2(初等模型).ppt

1、第二章 初等方法建模,需要强调的是，衡量一个模型的优劣全在于它的应用效果，而不在与采用了多么高深的数学方法.进一步说，如果对于某个实际问题我们用初等的方法和所谓高等的方法建立了两个模型，它们的应用效果相差无几，那么受到人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者.,初等模型是指可以用初等数学的方法来构造和求解的模型很多实际问题使用初等数学里面的不等式关系、比例关系、多项式方程等工具就可以达到研究的目的了.,2.1 类比法建模,类比法是依据两个对象的已知的相似性，把其中 一个对象的已知的特殊性质迁移到另一对象上去， 从而获得另一个对象的性质的一种方法,问题：四足动物的躯干与其体重之间有什么关系？ 此问题

2、有一定的实际意义例如在生猪收购站， 工作人员能否从生猪的身长估计出它的体重？,例1 动物的身长和体重,解题思路对此问题如果陷入生物学复杂的生理结构的研究，将会得出太复杂的模型，而失去实用价值在这里我们用类比方法借助于弹性力学的结果，建立一个粗略的模型,建立模型把四足动物的躯干视为圆柱体，长度为l，直径为d，底面积为s如图现将此圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，以便利用弹性力学的研究结果,设动物在自身体重 f 作用下，躯干的最大下垂度为b,也即是梁的最大弯曲度。,由弹性力学的研究结果：,即体重与体积成正比，故,而,因b/l是动物躯干的相对下垂度， b/l太大，四肢将无法支撑；太小，无疑

3、是一种浪费生物学上认为，经过长期的进化，对于每一种动物而言，已经达到一个最合适的数值，即可设其为常数,从而 l3/d2 也为常数于是,结论 动物的体重与躯干长度的4次方成正比当然，比例系数与动物的种类有关,评注 (1)类比法是建模中常用的一种方法在这个模型中将动物躯干类比作弹性梁实属一个大胆的假设，其可信程度自然应该用实际数据仔细检验. 但是这种充分发挥想象力，把动物躯干长度与体重的关系这样一个看来无从下手的问题，转化为已经有确切研究成果的弹性梁在自重下挠曲问题的作法，是值得借鉴的,(2)使用该模型时，要注意其条件在建立此模型时，我们是把四足动物的躯干视为圆柱体的，也就是说，对于躯干太不近似圆

4、柱体的四足动物，该模型就不适用了，比如乌龟,2.2 函数与比例关系建模,在一些实际问题中有一些量具有明显的比例关系， 利用这些比例关系可以建立各个变量之间的函数关系， 从而可建立数学模型。,问题：在超市购物时你注意到大包装商品比小包装 商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g装的每支 1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格 比是1.2:1，试构造数学模型解释这种现象。,例2 商品包装问题,模型假设,1.商品的生产和包装的工作效率固定不变； 2.商品包装成本只与装包、封包的劳力投入、包装材料成本有关； 3.商品包装的形状、大小相似，不同大小的包装材料一致.,简化实际问题，明确模

5、型分析的实际对象,问题分析 建立单位重量价格c与货物重量w的函数关系,模型构造,设 a = 生产一件（包、罐）产品的成本； b = 包装一件产品的成本； b1 = 劳力成本，b2 = 材料成本； w = 每件产品包装的货物量.,根据假设1，我们有 a = k1 w；,装包的劳力投入也与w成正比；封包的劳力投入对不 同的包装规格大抵相同：,b1=k2w+k3,模型构造,设 a = 生产一件（包、罐）产品的成本； b = 包装一件产品的成本； b1 = 劳力成本，b2 = 材料成本； w = 每件产品包装的货物量。,由假设3，b2与货物的表面积S有关.,设A是与货物包装形状有关的一个长度，则 S

6、A2，V A3, S = k4 V2/3,因此，b2 = k5 w2/3,b=b1 + b2 = kw+k5 w2/3+k3,a = k1 w,n 、p、q均为正数.,单位成本,模型应用分析,是不是包装越大越好？下面考虑单位货物量成本随货 物增加的下降速率：,这是一个减函数，说明单位货物量的成本随货物量增 加而降低的速率越来越慢,购买小包装的商品不合算，购买特大包装的商品也不 合算！,从模型能看出，包装增大则单位货物量的成本变小.,在寒冷的北方，许多住房的玻璃窗都是双层 玻璃的，并且两层玻璃之间还留有一定的空 隙，其作用是减少热量的流失。现在我们来 建立一个简单的数学模型，研究一下双层玻 璃到

7、底有多大的功效比较两座其他条件完 全相同的房屋，它们的差异仅仅在窗户不同,例3 双层玻璃窗的功效,问题,双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失,假设,热量传播只有传导，没有对流,T1,T2不变，热传导过程处于稳态,材料均匀，热传导系数为常数,建模,热传导定律,Q 单位时间单位面积传导的热量,T温差, d材料厚度, k热传导系数,Ta,Tb,记双层玻璃窗传导的热量Q1,Ta内层玻璃的外侧温度,Tb外层玻璃的内侧温度,建模,记单层玻璃窗传导的热量Q2,双层与单层窗传导的热量之比,建模,对Q1比Q2的减少量作最保守的估计，,取k1/k2 =16,为了得到更进一步的结果，需要传导系数

8、 的值 实验数据表明，常用玻璃的热传导系数为,不流动、干燥空气的热传导系数为,比值 反映了双层玻璃窗在减少热量流失上的功 效它只与 有关。下图给出了 曲线， 当 上升时， 迅速下降；而当 到达一定值后， 下降趣缓由此可见， 不必过大,取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03,该模型具有一定的应用价值。尽管双层玻璃窗会增加 制作工艺上的成本，但它在降低热量流失上的功效是相 当可观的。通常，建筑规范要求 ，按照该 模型， ，即双层玻璃窗比同样多的玻璃材 料制成的单层玻璃窗节约热量约 左右。,结果分析,Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数 k2, 而这要求空气非常干燥、不流通。

9、,房间通过天花板、墙壁 损失的热量更多。,双层窗的功效不会如此之大,模型应用,1）双层墙的保温功效如何？,2）双层玻璃窗是否有隔音功效？,3）尽管双层玻璃窗有保温功效，但由于使用了 双层玻璃窗有一定的材料费用，试分析此费用与所节约的能源费用之间的关系,思考,三商三从 一起过河 河中一船 一船容二 商人掌权 从多杀人,例4 商人们怎样安全过河,2.3 状态转移问题,问题(智力游戏), 3名商人 3名随从,随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的

10、人员,要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.,模型构成,xk第k次渡河前此岸的商人数,yk第k次渡河前此岸的随从数,xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, ,sk=(xk , yk)过程的状态,用S 表示允许状态集合,如:,uk第k次渡船上的商人数,vk第k次渡船上的随从数,dk=(uk , vk)决策,D=(u , v) u+v=1, 2 允许决策集合,uk, vk=0,1,2; k=1,2, ,状态转移律,模型构成,k为奇数时，船由此岸到彼岸；k为偶数时，船由彼岸到此岸,状态在决策下不断转移，规律如何？,此路不通,模型求解,穷举法,1,2,3,4,5,

11、6,7,8,9,10,11,以上求解过程可简化为,结论：共有四种最佳方案，经过11次方可安全过河.,此作法可进行推广，有多名商人和随从时，利用 计算机编程来实现.,模型求解,图解法,状态s=(x,y) 16个格点,s1,sn+1,d1, ，d11给出安全渡河方案,允许状态,S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,状态转移规则： 1）第奇数次需向下或向左移动两格; 2)第偶数次需向上或向右移动一格或两格; 3）每次移动需落在可取状态上.,这里介绍的模型是一种规格化的方法，使我 们可以用计算机求解，从而具有推广意义譬 如当商人和随从数增加

12、或者小船的容量增大时 靠逻辑思维就困难了，而用这种模型则仍可方 便的求解另外，适当地设置状态和决策，并 确定状态转移律，是有效地解决很广泛的一类 问题的建模方法,评注和思考,请你思考(1) 若船的情况不变，则2名商人2个随从如何安全渡河？ (2) m名商人m个随从(m4)能否安全渡河？(3) 一般地，m个商人n个随从,mn能否安全渡河? 若能,怎样渡河?,解答：(1) (2,2)(1,1) or (2,0)(2,1)(0,1) (1,1)(0,0)(如下图),(2) m名商人m个随从(m4)无法安全渡河,如m=4时的图(如下图)，d7就无法作不重复的转移。其他情况也一样。,(3)当 x=0,m

13、时， y=0,1,2,n均可，而当 x=1,2,m-1时,此岸要求 xy ,对岸要求m-x n-y ,综合即0 x-y m-n,此时商人们必能安全渡河。若以m=4,n=3为例，则求解过程如下图所示：,阿拉伯夫妻过河问题有三对阿拉伯夫妻要过河，船最多可载两人。约束条件是根据阿拉伯法律，任一女子不得在其丈夫不在场的情况下与另外男子在一起，问此时这三对夫妻能否过河? 四对夫妻呢？,讨论题,雨滴匀速下降,空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比.建模描述雨速与雨滴质量的关系.,参考解答.,假设雨滴从具有足够高度的静止的云上落下, 雨滴在下落过程中受到两个力的作用: 竖直向下的重力Fg和竖直向上的空气阻力Fd. 由流体力学的原理知, 可设空气阻力Fd与雨滴的表面积S和下落速度v的平