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常微分方程应用举例,列微分方程的常用方法,(1) 利用物理定律列方程,(2) 利用导数的几何意义列方程,(3) 利用微元分析法列方程,例 1,有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,解,由力学知识得,水从孔口流出的流量为,因此 t,t+dt 内，流出体积为,设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至 ,比较(1)和(2)得:,可分离变量,以下求解见268页,等量关系：流出体积量体积减少量,现求体积减少量,例2 试设计一反光镜, 使它能将点光源发 出的光反射成为平行光,解,点光原位于坐标原点O,由点O发出的光线经反射都成为平行于x轴的平行光,由光的反射定律,于是有,根据导数的几何意义,得到微分方程,一阶齐次,变形为,以下求解见272页,例3.,绳索仅受,重力作用而下垂,解: 取坐标系如图.,考察最低点 A 到,( : 密度, s :弧长),弧段重力大小,按静力平衡条件, 有,故有,设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ?,任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况:,两式相除得,则得定解问题:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为,悬 链 线,解,受力分析,

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