太原理工大学 高等代数第七章 9第九节 最小多项式.ppt

1、第九节 最小多项式,根据哈密尔顿凯莱定理，任给数域P上一个n级矩阵A，总可以找到数域P上一个多项式f(x)，使f(A)=0. 如果多项式f(x)使f(A)=0 ，我们就称f(x)以A为根. 当然，以A为根的多项式是很多的，其中次数最低的首项系数为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式. 这一节讨论应用最小多项式来判断一个矩阵能否对角化的问题.,返回,返回,引理1 矩阵A的最小多项式是唯一的.,证明 设g1(x)和g2(x)都是矩阵A的最小多项式，根据带余除法，g1(x)可表成,其中r(x)=0或(r(x)(g2(x) ，于是,首先介绍最小多项式的一些基本性质.,g1(x)=q(x)g2(x)+

2、r(x) ，,g1(A)=q(A)g2(A)+r(A)=0 .,因此r(A)=0. 由最小多项式的定义，有r(x)=0，即有g2(x)|g1(x). 同样可证g1(x)|g2(x). 因此g1(x)与g2(x)只能相差一个非零常数因子. 又因为g1(x)与g2(x)的首项系数都为1，所以g1(x)=g2(x). 证毕.,返回,引理2 设g(x)是矩阵A的最小多项式，那么f(x)以A为根的是g(x)整除f(x).,由此可知，矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个因式.,例1 数量矩阵kE的最小多项式为x-k，特别地，单位矩阵的最小多项式为x-1，零矩阵的最小多项式为x .,应用同样的方法，可以

3、证明下述引理,另一方面，如果A的最小多项式是1次多项式，那么A一定是数量矩阵.,例2 设,返回,求A的最小多项式.,|xE-A|=(x-1)3 ，,解 因为A的特征多项式为,所以A的最小多项式为(x-1)3的因式. 显然A-E0，而(A-E)2=0，因此A的最小多项式为 (x-1)2.,返回,如果矩阵A与B相似，即有B=T-1AT，那么对任一多项式f(x)，就有f(B)=T-1f(A)T. 因此f(B)=0当且仅当f(A)=0.,结论 相似矩阵有相同的最小多项式.,注意，这个条件并不是充分的，即最小多项式相同的矩阵不一定是相似的. 下面的例子说明这个结论.,返回,A与B的最小多项式都等于(x-

4、1)2(x-2)，但是它们的特征多项式不同，分别是(x-1)3(x-2)与(x-1)2(x-2)2，因此A和B不是相似的.,例3 设,返回,引理3 设A是一个准对角矩阵,并设A1的最小多项式为g1(x)，A2的最小多项式为g2(x)，那么A的最小多项式为g1(x), g2(x)的最小公倍式g1(x), g2(x).,证明 记g(x)=g1(x), g2(x)，首先,返回,因此，g(x)能被A的最小多项式整除. 其次，如果h(A)=0，那么,所以h(A1)=0，h(A2)=0，因而 g1(x)|h(x)，g2(x)|h(x).并由此得g(x)|h(x). 这样就证明了g(x)是A的最小多项式.

5、证毕.,返回,这个结论可以推广到矩阵A为若干个矩阵组成的准对角矩阵的情形. 即：如果,子块矩阵Ai的最小多项式为gi(x),i=1,2,s，那么矩阵A的最小多项式为g1(x), g2(x), gs(x)的最小公倍式g1(x), g2(x), gs(x) .,返回,引理4 k级若当块,的最小多项式为(x-a)k.,证明 矩阵J的最小多项式为(x-a)k. 而,所以，矩阵J的最小多项式为(x-a)k. 证毕.,返回,定理15 数域P上n级矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为A的最小多项式是P上互素的一次因式的乘积.,证明 根据引理3的推广的情形，条件的必要性是显然的.,现在证明充分性.,根据矩阵和线性变换之间的对应关系，我们可定义任意线性变换A的最小多项式，它等于其对应矩阵A的最小多项式.,返回,推论 复数矩阵A与对角矩阵相似的是A的最小多项式没有重根.,实际上，由于g(A)V=0，用定理12中同样步骤可证V=V1Vl,其中Vi=|(A-aiE)=0, V. 把V1,Vl各自的基合起来就是V的基. 而每个基向量都属于某个