数学选修2-2导数复习总结

1、腊梅魂 在爷爷新盖的房子的一楼里，曾祖母躺在临时搭的木板上，双手自然地搭在腹上，胸脯微微地起伏着。没有电视里的辛苦呻吟着，相反的，是安慈而端庄，眼睛微微地合上，像是安静地闭目养神，又像是熟睡的婴儿。让人不敢惊醒她，打扰她。所有的亲人都来了，静静地围着曾祖母，静静地站着，静静地看着曾祖母离去 我的泪不止地流，把我的衣服都滴湿了，不，是雨水把我的衣服滴湿，不，是曾祖母的泪，是，是曾祖母的泪 离我家五十部之外有一颗腊梅，那是在我四岁的时候和曾祖母一起种的，树不高，也不茂盛，只有2米来高。在树下，充满了我和曾祖母的回忆。 夏夜，在曾祖母慈爱的声音下，我知道了牛郎和织女的爱情，我望着墨蓝的穹空，了望那闪

2、烁的星子，享受着曾祖母用葵扇扇来的凉风，不知不觉进入梦乡 冬天清晨，腊梅开花了。夹杂着幽幽的清香，像是在迷蒙中的仙境里。曾祖母总是一大早就坐在腊梅下品茶，而我就会在一旁用竹子把腊梅花打下来泡茶。 那些梅花真好看！鹅黄的花瓣骄傲地翘着，内一层的花瓣微微地卷起来，内层的花蕊金黄金黄的，软软的，像是美丽的公主在寒冬中展示着自己,导数的定义:,从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:,由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:,注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量x的形式是多样的,但不论x选择 哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式.,一、

3、曲线的切线,当自变量从x0变化到x1时，,相应的函数值从f(x0)变化到f(x1),y= f(x1)- f(x0),函数值的增量,x= x1- x0,自变量的增量,M,x,y,y0=f(x0)， y1=f(x1),Q(x0+ x,y0+ y),y=f(x0+ x)-f(x0),设曲线C是函数y=f(x)的图象，,在曲线C上取一点P(x0,y0),及邻近一,点Q(x0+x,y0+y),过P,Q两点作割,线，,当点Q沿着曲线无限接近于点P,点P处的切线。,即x0时, 如果割线PQ有一个极,限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在,曲线在某一点处的切线的定义,T,设割线PQ的倾斜角为， 切线PT的倾斜角

4、为,当x0时，割线PQ的 斜率的极限，就是曲线在点P 处的切线的斜率，即,tan =,M,x,y,曲线在某一点处的切线的斜率公式,x,o,y,y=f(x),Q,tan=,k=,【注】求曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率的方法：,(1)求y=f(x0+ x)-f(x0),【注】求过曲线y=f(x)外点 P(x1,y1)的切线的方法：,求函数图象切线需要注意的问题,（1）已知切点 求切线： 求切线的斜率 确定切点 写切线方程：,（2）已知切线过点 求切线方程,点 可以在曲线上，也可以不再曲线上 A、设切点 B、求斜率 C、写切线方程 D、代入已知点 列方程组求得 E、代入求得切线方

5、程,不需推导，但要注意符号的运算.,记 一 记,练习,(1) 5x4 ;,(2) 6x5 ;,(3) cost ;,(4) -sin .,法则1:,f(x) g(x) = f(x) g(x);,法则2:,法则3:,求函数的单调区间的一般步骤:,（1）求出函数f（x）的定义域A；,（2）求出函数 f（x）的导数 ；,（4）不等式组 的解集为f（x）的单调减区间；,（3）不等式组 的解集为f（x）的单调增区间；,导数的应用一:判断单调性、求单调区间,注、单调区间不 以“并集”出现。,1. 一般地,求函数的极值的方法是: 解方程f(x)=0.当f (x0)=0时. 如果在x0附近的左侧 右侧 ,那么

6、,f(x0) 是极大值;（左正右负极大） 如果在x0附近的左侧 右侧 ,那么,f(x0) 是极小值.（左负右正极小）,2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.,导数的应用二:求函数的极值,设函数f(x)的图象在a,b上是连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值 在a,b上的最大值与最小值的步骤如下,:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);,:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,导数的应用三：求函数的最值,三、综合应用:,例1:确定下列函数的单调区间: (1)f(x)=x/2+s

7、inx;,解:(1)函数的定义域是R,令 ,解得,令 ,解得,因此,f(x)的递增区间是: 递减区间是:,解:函数的定义域是(-1,+),(2)f(x)=x/2-ln(1+x)+1,由 即 解得x1.,故f(x)的递增区间是(1,+);,由 解得-1x1,故f(x)的递减区间是(-1,1).,说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故 求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义 域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与 定义域求两者的交集.,(3),解:函数的定义域是0,a,且当x0,a时,有:,由 及 解得0x3a/4,故f(x)的递增区间 是(0,3a/4).,由 及 解得3a/

8、4xa,故f(x)的递减区间 是(3a/4,a).,说明:,事实上在判断单调区间时,如果出现个别点使得 导数为零,不影响包含该点的某个区间上的单调 性,只有在某个区间内恒有导数为零,才能判定 f(x)在这一区间内是常数函数.,练习1:确定函数 的单调区间.,解:,令 注意到 故f(x)的递增区间是(0,100).,同理由 得x100,故f(x)的递减区间是(100, +).,说明:(1)由于f(x)在x=0处连续,所以递增区间可以扩大 到0,100)(或0,100).,(2)虽然在x=100处导数为零,但在写单调区间时, 都可以把100包含在内.,例3:当x1时,证明不等式:,证:设 显然f(

9、x)在1,+)上连续,且f(1)=0.,显然,当x1时, ,故f(x)是1,+)上的增函数.,所以当x1时,f(x)f(1)=0,即当x1时,说明:利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的一 种重要方法.其解题步骤是:,令F(x)=f(x)-g(x),xa,其中F(a)=f(a)-g(a)=0,从而将要证明的不等式“当xa时,f(x)g(x)”转化为证明: “当xa时,F(x)F(a)”.,练习2:已知 求证:,四、小结:,1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数 的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内, 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.,2.在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于 零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导 点.,3.注意在某一区间内 ()0只是函数f(x)在该区间 上为增(减)函数的充分不必要条件.,6.利用导数的符号来判断函数的单调区间,是导数几何 意义在研究曲线变化规律的一个应用,它充分体现了 数形结合的思想.,5.若函数f(x)在开区间(a,