2 1.离散型随机变量的概率分布ppt课件

1、2020/7/30,2-1-1,第二章 随机变量及其分布,1 离散型随机变量的概率分布 2 随机变量的分布函数 3 连续型随机变量的概率密度 4 随机变量的函数的分布,2020/7/30,2-1-2,2 .1 离散型随机变量及其分布,随机变量的概念,离散型随机变量的概念及分布,一些常用的离散型随机变量,2020/7/30,2-1-3,一. 随机变量的概念：,例如：1.抛掷一枚硬币，可能出现正面，反面两种结果，于是 =正，反，规定：,2.某工厂产品分为一等，二等，三等，等外。于是 =一等，二等，三等，等外，若规定：,2020/7/30,2-1-4,3 .在上午 8:009:00 时间段内某路口观

2、察通过的汽 车数，可能是0，1，2，3，于是 =0，1，2， 3，规定：,4 .灯泡的寿命（单位：秒），可能的寿命t是大于等 于0,于是 =t:t0，规定：,以上四例的共同点是：对于样本空间中的每一个样 本点e均标以一个实数，即确定了一个定义在样本空 间上的变量随机变量。,2020/7/30,2-1-5,定义：设有随机试验E的样本空间 ，如果对于样本空间中的每一个样本点e都对应一个确定的实数X(e)，由此确定的一个定义在上的单值函数：X=X(e),称此为随机变量。一般用大写字母X,Y,Z,说明 随机变量与高等数学中函数的概念不同。,1.随机变量定义在样本空间上，函数定义在实数上。,2.随机变量

3、取值具有随机性，因试验的结果不同而取值不同，其每个可能的取值均对应一定的概率，但取值范围是确定的。,3.随机事件是由样本点构成的集合，故可说随机变量是随机事件基础上的一个概念。,2020/7/30,2-1-6,说明：定义随机变量依问题的需要而定，如掷一 枚骰子， 我们定义了随机变量X表示出现的点 数我们可以定义其随机变量为：,2020/7/30,2-1-7,定义:设有随机试验E的样本空间，如果对于样本 空间中的每一个样本点e都以一定的概率确定一个 实数X(e)，此时所确定的定义在上的单值函数： X=X(e),称为随机变量。,对于每个试验的结果的出现均有一定的概率,因 而随机变量的取值有一定概率

4、.,随机变量根据取值可分为离散型随机变量与非离 散型随机变量。,2020/7/30,2-1-8,二、离散型随机变量的概念及分布,1. 离散型随机变量的定义,定义 如果随机变量X的取值是有限个或可列无穷 个，则称X为离散型随机变量,设离散型随机变量X的所有可能取值为,其相应的概率为 ：,2020/7/30,2-1-9,2.离散型随机变量的概率分布,设离散型随机变量 X 的所有可能取值为,其相应的概率为 ：,称 为离散型随机变量X的 概率函数或概率分布,公式可以用表格形式给出,离散型随机变量 X 的分布律,2020/7/30,2-1-10,由定义得:,必然事件的概率等于1,2.一个离散型随机变量的

5、统计规律须知道X的所有可能取值及每一个可能取值的概率。,说明： 1.判断一个变量是否为随机变量只需验证这两条。,2020/7/30,2-1-11,例1 设随机变量 X 的分布律为,解：由分布律的性质，得,所以, c = 3,级数为等比级数,2020/7/30,2-1-12,例2 将 1 枚硬币掷 3 次，令X：出现的正面次数与反 面次数之差试求： （1）X 的分布律；,解：,X 的可能取值为,-3， - 1，1，3,其分布律为,2020/7/30,2-1-13,例3 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信 号灯以概率p禁止汽车通过. 以 X 表示汽车首次停下时，它已通过 的信号灯

6、的盏数，求 X 的分布律. (信号灯的工作是相互独立的).,PX=3,=(1-p)3p,解： 以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率,于是 X 的概率分布为：,PX= k = (1- p)kp，k = 0,1,2,3,以 p = 1/2 代入得：,PX= 4 = (1-p)4,X 的可能取值是0,1,2,3,4,2020/7/30,2-1-14,三、常用的离散型随机变量,1. Bernoulli分布,设随机变量X的取值只是0，1，其概率函数为,则称随机变量X服从参数为p的Bernoulli分布,其分布律为：,Bernoulli分布也称作 0-1 分布或二点分布,2020/7/30,2-1-1

7、5,Bernoulli分布的概率背景,进行一次Bernoulli试验， A是随机事件。设：,设X 表示这次Bernoulli试验中事件A发生的次数 或者设,2020/7/30,2-1-16,2. n重Bernoulli试验、二 项 分 布,(1)n重独立随机试验,(2) n重Bernoulli试验,设有随机试验E ，将试验E重复独立进行n次，即对试验 E重复进行n次，每次试验的结果出现的概率均不依赖于其他 各次试验结果。称这一系列试验为n重独立试验。,设有n重独立随机试验,如果每次试验E的结果仅有可能的 结果：A与 ，则称这一系列试验为n重Bernoulli试验。,2020/7/30,2-1-

8、17,n 次相互独立试验的例子,掷 n 次硬币，可看作是 n 次独立试验； 在一批产品中有放回地抽取n件产品进行检验，可看作是 n 次独立试验； 观察 n 个元件的使用寿命，可看作是 n 次独立试验 掷一颗骰子n次，有六种结果但如果我们只关心出现六点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷一颗骰子”可以作n重是Bernoulli试验。,2020/7/30,2-1-18,(3) n重Bernoulli 试验中成功恰好出现k次的概率,定理：设在 n 重Bernoulli 试验中，,事件A恰好出现k次的概率为：,证明：在 n 重Bernoulli 试验中，事件A出现k次，则 出现,n-k次，而在 n 次

9、试验中，事件A出现k次，则 出现n-k次,共有 种排列次序，所对应的概率为：,2020/7/30,2-1-19,令X表示事件A在n重Bernoulli试验中出现次数, 事件A在n 重Bernoulli试验中至多出现m次的概率,事件A在n重Bernoulli试验中出现的次数不少于m次的概率,2020/7/30,2-1-20,定义：如果随机变量 X 的分布律为, 0p1及自然数n , 由二项式定理，,是某个随机变量的概率分布,说 明：Bernoulli 分布是二项分布的特例,当 n=1 时,2020/7/30,2-1-21,例4 某病的自然痊愈率为 0.25，某医生为检验某种新药是否有效，他事先制

10、定了一个决策规则：把这药给10个病人服用，如果这10病人中至少有4个人痊愈，则认为新药有效；反之，则认为新药无效求： 新药有效，并且把痊愈率提高到0.35，但通过试验却被否定的概率 新药完全无效，但通过试验却被判为有效的概率,解： 给10个病人服药可看作是一个10重Bernoulli试验,令:A=某病人痊愈,P(A)=0.35,2020/7/30,2-1-22, 由于新药无效，则,此时若肯定新药，只有在试验中至少有4人痊愈因此, 若新药有效，则此时若否定新药，只有在试验中不到4人痊 愈因此,2020/7/30,2-1-23,例5 一大批产品的次品率为0.1，现从中取出15件试求下列 事件的概率

11、： B= 取出的15件产品中恰有2件次品 C= 取出的15件产品中至少有2件次品 ,可近似看作是15重Bernoulli试验,解：,所以，,从一大批产品中取15件产品,每件或是次品,或是合格品.,A=取出一件为次品,P(A)=0.1,一批产品可认为数目比较大.,2020/7/30,2-1-24,例 6 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其 中只有一个答案是正确的某学生靠猜测能答对4道题以上的 概率是多少？,答5道题相当于做5重Bernoulli试验,解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，,所以，,2020/7/30,2-1-25,例 7 某人在相同的条件下，相互独立地

12、向目标射击5次，每次 击中目标的概率为0.6,求击中目标次数X的分布率，并求至少三 次击中目标的概率。,解：若用X表示击中目标的次数，X可能取值为0，1，2，3， 4，5，则XB(5,0.6),每次射击目标一次相当于做一次Bernoulli试验，5次射击相互独立,2020/7/30,2-1-26,二项分布的分布形态,则二项分布的分布率 先是随,着 k 的增加而增大，达到其最大值后再随着k 的增大而减少 此时称使PX=k 最大的 为二项分布的最可能值。,可以证明：,2020/7/30,2-1-27,3. Poisson 分布,如果随机变量X 的分布律为,则称随机变量 X 服从参数为的Poisso

13、n 分布, 由于0,可知对任意的自然数 k，有, 又由于,是某个随机变量的概率分布,2020/7/30,2-1-28,如果随机变量X 的分布律为,试确定未知常数c .,例8,由分布率的性质有,解：,2020/7/30,2-1-29,例 9 设随机变量 X 服从参数为的Poisson分布，且已知,解：随机变量 X 的分布律为,由已知,解方程,于是,2020/7/30,2-1-30,Poisson 定理： n重Bernoulli试验中，用表示pn事件A在试验中发生的概率，它与试验的总次数n有关，如果,2020/7/30,2-1-31,例10 设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次，求

14、至 少命中3次目标的概率（用Poisson分布近似计算）,解：,2020/7/30,2-1-32,例 11 保险公司售出某种寿险（一年）保单2500份.每单交保费100元，当被保人一年内死亡时，家属可从保险公司获得2万的赔偿.若此类被保人一年内死亡的概率为0.001，求 （1）保险公司亏本的概率； （2）保险公司获利不少于10万元的概率.,解：设此类被保人一年内死亡的人数为 X ，则,（1）P(保险公司亏本),（2）P(保险公司获利不少于10万元),2020/7/30,2-1-33,4）几 何 分 布,若随机变量 X 的分布律为,显然，, 由条件, 由条件可知,于是知 是一分布律,2020/7/30,2-1-34,几何分布的概率背景,在Bernoulli试验中，,试验进行到 A 首次出现为止,即,2020/7/30,2-1-35,例 12,对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率为 0.64，射击进行到击中目标时为止，令 X：所需射击 次数 试求随机 变量 X 的分布律，并求至少进行2次 射击才能击中目标的概率 解：,2020/7/30,2-1-36,5