山东省冠县武训高级中学2020高二数学 1-2 第4课时 等比数列的综合应用复习导学案 新人教A版（通用）

1、山东省冠县武训高级中学2020高二数学1-2第4课等比数列的综合应用复习指导案新人教a版智力目标解读1 .进一步巩固等比数列的通式、性质以及前n项和式2 .掌握数列校正的常用方法相位减法重点难点点拨号重点：理解错位相减加法和应用等比数列性质难点：位移相减加法的应用学习方法的指导如果数列an为等差数列，则公差为d； 数列bn可求等比数列、公比q、数列anbn前n项之和，可采用相位减法。假设Sn=a1b1 a2b2 a3b3 anbn，并且在q=1的情况下，Sn=b1(a1 a2 a3 an)=； 在q1的情况下，由于qsn=QA1b1QA2b2q a3b 3QA nbn=a1b2a2b 3an-

2、1 bna nbn 1，所以，sn-qsn=(1-q)sn=。-anbn 1，所以Sn=。知道自己可以整理在等比数列的前n项和公式Sn=中，如果A=，则Sn=。2 .如果sn表示数列an的前n项的和，并且Sn=Aqn-A(A0，q0且q1 )，则数列an为.3 .在等比数列an处，Sn是前n项的和。如果q=-1且k是关双位数字，则为Sk、S2k-Sk、S3k-S2k (kN )；(2)在q1或k为奇数的情况下，数列Sk、S2k-Sk、S3k-S2k (kN )。回答 1. Aqn-A2 .等比数列3 .不是等比数列而是等比数列电子思维方法技巧命题方向等比数列性质的应用已知(1)个等比数列，a1

3、=5，a9a10=100，并且获得a18。(2)在等比数列bn中，b4=3，求出该数列前7项的积。(3)在等比数列中，求出a2=-2、a5=54、a8。分析从等比数列的性质可以看出，前两项和等距离的二项的积等于前两项的积，而某一项的距离和等距离的二项的积等于该项的平方分析(1) a1a 18=a9a 10，a18=20。b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7) (b2b6) (b3b5) b 4b24=b1b7=b2b6=b3b5，前七项的乘积是(32) 33=37=2187。解法a8=a5q3=a5=54=-1458。解法2:a5是a2和a8的等比中项a8=a8(-2 )。a8=-1458

4、。说明本问题的解决，主要应用等比数列的性质，如果m、n、k、l-n且m n=k l，则aman=akal .由此，能够对等比数列问题合理地应用性质，使解法变得简单。已知变化应用1是等比数列，并且计算a1a10=243、a4 a7=84和a11。分析 a4a7=a1a10、a4a7=243，a4=81 a4=3此外，a4 a7=84或a7=3 a7=81q=或q=3。a11=3q4=3()4=或a11=8134=6561。命题方向与前面n项有关的等比数列的性质问题例2各项都是正实数的等比数列an，将上位n项的和设为Sn，如果S10=10，S30=70，则S40相等（）A.150B.-200C.1

5、50或-200D.400或-50答案a分析本问题思路很广，可以用等比数列前的n项和公式列方程式确定并求解基本量a1，q，也可以用等比数列前的n项和的性质求解解析解法1 :设第一项为a1，公比q，从题意中知道q1。=10由、=70从以上的2式中除以q20 q10-6=0，求解q10=2或q10=-3 (舍去)，代入中有=-10，S40=-10(-15)=150。解法2:q1容易理解，若S10、S20-S10、S30-S20、S40-S30成为公比q10的等比数列s 30=s 10 (s 20-s 10 ) (s 30-s 20 )=s 10 q 10 q 20 s 10即，如果q20 q10-6

6、=0，则解为q10=2或q10=-3 (舍去)，s 40=s 10 (s 20-s 10 ) (s 30-s 20 ) (s 40-s 30 )=10 (12223 )=150。解法3 :用性质Sm n=Sm qmSn来解。S30=S20 q20S10=S10 q10S10 q20S10有q20 q10-6=0，求解(截断) q10=2或q10=-3。S40=S30 q30S10=70 810=150。解法4:q1、=、q20 q10-6=0容易知道，求解q10=2或q10=-3 (截断)。又是=，所以S40=150。在关于等比数列和的问题中，可以合理地应用和的性质，简化运算，本问题的解法2在

7、q1时，数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m，仍为等比数列，使用了公比qm。变形例中，设2个等比数列an的前n项的和为Sn，如果S5=10、S10=20，则S15等于。回答30“解析”为等比数列，S5、S10-S5、S15-S10成等比数列，(S10-S5)2=S5(S15-S10 )，即100=10(S15-20 )，解S15=30。探索扩张创新求命题方向偏差相减数列之和例3求出数列1、3a、5a2、7a3、(2n-1)an-1的前n项和(a0 )。从分析问题可知，数列的通式为an=(2n-1)an-1，数列的各项可分为两个因子式，前一个因子式可构成等差数列，后一个因子式可构成等比数列，因

8、此可选择相位减法加法分析a=1时，Sn=1 3 5 (2n-1)=n2。a1时，存在Sn=1 3a 5a2 7a3 (2n-1)an-1。aSn=a 3a2 5a2 7a4 (2n-1)an 。得到了，sn-ASN=12a2a 32 an-1-(2n-1 ) an=1- (2n-1 ) an。Sn=。一般而言，数列an为等差数列，公差为d； 当数列bn是等比数列时，如果求出数列anbn的前n项的和，就可以使用旋转相位减法。求出变形应用3数列n2n的前n项和Sn。 Sn=121 222 323 n2n2Sn=122 223 (n-1)2n n2n 1 -得到的-Sn=2 22 23 2n-n2n

9、 1=-n2n 1=2n 1-2-n2n 1，Sn=(n-1)2n 1 2。名士错误地回答如果数列an的前n项之和为Sn=an-1(a0 )，则数列an为()a .等比数列b .等差数列c .可能是等比数列，也可能是等差数列，d .可能是等比数列，但不是等差数列a是从Sn=an-1中得出的如果an=(a-1)an-1，则有=a-1 (常数)，因此选择a。辨别错误的原因是，a=1时，an=0，an不是等比数列，而是等差数列，这是由于等比数列中的an0而未理解所致。正确答案 C可以从Sn=an-1得到an=(a-1 )安- 1。a=1时，an=0，数列an为等差数列。a1时，=a-1、(非零常数)

10、、因为数列是等比数列，所以选择c。加强课堂教学培训一、选择题1.(2020辽宁文，5 )如果等比数列符合anan 1=16n，则为公比()A.2B.4C.8D.16回答b，解析本问题考察了有效利用数列特征求解的能力anan 1=16n，an-1an=16n-1q2=16q=4。2 .在各项为正数的等比数列中，如果a5-a4=576，a2-a1=9，则a1 a2 a3 a4 a5的值为()A.1061B.1023C.1024D.268回答b，从题意来看，a4(q-1)=576、a1(q-1)=9，=q3=64，q=4，a1=3，a1 a2 a3 a4 a5=1023。在等比数列中，a1=1，公比

11、|q|1，如果am=a1a2a3a4a5，则m=()A.9B.10C.11D.12回答c分析： a1=1，am=a1a2a3a4a5=a51q10=q10，另外，am=a1qm-1=qm-1、qm-1=q10，m-1=10，m=11。二、填海问题4 .如果等比数列的前n项和Sn=2n 1 r，则r的值为.回答 -2解法a1=S1=4 r，a2=S2-S1=8 r-4-r=4，a3=S3-S2=16 r-8-r=8，另外an是等比数列，a22=a1a3，8 (4r )，r=-2.解法2:sn=2n1r=22nr，数列an是等比数列，Sn=Aqn-A=22n r，r=-2。5 .将等比数列an的公

12、比设为q，将最初的n项之和设为Sn，当Sn 1、Sn、Sn 2为等差数列时，将q的值设为。回答- 2Sn 2、Sn、Sn 2为等差数列，2Sn=Sn 1 Sn 2(Sn 1-Sn) (Sn 2-Sn)=0，an 1安1安2=0，2安1=-安2，2，q=-2。三、解答问题6 .设(2020重庆文，16)an为公比正数的等比数列，a1=2，a3=a2 4。(an求通式的(bn为第一项，公差为2的等差数列，求数列an bn的第一n项和Sn。分析 (1)设定公比q，从已知的建立关联q的方程式求公比q，写入通项公式。(2)甲组的订正，首先求an的和，然后求bn的和，然后加上Sn。(1)设等比数列an的公

13、比为q，从a1=2、a3=a2得到2q2=2q 4即q2-q-2=0，解为q=2或q=-1 (舍)，q=2an=a1qn-1=22n-1=2n(2)数列bn=1 2(n-1)=2n-1Sn=n1 2=2n 1-2 n2-n n=2n 1 n2-2。点评本问题旨在调查等差、等比数列通项式和加法公式，调查方程式的思想，注意等比数列的公比是正数，本问题是基础保分题放学后的强化工作一、选择题1 .在已知的等比数列an中，an=23n-1，由数字序列的双位数项构成的新数字序列的前n项的和为()a.3n-1b.3(3n-1 )是自定义c.(9n-1)d.(9n-1 )答案d分析a2=6、q=9，sn=(9

14、n-1 )。2 .将(2020辽宁文) Sn作为等比数列an的前n项和，3 s3=a4- 2，3 s2=a3- 2，则公比q=()A.3B.4C.5D.6回答b，分析： s3=a4- 2、3s2=a3-2，3S3-3S2=a4-a3、3a3=a4-a3，4a3=a4，四，q=4。3 .在等比数列的前n项和Sn=2n-1 a中，a的值为()A.- B.- C. D回答b， Sn=2n-1 a=2n a，另外，Sn=Aqn-A，a=-。如果等比数列的公比和S3=1，则S6等于()甲乙丙。回答b，分析q=，S3=2a1(1-)=a1=1，a1=.S6=(1-)=。5 .在数列1，12，1222，12

15、223，1 2 22 2n-1的前n项和Sn1020中，n的最小值是()A.7B.8C.9D.10回答d分析1222因为2 n-1=2n-1，所以Sn=21-1 22-1 2n-1=2n 1-n-21020。n的最小值是10如果在堆等比数列中，公比q=并且a1 a3 a5 a99=60，那么a1 a2 a3 a100=()A.100B.90C.120D.30回答b，a2a4a 6a100=a1qa 3q a5qa99q=q (a1a3a 5a99 )=60=30a1a2a 3a 100=(a1a3a 5a 99 ) (a2a4a 6a 100 )=60 30=90。7 .已知的2 a=3，2 b=6，2 c=12，a、b、c ()a .