17.4一元二次方程根与系数的关系(沪科版)

1、,17.4 一元二次方程的根与系数的关系,1. 填表,问题：你发现这些一元二次方程的根与系数 有什么规律？ 当二次项系数为1时 x2+px+q=0的两根为x1, x2 则有,2,1,3,2,-1,3,2,-3,1,4,5,4,1,-2,2、填表,说一说，你又有什么发现？,2、新课讲解,如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x2 那么有x1+ x2=-p, x1 x2=q,猜想：2x2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？,问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？,所以得到,x1+x2=,x1 x2=,猜想： 如果一元二次方程 ax2+bx+c=

2、0（a、b、c是常数且a=0 ）的两根为x1、x2，则 x1.x2与系数a，b，c 的关系。,设x1 、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的两个根，,X2=,X2=,=,=,=,=,=,则x1=,任意的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0 ）的x1+x2， x1.x2与系数a，b，c 的关系是： x1+x2=,一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达定理.,=,x1x2=,3、巩固练习：,口答下列方程的两根只和与两根之积。,1）x2-3x+1=0,2) x2-2x=2,3) 2x2-3x=0,4) 3x2=1,判断对错，如果错了，说明理由。,

3、1) 2x2-11x+4=0两根之和11,两根之积4。,3） x2+2=0两根之和0，两根之积2。,4） x2+x+1=0两根之和-1，两根之积1。,2) 4x2+3x=5两根之和 两根之积,例1 已知方程 2x2+kx-4=0的一个根是-4，求它的另一个根及k的值。,解:设方程的另一根为了 ,则,（1）x2-3x+1=0 （2）3x2-2x=2 （3）2x2+3x=0 （4）3x2=1,1.下列方程两根的和与两根的积各是多少?（不解方程）,自主练习 灵活运用,另外几种常见的求值,解：由根与系数的关系得 X1+X2=-k， X1X2=k+2 又 X12+ X2 2 = 4 即(X1+ X2)2

4、 -2X1X2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0, = K2-4k-8 当k=4时， 0 当k=-2时，0 k=-2,解得：k=4 或k=2,题8 已知方程的两个实数根是且 求k的值。,引申:1、若ax2bxc0 (a0 0) （1）若两根互为相反数,则b0; （2）若两根互为倒数,则ac; （3）若一根为0,则c0 ; （4）若一根为1,则abc0 ; （5）若一根为1,则abc0; （6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.,自主练习 灵活运用,2、设x1.x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。 （1）（ x1+1）（x2+1）（2）

5、+ ,x1,x2,x1,x2,一元二次方程根与系数的关系？,例题2： （1）若关于x的方程2x25xn0的一个根是2，求它的另一个根及n的值。,（2）若关于x的方程x2kx60的一个根是2，求它的另一个根及k的值。,二、典型例题,例题1：已知方程 x22x1的两根为x1,x2， 不解方程，求下列各式的值。 （1）（x1x2）2 （2）x13x2x1x23 （3）,例题3： 设x1，x2是方程2x23xm0的两个根， 且8x12x27，求m的值。,例题4： 已知关于x的一元二次方程x2（2k1）xk20有两个不相等的实数根，且方程的两根之和比两根之积7，求k的值。,解:由已知,=,即,m0 m-10,0m1,题9 方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。,一正根， 一负根,0 X1X20,两个正根,0 X1X20 X1+X20,两个负根,0 X1X20 X1+X20,1、一元二次方程的一般形式 。,ax2bxc=0 (a0),（1）a0,（2）0,2、若一元二次方程ax2bxc0（a0）的两根分别 为x1 、x2， 则x1x2 ，x1x2 。,3、用根与系数关系解题的条件是 。,一、知识要点：,例题6：已知二次函数yx2mx4 （1