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文档简介

1、一、不可约多项式,二、因式分解及唯一性定理,1.5 因式分解定理,因式分解与多项式系数所在数域有关,如：,（在有理数域上）,问题的引入,（在实数域上）,（在复数域上）,设 ，且 ，若,不能表示成数域 P上两个次数比 低的多项式的,Def.,乘积，则称 为数域P上的不可约多项式.,Remark, 一个多项式是否不可约依赖于系数域., 一次多项式总是不可约多项式.,一、不可约多项式, 多项式 不可约,的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍.,或, 多项式 不可约，对有,证：设 则,或,即 或,不可约. ，若,则 或,证：若 结论成立 .,若 不整除 ，则,Th. 5,不可约，,则必有某个使得,Co

2、r.,若 ，则 可,唯一地分解成数域 P上一些不可约多项式的乘积.,所谓唯一性是说，若有两个分解式,1. Th.,则 ，且适当排列因式的次序后，有,其中 是一些非零常数,二、因式分解及唯一性定理,证：对 的次数作数学归纳.,时，结论成立,下证的情形.,设对次数低于n的多项式结论成立,（一次多项式都不可约）,若 是不可约多项式.,若 不是不可约多项式，则存在,且 使,结论显然成立,由归纳假设 皆可分解成不可约多项式的积.,再证唯一性 .,可分解为一些不可约多项式的积.,都是不可约,设 有两个分解式,多项式.,对 作归纳法,若 则必有,假设不可约多项式个数为 时唯一性已证.,由(),不妨设 则,使得,(1)两边消去,由归纳假设有,即得,总可表成,对,其中为 的首项系数， 为互不相同的，,首项系数为1的不可约多项式，,的标准分解式.,称之为,2. 标准分解式：,Remark, 若已知两个多项式 的标准分解式,则可直接写出,就是那些同时在 的标准,分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带,方幂指数等于它在中所带的方幂指数,中较小的一个,E. g. 若的标准分解式分别为,则有, 虽然因式分解定理在理论有其基本重要性， 但并未给出一个具体的分解多项式的方法 实际上，对于一般的情形普通可

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