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文档简介

1、2.5 矩阵的秩,一、 矩阵秩的概念,二、 矩阵秩的计算,三、 矩阵的标准形,k阶子式的定义,设,一、 矩阵秩的概念,组成的k阶行列式S,按原来的相对位置,例,1)可讨论它的几阶子式?,2)各阶子式分别有几个?,一般地,1至3阶子式！,1阶子式：,2阶子式：,3阶子式：,问题,矩阵秩的定义,则D称为A的最高阶非0子式，,r称为A的秩，记为,规定零矩阵的秩为0。,1. A中r+1阶子式都为0时，,所以秩r是A的不为0子式的最高阶数。,比r+1阶子式高阶的子式也为0。,注意,2. 显然对任意矩阵A， A的秩唯一，,但其最高阶非零子式一般不唯一.,例,解,解,计算A的3阶子式，,练一练,基本结论与性

2、质,1. R(A)=0 A=O；,2. R(A) r A有一个r 阶子式不为零；,3. R(A) r A的所有r +1阶子式全为零。,可逆矩阵称为满秩矩阵,不可逆矩阵称为降秩矩阵（或退化矩阵）,定义,例,解,结论：行阶梯形矩阵的秩为其非0行的行数。,结论：行阶梯形矩阵的秩为其非0行的行数。,定理：矩阵经过初等行变换,定理：矩阵经过初等变换后其秩不变。,证明,（自学）,一定可以化为行阶梯形矩阵。,二、矩阵秩的计算,求矩阵秩的方法：,将矩阵作初等行变换，,把矩阵化为行阶梯形矩阵，,行阶梯形矩阵的非0行的行数,(也即首非0元的个数）,即为矩阵的秩。,解2,显然，非0行的行数为2，,此方法简单！,例,

3、例,解,分析：,法1,练一练,法2,对任意矩阵A,R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)，,其中P, Q分别为可逆矩阵.,推论,矩阵乘可逆矩阵秩不变,证,PA = Et E1 A ，,即 PA 为A经行初等变换所得.,同理可证其他.,因为P可逆，,存在初等矩阵E1, , Et使得,P = E1 Et，,故 R(PA)= R(A).,三、矩阵的标准形,定理,推论：若矩阵A与B等价当且仅当R(A)= R(B)。,例 设,求A的标准形.,R(A) = 2.,解,例 设A为n阶矩阵(n2)，证明,证 若R(A)=n:, R(A) n-1 :,|A|0，,A中所有n-1阶子式均为零，,例 设A为n阶矩阵(n2)，证明,附带结果：,例 证明,证,存在可逆矩阵P1,P2,Q1,Q2使得,小 结,1、矩阵秩的概念,2、矩阵秩的计算,3、矩阵的等价标准形,矩阵秩是A的不为0子式的最高阶数。,将矩阵作初等行变换化为行阶梯形

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