浙江专版高中数学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率学案新人教A版必修

1、3.13.1.1倾斜角和倾斜角预习教科书P8285，考虑以下问题并完成1 .直线倾斜角的定义是什么？2 .直线的倾斜角范围是什么？3 .直线斜率的修正公式是怎样的？1 .直线的倾斜角(1)倾斜角的定义：直线l和x轴相交时，以x轴为基准，x轴的正方向和直线l的上方所成的角称为直线l的倾斜角，如图所示，直线l的倾斜角为APx，直线l的倾斜角为BPx。(2)倾斜角范围：直线倾斜角的可取值的范围规定为0180，与x轴平行或重叠的直线的倾斜角规定为0 .(1)倾斜角定义包括三个条件x轴正方向直线向上的方向小于180的非负角(2)平面正交坐标系的各直线具有确定的倾斜角，并且是倾斜角相同程度的直线，其倾斜角

2、相等倾斜程度不同的直线，倾斜角不相等2 .直线的倾斜度(1)倾斜度的定义：一条直线的倾斜角的正切值称为该直线的斜率。如果用小写字母k表示，则k=tan_。(2)斜率公式：当通过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k=.x1=x2时，直线P1P2没有斜率。(3)倾斜作用：用实数反映了平面正交坐标系内直线的倾斜程度一心直线都有倾斜角，但并非所有的直线都有倾斜。 当倾斜角为90时，没有直线的倾斜度，此时直线与x轴垂直(平行于y轴或与y轴重叠)。地址1 .判断下面的命题是否正确。(1)任何一条直线均有倾斜角，均有倾斜()(2)倾斜角135的直线的倾斜度为1 ()(3

3、)当设一条直线的倾斜角为时，其倾斜角为k=tan ()(4)直线坡度的可取值的范围为(-，) () )回答： 1、2、3、42 .直线l通过原点和(-1，1 )时，其倾斜角为()A.45 B.135C.45或135 D.-45解析：选择b构成直线l，如图所示，应该从图中容易理解，选择b。3 .当直线l的倾斜角为30时，直线l的倾斜度为()甲骨文。一级方程式。从题意可以看出，选择a的直线l的斜率k=tan 30=。直线的倾斜角直线l通过原点，其倾斜角为，直线l围绕坐标原点向逆时针方向旋转45周得到直线l1时，直线l1的倾斜角为()- 135战斗机C.135- D. 45或-135从倾斜角的可取值

4、的范围可知，仅在0 45180(0180 )，即0135时，l1的倾斜角为 45 .0。答案d求直线倾斜角的方法和两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如垂直角三角形)求角(2)2点注意：直线与x轴平行或重叠时，倾斜角为0，直线与x轴垂直时，倾斜角为90。注意直线倾斜角的取值范围为0180活用如果知道直线l通过第二和第四象限，则直线l的倾斜角可以取的范围为()A.090 B.90180C.90180 D.0180分析：所选c直线的倾斜角的可取值的范围为0180，并且直线l通过第二、四象限，因此直线l的倾斜角的可取值的范围为90180 .直线的倾斜度典型例有通过以下两点的直线的倾斜度吗？

5、 在存在情况下，求出其倾斜度，决定直线的倾斜角.(1) a (2，3，3 )、b (4，5 )；(2) c (-2，3，3 )和D(2，-1) :(3) p (-3，1，1 )和q (-3，10 )。解 (1)存在于直线AB的斜率kAB=1，即tan =1，另外因为0180，所以倾斜角=45。(2) .直线CD的斜率kCD=-1，即存在tan =-1，另外因为0180，所以倾斜角=135。(3)因为不存在. xP=xQ=-3，所以不存在直线PQ的倾斜，倾斜角=90。(1)使用倾斜式求直线的倾斜时应注意的事项运用公式的前提条件为“x1x2”，即直线不垂直于x轴。 这是因为，直线与x轴垂直时，不存

6、在倾斜斜率的式子与两点P1、P2的优先位次无关，即式子中的x1和x2、y1和y2能够将位置调换到云同步。(2)应该记住在0180范围内的一些特殊角的正切值倾斜角0304560120135150斜率k01-1-活用1 .直线通过点(0，2 )和点(3，0 )时，其斜率为()甲骨文。C.- D.-分析：选择c梯度k=-.2 .求出已知坐标平面内ABC的三个顶点的坐标分别为a (-1，1 )、b (1，1 )、C(1，-1)的直线AB、BC、AC的斜率。解：已知点的坐标可以用代入两点的直线的斜率式求出斜率，但首先应该验证两点的横坐标是否相等. kAB=0，kAC=-1b、c两点的横轴相等，不存在直线

7、BC的斜率。直线的倾斜角、倾斜的应用问题1 :三点共线问题1 .如果a、B(4，-1)、C(-4，-m )这三个点在同一直线上，则尝试常数m的值。解：因为a、b、c三点所在的直线不与x轴垂直，所以直线AB、BC的倾斜度可以分别设为kAB、kBC。从倾斜式中kAB=、kBC=。点a、b、c在同一直线上，kAB=kBC。即m2-3m-12=0，求解m1=，m2=.m的值为或要用斜率式解决三点共线的问题，首先，三点中任意两点的线垂直于x轴，估计有木有，任意两点的线垂直于x轴，超过相同点，则成为三点共线。 否则，证明存在直线的倾斜，超过同一点的两直线的倾斜相等。问题2 :求尺数形结合倾斜角或倾斜的范围

8、2 .直线l通过点p (1，0 )，并且与以a (2，1 )、B(0，)为端点的线段有共通点，求出直线l的倾斜和倾斜角的范围。解：如图所示kAP=1，kBP=-，k-(-) 1，)，45120。(1)从倾斜角(或范围)求出斜率(或范围)利用定义式k=tan (90 )而解决.(2)根据2点坐标求斜率用2点斜率公式k=(x1x2)求出。(3)使用关于直线和线段的升交点有问题的定数形结合式来解决。一级的学业水平达到了1 .直线x=1的倾斜角和倾斜分别为()a.45、1b.135、-1C.90、D.180不存在，也不存在分析：因为选择c作成图像，所以c是正确的2 .说法如下：为直线l的倾斜角时，01

9、80如果k是直线的斜率，则k-r；每条直线都有倾斜角，但不一定倾斜每条直线都有倾斜，但不一定有倾斜。 其中正确的个数是()甲级联赛C.3 D.4机动战士分析：选择c明显正确，错误3 .如果已知直线通过点a (-2，0 )、b (-5，3 )，则该直线的倾斜角为()A.150 B.135C.75 D.45分析：选择b -直线通过点a (-2，0，0 )、b (-5，3，3 )，其倾斜度k=-1。将其倾斜角设为(0180 )，tan =-1，=135。4 .如果通过点A(4，y )、B(2，-3)的直线的倾斜角为45，则y=()A.- BC.-1 D.1战斗机分析：选择C tan 45=kAB=，

10、即=1，使y=-1。5 .如果已知直线l穿过点a (1，2 )并且不穿过第四象限，则直线l的斜率k可以取的范围为()a.(-1，0 ) b. 0，1 c .一，二，d .零，二分析：从图中可以看出，由于选择d在直线位于图的阴影部分表示的区域内时满足题意，因此直线l的倾斜度满足0k2。6 .如图所示，可知直线l1的倾斜角为150度，l2l1度，垂足为B.l1、l2度，x轴分别在点c、a、l3平分BAC时，l3的倾斜角为分析：因为直线l1的倾斜角为150，所以BCA=30，l3的倾斜角为(90-30)=30。回答： 30当知道入射光线的倾斜角1=30时，反射光线的倾斜角2=_分析：入射光线和反射光

11、线如图所示，由于入射光线倾斜角1=30，所以入射角相等于入射角，另外由于反射角相等于入射角，所以反射光线的倾斜角为60 60 30=150 .回答： 1508 .已知点A(2，-1)在坐标轴上存在一点p，设直线PA的倾斜角为45，则点p的坐标成为分析：为了从x轴上的点P(m，0 )或y轴上的点P(0，n).kpa=1得到=1，得到m=3，n=-3，将点p的坐标设为(3)答案： (3，0 )或(0，-3)9 .已知a (m，-m 3)、B(2，m-1 )、c (-1，4 )，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求出m的值。解：存在题意直线AC的倾斜，即m1。KAC=、kBC=。=3。整理：-

12、m-1=(m-5)(m 1)、即(m 1)(m-4)=0，m=4或m=-1 (截断)。m=4。10 .求出通过已知的2点a (-3，4 )、b (3，2 )、点P(2，-1)的直线l和线段AB具有共同点的、直线l的斜率k的可取值的范围。解：直线l和线段AB有共同点，直线l的倾斜角在直线PB和PA的倾斜角之间。 l的倾斜角小于90时，为kkPB。 l的倾斜角大于90时，为kkPAkPA=-1，kPB=3，直线l的斜率k的可取值的范围为(-、-13，)。二级的考试能力已经达到了1 .在平面正交坐标系中，正三角形ABC的BC边所处的直线的倾斜度为0，AC、AB边所处的直线的倾斜度之和为()A.-2

13、B.0日本职业足球联赛分析：由于选择b知道BC边所处的直线的倾斜度为0，直线BC与x轴平行，所以直线AC、AB的倾斜度相互为补角，根据直线倾斜度的定义，直线AC、AB的倾斜度之和为0。2 .如果知道通过点P(3，m )和点Q(m，-2)的直线的斜率等于2，则m的值为()A.-1 B.1二维空间。分析：选择d根据直线的倾斜公式，=2，m=。3 .如图所示，如果直线l1、l2、l3的倾斜度分别为k1、k2、k3()A.k1k2k3 B.k3k1k2C.k3k2k1 D.k1k3k2分析：选择d直线l2、l3的倾斜角为锐角，直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，0k3k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜

14、率k10，k1k3k2。4 .点P(x，y )在以a (-3，1，1 )、b (-1，0，0 )、c (-2，0，0 )为顶点的ABC内部运动(不包括边界)；甲骨文。C. D分析：如果根据已知条件得知选择d的点P(x，y )是由点a、b、c包围的ABC内动点，则求出的几何意义是过动点P(x，y )和定点m (1，2 )的直线的倾斜度.5 .如果是a (2，2 )、B(a，0 )、C(0，b)(ab0 )的三点共线，则的值为分析： a、b、c三点共线，kAB=kAC，即=。2(a b)=ab、=、=。答案：6 .如果三点a (3，1 )、B(-2，k )和c (8，1 )能够构成三角形，则实数k的可取值的范围是解析： kAB=、kAC=0。为了使a、b、c三点能够构成三角形，需要三点的不共线也就是说，kABkAC，0.k1。回答(-，1)(1，)假设A(x1，y1)、B(x2，y2)和C(x3，y3)是函数y=x3的图像上的任何三个不同点证明： a、b、c有三个不同点x1、x2、x3不相等。a、b、c三点共线，kAB=kAC，即=，=，整理后得到x x1x2 x=x x1x3 x，即，(x2-x3)(x1 x2 x3)=0。x2x3，x1 x