数学分析1-2.ppt

1、西南科技大学品牌课程,数学分析,E-mail:,主讲：杨莉,2 数集与确界,数学分析讨论的对象是函数，,1.数集,集合 具有某种特定性质的事物的总体.,表示方法：,如数列,而函数的定义域或值域都,所以我们必要对数集有一个了解,是数集,(1) 列举法把集合的元素罗列在花括号内,简记为,一.区间和邻域,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,解析法是常用的一种方法，由集合的定义, 具有属性,数集 由数构成的集合,的对象构成的集合,(3) 解析法,(2) 用大写字母表示,R 实数集； Q 有理数集；,Z 整数集； N 自然数集,取,有限区间,数集x|axb称为开区间, 记为(a, b), 即 (a,

2、b)=x|axb.,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,例如,2.区间,a, b=x|axb闭区间.,a, b)=x|axb半开半闭区间, (a, b=x|axb半开半闭区间.,上述区间都是有限区间, 其中a和b称为区间的端点, b-a 称为区间的长度.,(-, b= x|xb,(-, +)= x| |x|+.,a, +)= x|ax,无限区间,(-, b)= x|xb,(a, +)= x|ax,(1) 点a的,邻域：设,，满足不等式,的全体实数,的集合称为点a的,邻域，记作,，或简记为,，即,.,其中点a称为邻域的中心, 称为邻域的半径.,3.邻域,对于邻域的类

3、型还有如下一些.,空心邻域,左邻域,右邻域,邻域,为较大的正数,邻域,邻域,(x L)则称S为有上界(下界)的数集,x S ,都有x M,数M (L)称为S的一个上界(下界).,设S是R中的一个数集,若存在数M (L),使得对任一,定义1,二.有界集 确界原理,数集 S 有上界,数集 S有下界,数集S有上界是指可以找到数M，使得S中的任一元素不,会比 M 大,数集 S有下界是指可以找到数 L，使得 S 中的任一元素不,会比 L小,有界数集:,若数集S既有上界又有下界,则称S为有界集.,定理,数集S是一有界数集的充分必要条件是存在,，使得对任何,，有,实数,数集 S 有界,注：）上（下）界若存在

4、，不唯一； ）上（下）界与S的关系如何？看下面的例题：,数集 S 无上界,数集 S 无界,数集 S 无下界,确界:,直观定义:若数集S有上界，则它有无穷多个上界，其中最小的一个上界称为数集S 的上确界，记作,同样，有下界数集S最大的一个下界称为数集 S的下确界，记作,定义2,同理可得下确界的定义.,定义3:,命题,1),2),命题2,1),2),证二: 设非空有界数集S的上确界为,例3,则,若,存在, 必有,对下确界有类似的结论.,确界原理,定理1.1设S为非空数集,若S有上界,则S必有上确界;若S有下界,则S必有下确界.,注意：,1确界是一个数；,2确界是唯一的；,3数集 A 的最值一定在

5、A 中，但确界不一定在 A 中；,例如 sup (0，1) = 1，inf (0，1)= 0，开区间 (0，1) 无最值.,4有界数集 A 不一定有最值，但必有确界.,1.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合.,2. 确界与最值的关系: 设,为数集.,的最值必属于, 但确界未必,非空有界数集必有确界(见上面的确界原理), 但未必有最值.,若,存在, 必有,对下确界有类似的结论.,注：,例1 讨论数集,的有界性。,上界、下界？下界显然有，如取,；上界似乎无，但需要证明。,，显然有,，所以,有下界；但,无上界。证明如下：假设,有上界M,则M0，按定义，对任意,，都有,，这是不可能的，如取,则,，且,.综上所述知：,是有下界无上界的数集，因而是无界集。,分析：有界或无界,解：任取,例2 证明集合,是无界数集.,证明：,由无界集定义，E 为无界集.,证：,从而,即是的一个上界，,是数集 的最小上界, 故有,例4 设,和,是非空有界数集，且有,则有,例5,设 A, B为非空数集,满足:,证明数集 A有上确界, 数集B有下确界,且,证:,故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.,是数集A的一个上界,而由上确界的定义知,由假设,数集B中任一数 都是数集A的上界,A中任一数 都是B的下界,是数集A的最小上界, 故有,而此式又表明数 是数集B的一个下界,故由下确界的定义证得,例