微积分问题的计算机求解.ppt

1、微积分问题的计算机求解,一.微积分问题的解析解 二.函数的级数展开与级数求和问题求 解 三.数值微分 四.数值积分问题 五.曲线积分与曲面积分的计算,一微积分问题的求解,1. 极限问题的解析解 (1). 单变量函数的极限 调用格式: L=limit(fun , x, x0) 求极限 L=limit(fun , x, x0, left 或right) 求单边极限 注: 在求解之前应申明自变量,再定义极限表达式fun, 若x0为无穷,则可以用 inf 直接表示. 如果需要求解左右极限问题还需要给出左右选项.,(2). 多变量函数的极限 多元函数的极限也可以同样用Matlab中的limit( )函数

2、求解. 假设有二元函数,要求其二重极限,可嵌套使用limit( )函数. L=limit(limit(f, x, x0),y, y0) 或 L=limit(limit(f, y, y0),x, x0) 注:如果x0 , y0不是确定的值,而是另一个变量的函数,则上述极限的位置不能改变.,2.函数导数的解析解,(1). 函数的导数和高阶导数 函数调用格式: Y=diff(fun , x) 求导数 Y=diff(fun , x, n) 求n阶导数 注: fun 为给定函数,x 为自变量, 这两个变量应该为符号型的,n 为导数的阶次. 若省略n 则自动求取一阶导数.,(2). 多元函数的偏导数,Ma

3、tlab的符号运算箱中并未提供求取偏导数的专门函数,这些偏导数仍然可以通过diff( )函数直接实现. f=diff(diff(f , x, m), y, n) 或 f=diff(diff(f , y, n), x, m),(3). 多元函数的Jacobi矩阵,Jacobi矩阵在图像处理, 机器人等诸多领域中均是很有用的矩阵,可以由Matlab中的符号运算箱中的jacobian( )函数直接求得. 函数调用格式: G=jacobian(y, x) 注：其中是自变量构成的向量，是由各个函数构成的向量,(3). 隐函数的偏导数,调用格式： （，）（，） (). 参数方程的导数 若已知参数方程（），

4、（） 则函数的调用格式为： （，）（，）,. 积分问题的解析,（）不定积分的推导 atlab 符号运算箱中提供了（） 函数，可以用来求取符号函数的不定积分 调用格式： （，） 注：对于可积函数，atlab符号运算箱提供的（）函数可以用计算机代替繁重的手工推导，立即得到原始问题的解，而对于不可积的函数，atlab也是无能为力的。,（2）定积分与无穷积分计算,有些函数不定积分可能不存在，但在实际应用中需要求取它的具体定积分值或无穷积分的值。例如：erf（x）函数。在Matlab语言中仍然可以使用 int（）函数来求解定积分或无穷积分问题，其调用格式为： I= int (f, x, a , b )

5、注：x为自变量，（a，b）为定积分的积分区间，求解无穷积分时，允许将a，b设置成-inf 或 inf。如果得到的结果不是确切的数值，还可以用vpa（）函数得出定积分的解,（3）多重积分问题的Matlab求解,多重积分问题也可在Matlab语言环境下直接求解，但需要根据实际情况去选择积分顺序，可积的部分作为内积分，然后再处理外积分。每步积分均采用int（）函数处理，如果交换积分次序后仍不能基础解析解，则说明原积分问题没有解析解，而需要数值方法求解原始的积分问题,二函数的级数展开与级数求和问题求解,一 Taylor幂级数展开 （1）单变量函数的Taylor幂级数展开 函数 调用格式： taylor

6、（f，x，k） 按x=0进行Taylor幂级数展开 taylor（f，x，k，a）按x=a进行Taylor幂级数展开 注： f为函数的符号表达式，x为自变量，若函数只有一个自变量，则x可以省略。K为需要展开的项数，默认值为6项。还可以给出a参数，表明需要获得关于x=a 的幂级数展开。,（1）多变量函数的Taylor幂级数展开,Matlab的符号运算工具箱并未提供计算多变量函数Taylor幂级数展开的直接函数，但可以用Matlab基本的语句计算该展开。另外，可以调用Maple语言中的mtaylor（）函数来直接求取多变量函数Taylor幂级数展开，其调用格式为： F=maple（mtaylor，

7、f，x1,.,xn, k） 原点展开 F=maple（mtaylor，f，x1=a1,.,xn=an, k）在 （a1，.,an）点展开 注：其中k-1为展开的最高阶次，f为原多变量函数，该函数调用时自变量的引号不能省略，该地调用格式将原封不动将这些信息传递给Maple语言。,（2）Fourier级数展开,Matlab和Maple语言均未提供求解Fourier系数与级数的现成函数。但不难编写出其求解函数： function A,B,F=fseries(f,x,n,a,b) if nargin=3,a=-pi; b=pi; end L=(b-a)/2; if a+b,f=subs(f,x,x+L

8、+a);end A=int(f,x,-L,L)/L; B= ; F=A/2; for i=1:n an=int(f*cos(i*pi*x/L),x,-L,L)/L; bn=int(f*sin(i*pi*x/L),x,-L,L)/L; A=A,an; B=B,bn; F=F+an*cos(i*pi*x/L)+bn*sin(i*pi*x/L); end if a+b, F=subs(F,x,x-L-a);end,该函数的调用格式为： A，B，F=fseries（f，x，n，a，b） 注：其中 f 为给定函数，x为自变量，n为展开项数，a，b为x 的区间，可以省略取其默认值为-pi，pi，得出的A

9、，B为Fourier系数，F为展开式。 当然，仿照上述函数不难写出其数值版。,（3）级数求和的计算,符号运算工具箱提供的symsum（）函数可以用于已知通项的有穷或无穷级数的求和。该函数的调用格式为： S=symsum（ fk ，k，k0，kn） 注：其中fk 为级数的通项，k为级数自变量， k0，kn为级数求和的起始项和终止项并可以将起始项和终止项设置成无穷量inf。,三 数值微分,前面介绍了已知原型函数，可以通过diff( )函数求取各阶导数解析解的方法，并可得出结论：高达100阶的导数可以用Matlab语言在几秒钟的时间内直接求出。应该指出，前面介绍的解析方法的前提是原型函数为已知的。如

10、果函数表达式未知，只有实验数据，在实际应用中经常也有求导的要求，这样的问题就不能用前面的方法获得问题的解析解。要求解这样的问题，需要引入数值算法得到所需问题的解。由于在Matlab语言中没有现成的数值微分函数，所以，我们介绍较好算法的Matlab 实现。,1 中心差分方法及其Matlab实现,调用函数为： dy，dx=diff_ctr(y,dt, n) 注：y为给定的等间距的实测数据构成的向量，dt为自变量的间距，n为所需导数阶次。向量dy为得出的导数向量，dx 为相应的自变量向量。注意这两个向量的长度比y短。,2 二元函数的梯度计算,如果给定二元函数的函数值矩阵z，其中z 为网格数据，则可以

11、由gradient（）函数求取二元函数的梯度。其调用格式为： fx，fy= gradient（z） 注：其实这样算出来的fx，fy不是真正的梯度。这里尚未考虑x，y坐标的情况。如果得到的z矩阵建立在等间距的形式生成网格基础上的，则实际的梯度值可以如下求出： fx= fx /dx， fy= fy/dy 这里dx，dy分别为x，y生成网格的步距。,四 数值积分问题,由给定数据进行梯形求积 假设已建立起向量x，y则可用下面的语句得出积分值： sum(2*y(1:end-1:)+diff(y).*diff(x)/2 Matlab提供的trapz（）函数也可以直接用梯形法求解积分问题，该函数调用格式为：

12、 S=trapz（x，y） 其中，x可为行向量或列向量，y的行数应该等于x向量的元素数。如果y由多列矩阵给出，则该函数可以得出若干个函数的积分值。,2 单变量数值积分问题求解,单变量函数的数值积分还可以采用一般数值分析中介绍的其他算法求解。例如：采用Simpson方法。基于此算法，采用自适应变步长方法给出了 quad（）函数来求取定积分，该函数的调用格式为： y=quad（Fun，a，b） 求定积分 y=quad（Fun，a，b，usilon） 限定精度 注：Fun为描述被积函数的字符串变量，可以是一个Fun.m函数文件名，该函数的一般格式为y=fun(x),还可以用inline（）函数直接定义。a，b分别为定积分的上 下限，usilon为用户指定的误差限。,2 双重积分问题的数值解,调用函数格式： y=dblquad(Fun, xm,xM, ym,yM) 矩形区域重积分 y=dblquad(Fun, xm,xM, ym,yM，usilon) 限定精度的双重积分 注意：本函数不允许返回被积函数调用次数，故用户可以自己在被积函数中设置一个计数器，从而测出调用次数。,4 三重积分的