，,标量、矢量和张量,（2）笛卡尔张量,张量可以用黑体大写字母 表示，也可用它的一个分量 表示。,14,张量相等 两个张量相等则各分量一一对应相等。设 ， 若 则,二阶张量的代数运算,若两个张量在某一直角坐标系中相等，则它们在任意一个直角坐标系中也相等。,（2）笛卡尔张量,15,张量加减 设 、 ，则,二阶张量的代数运算,张量的加减为其同一坐标系下对应元素相加减，只有同阶的张量才 能相加减。,（2）笛卡尔张量,16,二阶张量的代数运算,张量乘积 设 、 ，分量相乘， 是 4 阶张量。,可以证明一个

5、 m 阶张量和一个 n 阶张量的乘积是 m + n 阶张量。,（2）笛卡尔张量,17,若二阶张量分量 之间满足 则称此张量为对称张量，可表示为, 一个对称张量，只有6个独立的分量。,对称张量,共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解,（2）笛卡尔张量,18,若二阶张量分量 之间满足 则称此张量为反对称张量，可表示为 一个二阶反对称张量只有3个独立的分量，对角线各元素均为零。,反对称张量,共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解,（2）笛卡尔张量,19,张量分解定理 一个二阶张量可以唯一地分解为一个对称张量和一个反对称张量之和 容易验证上式右边第一项是对称张量，第二项是反对称张量。,共轭张量

6、、对称张量、反对称张量和张量的分解,（2）笛卡尔张量,20,梯度、散度和旋度,2.1 哈密尔顿（Hamilton）算子 哈密尔顿（Hamilton）算子是矢量微分算子，其定义如下：,2.2 数量场的梯度 设数量函数,连续可微，则：,称为u的梯度。数量函数u的梯度是矢量，指向u变化率最大的方向。,21,2.3散度 设矢量函数,的散度。矢量的散度是标量。,连续可微，则称下式为矢量A,2.4旋度 设矢量函数,连续可微，则称三阶行列式,为A的旋度。上述行列式的展开式为：,22,哈密顿算子,利用张量下标表示法哈密顿算子可写为,一个具有微分及矢量双重运算的算子,（1）指标表示法和符号约定,23,利用哈密顿算子进行运算时，需分别进行微分和矢量两种运算。,梯度,散度,哈密顿算子,（1）指标表示法和符号约定,24,旋度,哈密顿算子,（1）指标表示法和符号约定,25,拉氏算子,哈密顿算子,（1）指标表示法和符