高三数学一轮复习 第2讲 双曲线教案

1、第二讲 双曲线一、考情分析解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高“圆锥曲线”是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神，进一步提高学生“应用数学”的水平二、知识归纳（一）椭圆的定义（1）第一定义：平面内与两个

2、定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹叫作双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距特征式：注：若，则点的轨迹是以为端点的两条射线； 若，则这样的点不存在；若，则点的轨迹仅是双曲线的一支（2）第二定义：平面内动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数，那么这个点的轨迹叫做双曲线其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率特征式：注：若时，表示过与相交的两条直线（不含点）（二）双曲线的方程（1）双曲线的标准式方程：；（焦点在轴的平行线上，中心在的双曲线方程）（焦点在轴的平行线上，中心在的双曲线方程）（2）双曲线的参数方程：；（3）双曲线的向量式方程：（三）性质：

3、对于双曲线而言， （1）范围及特征关系：；（2）对称性：图象既关于轴对称，又关于轴对称，也关于原点对称原点叫双曲线的对称中心，简称中心轴、轴叫双曲线的对称轴（3）顶点：双曲线和实轴的交点叫做双曲线的顶点；加两焦点与共有六个特殊点叫双曲线的实轴，叫双曲线的虚轴，长分别为分别为双曲线的实半轴长和虚半轴长（4）离心率：双曲线焦距与实轴长之比注：双曲线形状与的关系：，双曲线的开阔程度越小；，双曲线的开阔程度越大（5）双曲线的准线方程：对于，左准线；右准线；对于，下准线；上准线（6）焦准距：焦点到准线的距离（焦参数）（7）通径：经过焦点且垂直于实轴的弦称之为通径，长度为 （8）渐近线：双曲线的渐近线方程

4、是（令即可）（9）焦半径公式： 焦点在轴上的双曲线的焦半径公式：（左焦半径）；（右焦半径）；焦点在轴上的双曲线的焦半径公式：（下焦半径）；（上焦半径）；（规律：左加右减，上减下加）（10）焦点三角形：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形；（如何证明？）（四）等轴双曲线（1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线（2）性质：渐近线方程为：；渐近线互相垂直；离心率（3）方程： ，当时交点在轴，当时焦点在轴上（五）共轭双曲线（1）定义：如果双曲线的实轴是双曲线的虚轴，双曲线的虚轴是双曲线的实轴，这两个双曲线称为互为共轭双曲线（2）求法：； （3）性质：若共轭双曲线的离心率分别为，则：；（

5、六）双曲线系方程（焦点在轴的上，中心在原点）（1）共焦点的双曲线系：注：若，则表示共焦点的椭圆系（2）共渐进线的双曲线系：注：若，则表示离心率相同的椭圆系三、精典例析（一）活用定义DP例1：定点是双曲线的焦点，是双曲线的右支上的动点HA（1）求的最小值；12（2）求的最小值解析：（1）双曲线的离心率为，；（2），取等号时，引申：也适用于椭圆、抛物线例2：（1）方程表示什么曲线？（2）方程表示什么曲线？解析：（1）设，则原方程等价于：，即：到定点的距离与它到定直线的距离之比为，故原方程表示以定点为焦点，以定直线为准线的双曲线（2），原方程表示过定点，与定直线相交的直线与例3：一炮弹在某处爆炸，在

6、A处听到爆炸声的时间比在B处晚（1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知A、B两地相距，并且此时声速为，求曲线的方程分析：解应用题的关键是建立数学模型 根据本题设和结论，注意到在A处听到爆炸声的时间比B处晚2s,这里声速取同一个值 解析：（1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上爆炸点离A处比离B处更远，爆炸点应在靠近B处的一支上（2）建立直角坐标系（如图），设爆炸点P的坐标为，则：，即， ，故所求双曲线的方程为：点评：利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的

7、准确位置如果再增设一个观测点C，利用B、C(或A、C)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置这是双曲线的一个重要应用，强化学生“应用数学”的意识思考：如果A、B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上（爆炸点应在线段的中垂线上）例4：方程表示什么曲线？解析：（1）当时，表示焦点在轴上的双曲线；（2）当时，表示两条相交直线；（3）当时，表示焦点在轴上的双曲线；（4）当时，表示椭圆型曲线，若时，表示焦点在轴上的椭圆；若时，表示圆；若时，表示焦点在轴上的椭圆；（5）当时，表示焦点在轴上的双曲线（二）活用性质例5：（1）（05湖

8、南卷）已知双曲线的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角为（2）（05福建卷）已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是解析：（1）右焦点为，右准线，渐近线，OAF的面积为，故两条渐近线的夹角为（2）运用正三角形的特性知：边MF1的中点坐标是，则：，例6：双曲线的渐进线方程为，求双曲线的离心率解析：设，（1）当时，；（2）当时，；故双曲线的离心率是或例7：中，是的焦点，且，求点的轨迹方程解析：，故点的轨迹方程是（三）焦半径公式及焦点三角形例8：已知双曲线的左右两焦点分别为

9、，点M是双曲线上不重合于顶点的一点，点P为的内心，证明：点P在轴上的射影是双曲线的顶点解析：（1）若点M在双曲线右支上，过P作PN垂直于点N，设右顶点为，则：1，2，右顶点与点N重合故点P在轴上的射影就是双曲线的右顶点（2）若点M在双曲线左支上，同理可证，点P在轴上的射影是双曲线的左顶点例9：已知双曲线的左右两焦点分别为，点M是双曲线右支上不重合于顶点的一点，设，若（1）求双曲线的离心率；（2）如果动点的坐标为，且有最小值15时，求双曲线的方程讲解：（1）如果对三角公式较为熟悉，不难发现： 所以，要求双曲线的离心率，只需考虑如何用来表达即可法1：设双曲线的实轴长为，焦距为，点P为的内心，过P作

10、PN垂直于点N，则：P，NO22又，法2：直接利用正、余弦定理也可得出结论（2），的坐标适合方程，（等号当且仅当时取得） ，双曲线的方程为：（四）焦点弦：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦例10：过双曲线的左焦点1作倾斜角为的弦，求及的周长解析：设，则：A21，显然，且，法1：法2：的周长为：引申：设两交点，则：（1）当双曲线焦点在轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：过左焦点与左支交于两点时，此时， ；过左焦点与左、右两支交于两点时，此时，；过右焦点与右支交于两点时，此时， ；过左焦点与左、右两支交于两点时，此时，（2）当双曲线焦点在轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关（五）中点弦例11：双曲

11、线上是否存在被点平分的弦？解析：显然，点在双曲线外，若存在被点平分的弦，则弦的斜率必存在设，则：，故；，故双曲线上不存在被点平分的弦引申：（1）若点在双曲线内，则以点为中点的弦必存在；（2）若点在双曲线外，则以点为中点的弦可能存在，也可能不存在（六）直线与双曲线相交问题例12：(05重庆卷)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(O为原点)，求k的取值范围解析：（1）设双曲线方程为，则： ， ，故双曲线C的方程为（2）设，则：，直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且， ，故k的取值范围为1例13：（05北京卷）如图，直线与直线W2W1之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半2部分记为W1，右半部分记为W2（I）分别用不等式组表示W1和W2；（II）若区域W中的动点到l1、l2的距离之积等于，求点P的轨迹C的方程；（III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3、M4两点求证：OM1M2的重心与OM3M4的重心重合解析：（I）；（II）直线，直线， ， 动点P的轨迹C的方程为；（III）分为以下两种情形分别