高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线课件 文 苏教版

1、9.7抛物线,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.抛物线的概念 平面内到一个定点f和一条定直线l(f不在l上)的距离 的点的轨迹叫做抛物线，定点f叫做抛物线的 ，定直线l叫做抛物线的 . 2.抛物线的标准方程与几何性质,知识梳理,相等,焦点,准线,1.抛物线y22px (p0)上一点p(x0，y0)到焦点 的距离pfx0 ，也称为抛物线的焦半径. 2.y2ax的焦点坐标为 ，准线方程为x . 3.设ab是过抛物线y22px(p0)焦点f的弦， 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 (1)x1x2 ，y1y2p2. (2)弦长abx1x2p (为弦a

2、b的倾斜角). (3)以弦ab为直径的圆与准线相切. (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. () (2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是( ，0)，准线方程是x .() (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.() (4)ab为抛物线y22px(p0)的过焦点f( ，0)的弦，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2 ，y1y2p2，弦长abx1x2p.(),考点自测,1.(2016四川改编

3、)抛物线y24x的焦点坐标是_.,答案,解析,(1,0),对于抛物线y2ax，其焦点坐标为 ，,对于y24x，焦点坐标为(1,0).,2.(2017苏州模拟)已知抛物线c：y2x的焦点为f，a(x0，y0)是c上一点，af ，则x0_.,答案,解析,1,由抛物线的定义，可得afx0 ，,3.(2016苏州模拟)设坐标原点为o，抛物线y22x与过焦点的直线交于a、 b两点，则 _.,答案,解析,设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由题意知过焦点的直线斜率不为0，,设其直线方程为xky ，,则由 得y22ky10，,几何画板展示,4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点

4、p(2，4)，则该抛物线的标准方程为_.,答案,解析,y28x或x2y,设抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0). 将p(2，4)代入， 分别得方程为y28x或x2y.,5.(2017南京月考)已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为_.,答案,解析,2,抛物线y22px(p0)的准线为x ，,圆x2y26x70，即(x3)2y216， 则圆心为(3,0)，半径为4. 又因为抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，,所以3 4，解得p2.,题型分类深度剖析,题型一抛物线的定义及应用 例1设p是抛物线y24x上的一个动点，若b(3,2)，

5、则pbpf的最小值为_.,答案,解析,4,如图，过点b作bq垂直准线于点q， 交抛物线于点p1， 则p1qp1f.则有pbpfp1bp1qbq4. 即pbpf的最小值为4.,几何画板展示,引申探究 1.若将本例中的b点坐标改为(3,4)，试求pbpf的最小值.,解答,由题意可知点(3,4)在抛物线的外部. 因为pbpf的最小值即为b，f两点间的距离，,即pbpf的最小值为 .,几何画板展示,2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点p到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1d2的最小值.,解答,由题意知，抛物线的焦点为f(1,0).

6、点p到y轴的距离d1pf1，所以d1d2d2pf1. 易知d2pf的最小值为点f到直线l的距离，,故d2pf的最小值为,所以d1d2的最小值为 1.,几何画板展示,与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.,思维升华,跟踪训练1设p是抛物线y24x上的一个动点，则点p到点a(1,1)的距离与点p到直线x1的距离之和的最小值为_.,答案,解析,如图，易知抛物线的焦点为f(1,0)，准线是x1， 由抛物线的定义知： 点p到直线x1的距离等于点

7、p到f的距离. 于是，问题转化为在抛物线上求一点p， 使点p到点a(1,1)的距离与点p到f(1,0)的距离之和最小， 显然，连结af与抛物线相交的点即为满足题意的点，,此时最小值为,几何画板展示,题型二抛物线的标准方程和几何性质 命题点1求抛物线的标准方程 例2已知双曲线c1： 1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线c2：x22py(p0)的焦点到双曲线c1的渐近线的距离为2，则抛物线c2的方程为_.,答案,解析,x216y, 1的离心率为2，,x22py(p0)的焦点坐标为 ， 1的渐近线方程为y ，,即y .,由题意得 2，p8.故c2的方程为x216y.,命题点2抛物线的几何性质 例3

8、已知抛物线y22px(p0)的焦点为f，a(x1，y1)，b(x2，y2)是过f的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y1y2p2，x1x2 ；,证明,由已知得抛物线焦点坐标为( ，0).,由题意可设直线方程为xmy ，代入y22px，,得y2 ，即y22pmyp20.(*),则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.,(2) 为定值；,证明,因为x1x2 ，x1x2abp，代入上式，,(3)以ab为直径的圆与抛物线的准线相切.,证明,设ab的中点为m(x0，y0)， 分别过a，b作准线的垂线， 垂足为c，d， 过m作准线的垂线，垂足为n，,所以以ab为直径的圆与抛物线的准线相

9、切.,(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. (2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.,思维升华,跟踪训练2(1)(2016全国乙卷改编)以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于a，b两点，交c的准线于d，e两点.已知ab ，de ，则c的焦点到准线的距离为_.,答案,解析,4,不妨设抛物线c：y22px(p0)， 则圆的方程可设为x2y2r2(r0)，如图，,点a(x0， )在抛

10、物线y22px上，82px0， 点a(x0， )在圆x2y2r2上， 8r2， 点 在圆x2y2r2上， 5 r2， 联立，解得p4，即c的焦点到准线的距离为4.,(2)若抛物线y24x上一点p到其焦点f的距离为3，延长pf交抛物线于q， 若o为坐标原点，则sopq_.,答案,解析,如图所示，由题意知，抛物线的焦点f的坐标为(1,0). 又pf3，由抛物线定义知：点p到准线x1的距离为3， 点p的横坐标为2.将x2代入y24x，得y28， 由图知点p的纵坐标y p(2, )，直线pf的方程为y (x1).,方法一联立直线与抛物线的方程,方法二将y (x1)代入y24x， 得2x25x20， x

11、1x2 ， pqx1x2p ， o到pq的距离d ，,题型三直线与抛物线的综合问题 命题点1直线与抛物线的交点问题 例4已知抛物线c：y28x与点m(2,2)，过c的焦点且斜率为k的直线与c交于a、b两点.若 0，则k_.,答案,解析,2,抛物线c的焦点为f(2,0)，则直线方程为yk(x2)， 与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2(4k28)x4k20. 设点a(x1，y1)，b(x2，y2).,则x1x24 ，x1x24.,所以y1y2k(x1x2)4k ，y1y2k2x1x22(x1x2)416.,因为 (x12，y12)(x22，y22) (x12)(x22)(y12)(y22) x

12、1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80， 将上面各个量代入，化简得k24k40，所以k2.,命题点2与抛物线弦的中点有关的问题 例5(2016全国丙卷)已知抛物线c：y22x的焦点为f，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交c于a，b两点，交c的准线于p，q两点. (1)若f在线段ab上，r是pq的中点，证明：arfq；,证明,由题意知， ，设l1：ya，l2：yb，则ab0，,记过a，b两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0. 由于f在线段ab上，故1ab0.,记ar的斜率为k1，fq的斜率为k2，则,所以arfq.,几何画板展示,(2)若pqf的面积是abf的面积的两倍，求

13、ab中点的轨迹方程.,解答,设过ab的直线为l，设l与x轴的交点为d(x1，0)，,由题意可得 ，所以x11，x10(舍去).,设满足条件的ab的中点为e(x，y).,当ab与x轴不垂直时，由kabkde可得 (x1).,而 y，所以y2x1(x1).,当ab与x轴垂直时，e与d重合，此时e点坐标为(1,0)， 所以所求轨迹方程为y2x1(x1).,(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系. (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式abx1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. (3)涉

14、及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法. 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.,思维升华,跟踪训练3(2016南京、盐城、徐州二模)在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线c：x24y的焦点为f，定点a( ，0)，若射线fa与抛物线c相交于点m，与抛物线c的准线相交于点n，则fmmn_.,答案,解析,13,由题意得f(0,1)，直线af的方程为 1，,将它与抛物线方程联立解得,m( )，准线方程为y1.,又交点在第一象限，,故易求得n( ，1).,由三角形相似性质得,典例(16分)已知抛物线c：ymx2(m0)，焦点为f，直线

15、2xy20交抛物线c于a，b两点，p是线段ab的中点，过p作x轴的垂线交抛物线c于点q. (1)求抛物线c的焦点坐标； (2)若抛物线c上有一点r(xr,2)到焦点f的距离为3，求此时m的值； (3)是否存在实数m，使abq是以q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.,直线与圆锥曲线问题的求解策略,答题模板系列7,思维点拨,答题模板,(3)中证明 0.,规范解答,解(1)抛物线c：x2 ，它的焦点f(0， ).2分,(2)rfyr ，2 3，得m .4分,(3)存在实数m，使abq定以q为直角顶点的直角三角形.,联立方程 消去y，得mx22x20，,依题意，有(2)

16、24m(2)0m .7分,若存在实数m，使abq是以q为直角顶点的直角三角形，,即2m23m20，m2或m ，,存在实数m2， 使abq是以q为直角顶点的直角三角形.16分,返回,解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.,返回,课时作业,1.(2017盐城模拟)若抛物线yax2的焦点坐标是(0,1)，则a_.,因为抛物线的标准方程为x2 ，

17、所以其焦点坐标为(0， )，则有 1，a .,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a、b两点，若线段ab的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为_.,答案,解析,x1,y22px(p0)的焦点坐标为( ，0)，,过焦点且斜率为1的直线方程为yx ，,即xy ，将其代入y22px，得y22pyp2，即y22pyp20.,设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y22p， p2，,抛物线的方程为y24x，其准线方程为x1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(

18、2016淮安模拟)已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点p到直线l1和l2的距离之和的最小值为_.,答案,解析,2,直线l2：x1是抛物线y24x的准线，抛物线y24x的焦点为f(1,0)， 则点p到直线l2：x1的距离等于pf， 过点f作直线l1：4x3y60的垂线，和抛物线的交点就是点p， 所以点p到直线l1：4x3y60的距离和直线l2：x1的距离之和的最小值就是点f(1,0)到直线l1：4x3y60的距离，所以最小值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.已知抛物线y22px(p0)的焦点弦ab的两端点坐标分别为a(x1，y1)，

19、b(x2，y2)，则 的值一定等于_.,答案,解析,4,若焦点弦abx轴，则x1x2 ，x1x2 ，,y1p，y2p，y1y2p2， 4.,若焦点弦ab不垂直于x轴，可设ab的直线方程为yk(x )，,联立y22px，得k2x2(k2p2p)x 0，则x1x2 ，x1x2p ，,y1y2p2.故 4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.(2016苏州一模)过抛物线y28x的焦点f的直线交抛物线于a，b两点，交抛物线的准线于点c，若af6， ，则的值为_.,答案,解析,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设a(x1，y1)(y10)，b(

20、x2，y2)，c(2，y3)， 则x126，解得x14，则y1 则直线ab的方程为y (x2)，令x2，,则b(1， )，bf123，bc9，3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*6.(2016镇江模拟)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线c：y28x相交于a， b两点，f为c的焦点，若fa2fb，则k的值为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,抛物线c的准线为l：x2， 直线yk(x2)恒过定点p(2，0)， 如图，过a，b分别作aml于m，bnl于n， 由fa2fb，得am2bn， 从而点b为ap的中点，连结ob， 则o

21、b ，所以obbf， 从而点b的横坐标为1，点b的坐标为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.设f为抛物线c：y23x的焦点，过f且倾斜角为30的直线交c于a，b两点，则ab_.,答案,解析,12,焦点f的坐标为 .,方法一直线ab的斜率为 ，所以直线ab的方程为y ，,设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2 ，所以abx1x2p 12.,方法二由抛物线焦点弦的性质可得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.(2016宿迁模拟)已知抛物线的方程为y22px(p0)，过抛物线上一点m(p， )和抛物线的焦点f作直线l交抛物线于另一点

22、n，则nffm_.,答案,解析,12,由题意知直线l的方程为y ，,联立方程,得4x25pxp20，,nffm12.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.(2016徐州、连云港、宿迁三检)已知点f是抛物线y24x的焦点，该抛 物线上位于第一象限的点a到其准线的距离为5，则直线af的斜率为_.,答案,解析,抛物线y24x的准线为x1，焦点f(1,0)， 设点a(x0，y0)(x00，y00)， 由题意得x015，所以x04，所以 4x016，y04，,从而点a(4,4)，直线af的斜率为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.已知椭圆e的中

23、心在坐标原点，离心率为 ，e的右焦点与抛物线c：y28x的焦点重合，a，b是c的准线与e的两个交点，则ab_.,答案,解析,6,抛物线y28x的焦点为(2,0)，准线方程为x2.,设椭圆方程为 1(ab0)，,由题意，c2， ，可得a4，b216412.,故椭圆方程为 1.,把x2代入椭圆方程，解得y3.从而ab6.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.已知抛物线c：y24x的焦点为f，准线为l，过抛物线c上的点a作准线l的垂线，垂足为m，若amf与aof(其中o为坐标原点)的面积之比为31，则点a的坐标为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如图所示，由题意，可得of1， 由抛物线的定义，得afam， amf与aof(其中o为坐标原点)的面积之比 为31，,afam3，,点a的坐标是(2， ).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*12.设直线l与抛物线y24x相交于a，b两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点m，且m为线段ab的中点.若