自动控制原理与应用 第3章 时域分析法.ppt

1、自动控制原理与应用,第3章 时域分析法,-梁南丁,第3章 时域分析法,3.1 典型输入信号及性能指标 3.2 一阶系统分析 3.3 二阶系统分析 3.4 系统稳定性分析 3.5 系统稳态误差分析 本章小结 思考题与习题,3.1 典型输入信号及性能指标,时域分析根据控制系统在一定输入作用下的输入量时域表达式，来分析系统的稳定性，瞬态过程性能和稳态误差。,优缺点: 直接在时间域中对系统进行分析校正，直观、准确； (2)可以提供系统时间响应的全部信息； (3)基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。,3.1.1 典型输入信号,1.常用的典型输入信号有如下5种,正弦信号asint 如图3.1(d)所示，则

2、其拉氏变换为 Lasint= 实际控制过程中，电源、振动的噪声及海浪对船舶的扰动力等，均可视为正弦作用。,2.线性系统时域性能指标：,稳：( 基本要求 ) 系统受脉冲扰动后能回到原来 的平衡位置,准: ( 稳态要求 ）稳态输出与理想输出间的误差要小,快: ( 动态要求 ) 过渡过程要平稳，迅速,延迟时间 t d 阶跃响应第一次达到终值的50所需的时 间 上升时间 t r 阶跃响应从终值的10上升到终值的90 所需的时间 峰值时间 t p 阶跃响应越过终值达到第一个峰值所需的 时间 调节时间 t s 阶跃响应到达并保持在终值 5误差带内 所需的最短时间 超 调 量 峰值超出终值的百分比,3.2

3、一阶系统分析,3.2.1一阶系统的数学模型,时间常数,1,TS,-,R(s),E(s),C(s),一阶系统的动态结构图,闭环传递函数为,当控制系统的数学模型为一阶微分方程时,称其为一阶系统.,3.2.2一阶系统的单位阶跃响应,一阶系统没有超调，系统的动态性能指标为调节时间:,单位阶跃响应:,系统在单位阶跃信号作用下的输出响应,单位阶跃响应曲线,一阶系统单位阶跃响应:,拉氏反变换：,c(t)=1-e-t/T,系统响应曲线如图所示，其响应由零开始按指数规律上升并趋于1，表明一阶系统的单位阶跃响应具有非周期性，没有振荡。时间常数T是一阶系统唯一的结构参数，响应曲线在t=0时的斜率(速度)为1/T。,

4、一阶系统的典型响应,3.3 二阶系统分析,由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。在控制系统中，二阶系统非常普遍，如电动机、小功率随动系统、机械动力系统等都是二阶系统。二阶系统和一阶系统都是研究高阶系统的基础，许多高阶系统在实际应用条件下也可简化为二阶系统进行动态研究。,3.3.1二阶系统的数学模型,系统的典型结构:,此式为二阶系统闭环传递函数的标准形式。,例如：RLC电路的传递函数为,得：,二阶系统的参数与标准式的参数之间有着对应的关系。,3.3.2 二阶系统的特征根及性质,值不同，两个根的性质不同，有可能为实数根、复数根或重根。相应的单位阶跃响应的形式也不相同。下面分别讨论。,二阶系统的特征

5、方程,特征方程的特征根,1过阻尼(1) 由式可知，s1,2为两个不等的负实根。,系统输出无振荡和超调，输出响应最终趋于稳态值1。,单位阶跃响应曲线,2.=1 临界阻尼,两相等负实数根,单位阶跃响应,输出响应无振荡和超调。=1时系统的响应速度比1 时快。,单位阶跃响应曲线,3. 01 欠阻尼,特征根为一对实部为负的共轭复根,4零阻尼(=0),s1,2为一对纯虚根jn,5负阻尼(0),系统的特征根将出现正实部，系统为一不稳定的系统，其阶跃响应呈发散状态。 二阶系统正常工作的基本条件是，阻尼比必须大于零。另外,1时阶跃响应具有非周期性，01时阶跃响应具有振荡衰减特征。,，,3.3.3二阶系统的单位阶

6、跃响应,二阶系统在单位阶跃输入作用下，输出量的拉氏变换为,则单位阶跃响应的一般式为,式中：c1=,，c2=,系统的特征根s1,2为一对实部为负的共轭复根,(1) 平稳性：大，n小，响应平稳性好。,(2) 快速性：在一定下， n越大、ts越短，快速性越好。,=0.707为最佳阻尼比； =0.707的系统响应称最佳响应。,欠阻尼,系统的特征根s1、2为一对纯虚根,。,s1,2= jn,零阻尼,阶跃响应曲线为等幅振荡属不稳定系统,不同值时系统的单位阶跃响应,1）平稳性： 主要由决定。,%平稳性越好。, = 0 时,系统等幅振荡,不能稳定工作。, n一定时,若较小,则ts。,当 0.707之后又有 t

7、s。,一定时n d ,系统平稳性变差。,太小或太大,快速性均变差。,2）快速性：,二阶系统性能分析,的增加和n的减小虽然对系统的平稳性有利，但使得系统跟踪 斜坡信号的稳态误差增加。,从以上结果可知:值越大，系统的平稳性越好；值越小，输出响应振荡越强。综合考虑系统的平稳性和快速性，一般取= 0.707为最佳,稳定性是控制系统的重要性能，是系统正常工作的首要条件。分析系统的稳定性，提出保证系统稳定的措施，是控制系统设计的基本任务之一。 3.4.1 稳定的基本概念 例:单摆系统和圆拱桥小球系统,3.4 系统稳定性分析,稳定,B,不稳定,稳定性-扰动消失后系统恢复到平衡状态的性能.系统稳定性只与系统内

8、部特性有关，而与输入无关。,3.4.2稳定的数学条件,系统稳定的充分与必要条件：,系统所有特征根的实部小于零,即特征方程的根位于S左半平面。,3.4.3代数稳定判据,劳斯稳定判据,根据稳定的充分与必要条件,求得特征方程的根,就可判定系统的稳定性. 但对于高阶系统求解方程的根比较困难。,劳斯稳定判据是根据闭环传递函数特征方程式的各项系数,按一定的规则排列成劳斯表，根据表中第一列系数正负符号的变化情况来判别系统的稳定性。,劳斯稳定判据的应用,劳斯稳定判据就是根据特征方程的系数来分析系统的稳定性的一种判据，它避免了直接求特征方程根的繁琐过程。,线性系统的特征方程表示为,则系统稳定的充分必要条件是 特

9、征多项式中各项系数均大于零， 即ai0 (i=0,1,2,n),(2) 劳斯表中第一列 元 素均为正值。,第一列元素符号改变的次数等于不稳定根的个数。,根据特征方程的各项系数排列成劳斯表,例1 已知系统的特征方程，试判断该系统的稳定性。,解：,s4+2s3+3s2+4s+5=0,劳斯表如下：,1 3 5,s1,s0,s4,s3,s2,b31,b32,b41,b51,2 4,b31=,2*3,-1*4,2,=1,1,b32=,2*5,-1*0,2,= 5,5,b41=,1*4,-2*5,1,=-6,-6,b51=,-6*5,-1*0,-6,= 5,5,有两个正实部根，系统不稳定。,例2 系统如图

10、所示，试确定系统稳定放大倍数K的取值范围。,闭环传递函数,特征方程:,s3+14s2+40s+40K=0,解：,劳斯表:,系统稳定的条件:,14K0,如果劳斯表中某行的第一个元素为零，表示系统中有纯虚根，系统不稳定。,该行中其余各元素不等于零或没有其他元素，将使得劳斯表无法排列。此时，可用一个接近于零的很小的正数来代替零，完成劳斯表的排列。,如果劳斯表中某一行的元素全为零，表示系统中含有不稳定的实根或复数根。系统不稳定。,例3 已知系统的特征方程，试判断系统的稳定性。,劳斯表为:,系统有一对纯虚根,s3+2s2+s+2=0,解：,1 1,s3,s2,2 2,s1,b31,=0,s0,b41,2

11、,通过因式分解验证:,s3+2s2+s+2=0,(s+2)(s2+1)=0,s1=-2,s2.3=j,b31=,2*1,-2*1,2,=2,b41=,-2*0,不稳定,3.5 系统稳态误差分析,稳态误差是衡量控制系统最终精度的重要指标。上节分析的系统稳定性只取决于系统的结构参数，与系统的输入信号及初始状态无关。而系统稳态误差既与系统的结构参数有关，又和系统的输入信号密切相关。,3.5.1误差与稳态误差,1.误差的概念 系统误差用e(t)表示，泛指希望值r(t)与实际值之差c(t)，对,R(t)相当于希望值的指令输入，而b(t)相当于被控量c(t)的测量值，H(s)为检测元件，则系统误差定义为

12、e(t)=r(t)-b(t),单位负反馈系统误差常表示为e(t)=r(t)-c(t),误差e(t)反映了系统跟踪r(t)和抑制n(t)的过程精度。,稳态误差定义为稳定系统误差的终值，即,由设定输入信号引起的误差反映系统跟踪输入信号的能力; 由扰动输入信号引起的误差反映系统抑制扰动的能力.,1)稳态误差概念 稳态误差：输出设定值-输出稳态值 给定稳态误差：针对给定值的改变 扰动稳态误差：针对扰动量的改变 ess=0 无差系统 ess0 有差系统,3.5.2稳态误差计算,E(s)=R(s)-B(s),又 E(s)=er(s)R(s)+en(s)N(s),由e(t)=r(t)-b(t),er(s)为

13、系统对输入指令的误差传递函数； en(s)为系统对干扰的误差传递函数。 经结构变换可得,故稳态误差计算式为,essr为r(t)引起的系统稳态误差 essn为干扰n(t)引起的系统稳态误差。,【例3.7】 系统结构如图所示，试求系统在单位斜坡作用下的稳态误差。,解：(1) 判别系统稳定性。 由系统结构图可求得系统特征方程为 D(s)=s(s+1)(2s+1)+K(0.5s+1)=2s3+3s2+(1+0.5K)s+K=0 根据代数稳定判椐求K值范围 由各项系数大于零，得K0； K-2 D2 =a1a2-a0a3=3(1+0.5K)-2K0 K6 故系统稳定条件为0K6，K在此域中取值，计算稳态误

14、差才有意义。,(2) 求E(s)。,由于r(t)=t，则R(s)=,，代入上式得,(3) 求稳态误差ess。 在K的稳定域中，系统稳定，E(s)的极点均在s平面的左半面，符合终值定理应用条件，稳态误差为,结果表明，稳态误差与开环增益K成反比，由此看出，系统的稳定性与稳态精度对系统的要求是相互矛盾的。,3.5.3系统型别,若开环系统的传递函数,按开环系统中积分环节v=1/s的个数进行分类: (1)=0的系统称为0型系统(有差系统)； (2)=1的系统称为型系统(一阶无差系统)； (3)=2的系统称为型系统(二阶无差系统)。 的大小反映了系统跟踪阶跃信号、斜坡信号、等加速输入信号的能力。系统无差度

15、越高，稳态误差越小，但稳定性变差。 实际工业控制系统，、型系统较多，高于型系统由于稳定性极为不利而很少采用。,3.5.4r(t)作用下的稳态误差与静态误差系数,由,得系统稳态误差表达式,和,此式表明，系统稳态误差除与外作用R(s)有关外，还与系统开环增益和值有关。,1. 阶跃输入下的稳态误差与静态位置误差系数 1) 阶跃输入下的稳态误差 设r(t)=r01(t)，r0为常数，表示阶跃量大小，则,表明，系统消除阶跃作用下的稳态误差，要求开环传递函数G(s)H(s)中应至少配置一个积分环节，即1。如果=0，则稳态误差为常值，增益K越大，稳态误差越小。,2) 静态位置误差系数Kp Kp表示系统在阶跃

16、输入下的稳态精度，定义为,上式表明，0型系统的静态位置误差系数是有限值K，加大增益可以提高精度、减小稳态误差；而型以上的系统的精度为无穷，稳态误差应为零。,根据前面的分析可得出典型结构的系统，稳态误差与系统输入和型号的关系为：,R(s)/Kj,0型,型,型,0,0,0,输入的阶次越高，稳态误差越大。系统的型号越高，稳态误差越小。,/KP,/K,/,/,/0,/Ka,/Kv,/K,/,/0,/0,/K,3.5.5干扰n(t)作用下的稳态误差,N(s)为干扰信号。,系统对干扰的误差传递函数为,干扰引起的稳态误差计算式为,例 已知系统的传递函数， 求系统的稳态误差。,r(t)=2t,d(t)=0.5(t),解：,系统的开环传