走向高考数学2011第1篇1-3

1、1,第三讲 函数的性质,重点难点 重点：函数的单调性与奇偶性定义； 复合函数单调性； 奇偶函数图象的对称特征； 函数的单调性与最值 难点：用单调性定义证明函数的单调性； 奇偶性、单调性的应用,2,知识归纳 一、函数的单调性 1单调性定义：设函数f(x)的定义域为A，区间DA，若对于任意的x1、x2D，当x1f(x2)，则f(x)为区间D上的 减 函数 2证明函数单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以用导数证明 (1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是： 任取x1、x2D，且x1x2； 作差f(x1)f(x2)，并适当变形(“分解因式”等)； 依据差式的符号确定其增减性,3,(2)

2、设函数yf(x)在某区间内可导 如果f (x)0，则f(x)为增函数；如果f (x)0，则f(x)为减函数(注意：个别导数值为0的点不影响函数的单调性) 3单调性的有关结论 (1)若f(x)、g(x)均为增(减)函数，则f(x)g(x)仍为增(减)函数 (2)若f(x)为增(减)函数，则f(x)为减(增)函数 (3)互为反函数的两个函数有相同的单调性,4,(4)yfg(x)是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数fg(x)为 增 函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数fg(x)为 减 函数 (5)奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性 相同 ；偶函数在

3、关于原点对称的两个区间上的单调性 相反 ,5,4函数的最大(小)值 (1)定义：一般地，设函数yf(x)定义域为，如果存在实数M满足： 对任意x，都有f(x)M(或f(x)M)； 存在x0使得f(x0)M. 称M是函数yf(x)的最大(或最小)值 (2)求法： 配方法，判别式法，基本不等式法，换元法，数形结合法，单调性法，导数法,6,二、函数的奇偶性 1奇偶性的定义 设函数yf(x)的定义域为D，若对D内的任意一个x，都有xD，且f(x) f(x) (或f(x) f(x) )成立，则称f(x)为奇函数(或偶函数) 2关于奇偶性的结论与注意事项 (1)函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函

4、数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件(2)函数按奇偶性分类可分为：是奇函数不是偶函数、是偶函数不是奇函数、既是奇函数也是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数,7,(3)如果一个奇函数f(x)在x0处有定义，那么f(0)0；如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则其值域为0，但逆命题不成立若f(x)为偶函数，则恒有f(x)f(|x|) (4)奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称 (5)两个奇(偶)函数之和、差为奇(偶)函数；两个奇(偶)函数之积、商是偶函数；一个奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数(以上函数都不包括值恒为0的函

5、数),8,3判别函数奇偶性的方法 (1)定义法：第一步先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数 第二步直接或间接利用奇偶函数的定义来判断 即若有：f(x)f(x)(或f(x)f(x)0，f(x)f(x)2f(x)，f(x)f(x)f 2(x)，f(x)/f(x)1)，则f(x)为奇函数 若有f(x)f(x)(或f(x)f(x)0，f(x)f(x)2f(x)，f(x)f(x)f 2(x)，f(x)/f(x)1)，则f(x)为偶函数 (2)图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断 (3)复合函数奇偶性的判断 若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依若干个函数的奇偶性

6、而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”,9,4函数奇偶性的应用 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式 抓住奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式 (2)已知带有字母系数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法，由f(x)f(x)0产生关于x的恒等式，利用对应项系数相等或赋值法求得字母的值,10,三、函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x值，都满足f(xT) f(x) ，那么函数f(x)叫做周期函数T叫做这个函数的一个周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这

7、个最小正数叫做它的最小正周期 (2)一般我们提到函数的周期是多少，指的是最小正周期；如果T是f(x)的周期，则kT(kN*)也是该函数的周期；周期函数不一定有最小正周期,11,误区警示 1对于函数单调性定义的理解，要注意以下三点 (1)函数的单调性是对某一个区间而言的例如，函数f(x)在区间(1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(1,0)(0,1)上却不一定是减函数如函数f(x) . (2)单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的x1，x2在这一区间上具有任意性 证明f(x)在区间A上的单调性时，x1、x2必须是A上的任意两个值，而要否定f(x)在区间A上具有某种单调性时，可取

8、两个特殊值说明,12,(3)f(x)在区间A上单调递增，则x1、x2A，x1f(x2) 2在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域 3判断函数奇偶性时首先要看其定义域是否关于原点对称,13,一、方程的思想 运用方程观点看待问题，就是将问题转化为方程问题来解决，或者通过构造方程来达到解题的目的 例1已知函数yf(x)是奇函数，yg(x)是偶函数，且对于定义域内的任一x都有f(x)g(x)x22x，求f(x)与g(x)的解析式 分析：利用函数的性质再得到一个关于f(x)与g(x)的等式，然后把f(x)，g(x)看作未知量，利用方程的观点求解f(x)，g(x),14,解析：用x代替x得 f(x)g

9、(x)(x)22x yf(x)为奇函数，yg(x)为偶函数 f(x)g(x)x22x 它与f(x)g(x)x22x联立得 f(x)2x，g(x)x2.,15,二、利用复合函数的单调性解题 对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数，那么函数yfg(x)在区间(a，b)上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域. 用定义证函数的单调性时，主要用作差法,16,例2是否存在实数a，使函数f(x)loga(ax2x)在区间2,4上是增函数？如果存在，说明a可取哪些值；如果不存在

10、，请说明理由 分析：假设存在实数a，分a1,01时，为使函数yf(x)loga(ax2x)在闭区间2,4上是增函数，只需g(x)ax2x在2,4上是增函数，,17,18,三、解题技巧 1关于函数的恒等式问题 奇偶性与周期性的定义式都是恒等式 例3已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为() A1B0C1 D2 分析：f(x2)f(x)是一个恒等式，f(x)f(x)也是一个恒等式,求f(6)须利用上面两个恒等式对x赋值获得 解析：f(x)是奇函数，f(x)f(x)， f(0)f(0)，f(0)0， 又f(x2)f(x)恒成立， f(2)f(0)0，f(4)f(22)

11、f(2)0，f(6)f(42)f(4)0.故选B.,19,2遇到f(a)与f(a)的值或关系问题一般从奇偶性入手探索,20,21,3对于一般函数的性质讨论的选择题常用特例法求解 例5已知f(x)是R上的增函数，令F(x)f(1x)f(3x)，则F(x)是R上的() A增函数B减函数 C先减后增函数 D先增后减函数 解析：用特例法，不妨设f(x)x，则F(x)1x(3x)，即F(x)2x2，显然F(x)在R上为减函数，故选B.,22,例1已知函数 ，求函数f(x)的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性 解析：由 ，解得1x1，且x0. 函数的定义域为(1,0)(0,1) f(x)的定义域为(1,0)

12、(0,1)关于原点对称，对x(1,0)(0,1)，有,23,f(x)为奇函数 下面研究f(x)在(0,1)上的单调性，任取x1、x2(0,1)，且x1x2. 则f(x1)f(x2),24,25,(1x20,1x10，(1x2)(1x1)1x1x2x1x20) f(x1)f(x2)0，即f(x)在(0,1)上单调递减 由于f(x)为奇函数， f(x)在(1,0)也是减函数.,例2求下列函数的单调区间，并确定在每一单调区间上的单调性 (1)y|x|(1x) (3)ylog2(6x2x2) 解析：(1)f(x)|x|(1x) ，可得函数f(x)在区间(，0及 ，)上为减函数，在区间0， 上为增函数,

13、26,27,28,函数f(x) 的单调递增区间为() 解析：y 在定义域上单调递增，而yxx2在，上单调递增， 由xx20得0 x1，单调递增区间为 .,29,例3已知定义域为(1,1)的奇函数yf(x)又是减函数，且f(a3)f(9a2)0，则a的取值范围是() 解析：由条件得f(a3)f(a29)，f(x)在(1,1)上单 调递减， ，a(2，3)故选A.,30,(09辽宁)已知偶函数f(x)在区间0，)上单调增加，则满足f(2x1)f 的x取值范围是(),31,答案：A,32,33,已知函数f(x) x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，则实数m的取值范围是(),34,解析：因为函

14、数f(x) x42x33m，所以f (x)2x36x2.令f (x)0得x0或x3，经检验知x3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)3m .不等式f(x)90恒成立，即f(x)9恒成立，所以3m 9，解得m .故选A.,答案：A,例5已知函数f(x)的定义域是(0，)，当x1时，f(x)0，且f(xy)f(x)f(y) (1)求f(1)； (2)证明f(x)在定义域上是增函数； (3)如果f( )1，求满足不等式f(x)f( )2的x的取值范围,35,分析：因为对任意x，y(0，)都有f(xy)f(x)f(y)，故(1)可用赋值法解决； 对于(2)，要证明f(x)单调递增，用定义须

15、证明x1x2时，f(x1)f(x2)，应充分注意到x1时，f(x)0这一条件来构造 f(x1)f(x2)，还可以借助(1)的结论讨论； 对于(3)，欲化去函数符号“f”须应用单调性，故应把不等式两端变形为f(x1)f(x2)的形式关键是利用已知条件f 1把2化为函数值的形式,36,解析：(1)令xy1，得f(1)2f(1)，故f(1)0. (2)令y ，得f(1)f(x)f( )0，故f( )f(x)任取x1，x2(0，)，且x11，故f( )0，从而f(x2)f(x1) f(x)在(0，)上是增函数,37,38,例6设函数f(x)ax(a1)ln(x1)，其中a1.求f(x)的单调区间 解析

16、：由已知得函数f(x)的定义域为(1，)，且f(x) (a1)， (1)当1a0时，f(x)0时，由f(x)0，解得x . f(x)、f(x)随x的变化情况如下表：,39,40,41,42,解析：(1)由 0，得定义域为1,1)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数,43,(3)当x0，则 f(x)(x)2(x)x2xf(x) 当x0时，x0则 f(x)(x)2(x)x2xf(x) 对任意x(，0)(0，) 都有f(x)f(x)，故f(x)为偶函数 另解：1画函数f(x) 的图象图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数 2f(x)还可写成f(x)x2|x|故为偶函数,44,45,(5)函数f(

17、x)的定义域为R 当a0时f(x)f(x) f(x)是偶函数 当a0时f(a)a22，f(a)a22|a|2 f(a)f(a)且f(a)f(a)2(a2|a|2) 2(|a| )2 0 f(x)是非奇非偶函数,46,总结评述：第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断；第三，利用定义进行等价变形判断第四，分段函数应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数表达式或利用图象判断,47,定义在实数集上的函数f(x)，对任意x、yR，有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f

18、(0)0. (1)求证：f(0)1； (2)求证：yf(x)是偶函数 分析：判断函数奇偶性即判断f(x)与f(x)之间的关系，若令x0，则可得f(y)f(y)2f(0)f(y)，只要求出f(0)即可得f(y)与f(y)的关系，即f(x)与f(x)的关系，为了得到f(0)可令xy0. 解析：(1)令xy0，则有 2f(0)2f 2(0)，f(0)0，f(0)1. (2)令x0，则有f(y)f(y)2f(0)f(y) 2f(y)，f(y)f(y)，这说明f(x)为偶函数.,48,例8已知函数f(x) 是定义在实数集上的奇函数，求a的值 解析：如果用定义f(x)f(x)去求较为繁锁由于定义域包含0，

19、由f(0)0得， 0，a1.,49,(文)设函数f(x)(x1)(xa)为偶函数，则a_. (理)设函数f(x) 为奇函数，则a_. 解析：(文)1在函数定义域内，由条件知f(1)f(1)，02(1a)，a1. (理)1在函数定义域内，由条件知f(1)f(1)，02(1a)，a1. 答案：1,50,例9规定记号“*”表示一种运算，即a*b ab，a、b是正实数，已知1*k=3. (1)正实数k的值为 ； (2)函数f(x)k*x的值域是_ 分析：关键是理解a*b的含义，第(1)问转化成解方程，第二问转化成求一个函数的值域问题,51,解析：(1)1*k= 1k3，解得k1； (2)f(x)k*x

20、1*x= 1x ， 0，f(x)1. 答案：1(1，),52,例10(文)f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数f(2)0，则函数yf(x)在区间(0,6)内的零点至少有() A2个 B3个 C4个 D5个 解析：f(x)为奇函数，f(2)0，f(2)0， f(x)以3为周期， f(1)f(2)0，f(1)f(2)0，f(4)f(1)0，f(5)f(2)0. 另外，f(0)0，f(3)0， 在区间(0,6)内至少有5个零点故选D.,53,(理)函数yf(x)(x0)是奇函数，且当x(0，)时是增函数，若f(1)0，求不等式fx(x )0的解集 解析：f(1)0，不等式可转化为fx(x )f(

21、1)，f(x)在(0，)上递增，0x(x )1， x 或 x0. 又因为f(x)是奇函数，它在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，且f(1)f(1)0， 于是得fx(x )f(1)，即有 x(x )1，x. 原不等式的解集是x| x 或 x0,54,总结评述：解答本题易出现如下思维障碍： (1)无从下手，不知如何脱掉“f”解决办法：含函数记号“f”的不等式，一般都是利用函数的单调性 (2)无法得到另一个不等式解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反，提到奇偶性，通常要分类讨论 (3)错误得到不等式x(x )1.解决办法：注意函数定义域对x的限制,55,(文)

22、已知yf(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(0，)上是增函数，如果x10，且|x1|0 Bf(x1)f(x2)0 Df(x1)f(x2)0，|x1|x2|0x1x2 又f(x)是(0，)上的增函数，f(x1)f(x2) 又f(x)为定义在R上的偶函数，f(x1)f(x2) f(x1)f(x2)0.选D. 答案：D,56,(理)已知对任意实数x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且x0时，f (x)0，g(x)0，则x0，g(x)0Bf (x)0，g(x)0Df (x)0；g(x)是偶函数，在(0，)上是增函数，故在(，0)上是减函数，即在x0时，g(x)0，选B. 答案：B,57,一

23、、选择题 1下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是() Ayx3，xRBysinx，xR Cyx，xR Dy ，xR 答案A 解析根据函数是奇函数否定D，减函数否定B、C.故选A.B在其定义域内是奇函数但不是减函数；C 在其定义域内既是奇函数又是增函数；D在其定义域内不是奇函数，是减函数选A.,58,2(文)若函数f(x) ，则该函数在(，)上是() A单调递减无最小值B单调递减有最小值 C单调递增无最大值D单调递增有最大值 答案A 解析由于y2x为增函数，因此y2x1也为增函数，所以y 为减函数，又2x0，y 无最小值，故选A.,59,(理)若函数f(x)loga(2x2x)(a0

24、，a1)在区间(0， )内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为() A(， ) B( ，) C(0，) D(， ) 答案D 解析由于u2x2x在(0， )上为增函数，且u(0,1)，又知f(x)0，0a1，故f(x)loga(2x2x)的增区间为(， )，故选D.,60,3(文)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x的取值范围是 () A(，2) B(2,2) C(2，) D(，2)(2，) 答案B,61,解析由题意知f(2)f(2)0，当x(2,0)时，f(x)f(2)0，由对称性知，x0,2)时，f(x)为增函数，f(x)f(2)0，故x(2,2)时，f(x)0，因此选B. 点评可用数形结合法求解由题意画出示意图如图所示可知选B.,62,(理)定义在R上的偶函数f(x)在0，)上是增函数，若f( )0，则适合不等式f( )0的x的取值范围是 () A(3，) B(0， ) C(0，) D(0， )(3，) 答案D,63,4定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期若将方程f(x)0在闭区间T，T上的根的个数记为n，则n可能是() A0 B1 C3 D5 答案D 解析f(x)为奇函数，f(0)f(0)， f(0)0，0是方程f(x)0的一