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1、8.2 点估计的评价标准,对于同一个未知参数, 不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题,(1) 无偏性,(3) 一致性,(2) 有效性,定义 设,是总体X 的样本,是总体参数 的估计量,是总体X 的样本,证明: 不论 X 服从什么分布,证,特别地,例2 设总体 X 的期望 E( X )与方差 D( X )存在,是 X 的一个样本, n 1,(1) 不是 D( X ) 的无偏估计量;,(2) 是 D( X ) 的无偏估计量.,证,前已证,. 证明,因而,故 证毕.,X B ( n , p ) n 1 , 求 p 2 的无偏估计量.,解 由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质,

2、 只要将未知参数表示成总体矩的线性函数, 然后用样本矩作为总体矩的估计量, 这样得到的未知参数的估计量即为无偏估计量.,令,因此, p 2 的无偏估计量为,故,例4 设总体 X 的密度函数为,为常数,为 X 的一个样本,证,故,是 的无偏估计量.,令,即,故 nZ 是 的无偏估计量.,例5 设总体 X N ( , 2),为 X 的一个样本,解,故,都是总体参数 的无偏估计量, 且,是 的无偏估计量,问哪个估计量更有效？,为常数,解 ，,例7 设总体期望为 E( X )= , 方差 D( X )= 2,为总体X 的一个样本,常数,证: (1),(2),而,例如 X N( , 2 ) , ( X

3、1 ,X 2 ) 是一样本.,都是 的无偏估计量,罗克拉美（Rao Cramer） 不等式,其中 p ( x , ) 是总体 X 的概率分布或密度函数， 称为方差的下界.,当 时, 称 为达到方差下界的 无偏估计量, 此时称 为最有效的估计量, 简称 有效估计量.,例8 设总体 X 的密度函数为,为 X 的一个样本值.,求 的极大似然估计量，并判断它是否是达到 方差下界的无偏估计量.,为常数,解 由似然函数, 的极大似然估计量为,它是 的无偏估计量.,而,故 是达到方差下界的无偏估计量.,定义 设 是总体参数 的,估计量. 若对于任意的 , 当n 时, 依概,率收敛于 , 即,一致性估计量仅在样本容量 n 足够大时,才显示其优越性.,关于一致性的两个常用结论,1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.,由大数定律证明,用切贝雪夫不 等式证明,矩法得到的估计量一般为一致估计量,在一定条件下, 极大似然估计具有一致性,例9,为常数,则

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