1[1]1回归分析的基本思想及其初步应用(1)

1、11回归分析的基本思想及其初步应用,第1课时,必修3(第二章 统计)知识结构,收集数据 (随机抽样),整理、分析数据估计、推断,简单随机抽样,分层抽样,系统抽样,用样本估计总体,变量间的相关关系,用样本的频率分布估计总体分布,用样本数字特征估计总体数字特征,线性回归分析,统计的基本思想,实际,样本,模 拟,抽 样,分 析,问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间 的函数关系是,问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否 -有一个确定性的关系？,例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：,回顾变量之间的两种关系,自变量取值一定时，因变

2、量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。,1、定义：,1）：相关关系是一种不确定性关系；,注,相关关系 （1）概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。 （2）相关关系与函数关系的异同点。 相同点：两者均是指两个变量间的关系。 不同点：函数关系是一种确定关系，是一种因果系；相关关系是一种非确定的关系。,正相关,负相关,两个变量的关系,不相关,相关关系,函数关系,线性相关,非线性相关,现实生活中两个变量间的关系:,相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系.,函数关系中的两个变量间是一种确定性

3、关系 相关关系是一种非确定性关系,函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况,现实生活中存在着大量的相关关系。 如：人的身高与年龄； 产品的成本与生产数量； 商品的销售额与广告费； 家庭的支出与收入。等等,探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何规律？,10 20 30 40 50,500 450 400 350 300,发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。,探索2：在这些点附近可画直线不止一条， 哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？,施化肥量,水稻产量,散点图,10 20 30 40 50,500 450 400 350 300,施化肥量,水稻产量,怎样求回

4、归直线？,最小二乘法：,称为样本点的中心。,（3）对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。,2、回归直线方程：,（2）相应的直线叫做回归直线。,（1）所求直线方程 叫做回归直线方程； 其中,（注意回归直线一定经过样本点的中心）,例1 假设关于某设备的使用年限x和所有支出的维修费用y(万元)有如下的统计数据：,若由此资料所知y对x呈线性相关关系，试求： 回归直线方程 估计使用年限为10年时，维修费用是多少？,解题步骤：,作散点图,2.把数据列表，计算相应的值，求出回归系数,3.写出回归方程,并按要求进行预测说明。,例2 （2007年广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产

5、量x（吨）与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据。,请画出上表数据的散点图 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的 性回归方程,(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准 煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？,（参考数值：,）,小结：求回归直线方程的步骤,（2）所求直线方程 叫做回归直线方程； 其中,（1）作散点图，通过图看出样本点是否呈条状分 布，进而判断两个量是否具有线性相关关系。,（3）根据回归方程，并按要求进行预测说明。,例题1 从某大学中随机选出8名女大学生，其身高和体重数据如下表：,求根据一

6、名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172的女大学生的体重。,解； 1.由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量x，体重为因变量y,3.回归方程：,2. 散点图；,4.本例中, r=0.7980.75这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的。,探究？,身高为172的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是,其原因是什么?,答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重接近于60.316kg。,（1）由图形观察可以看出，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线

7、性回归方程刻画它们之间的关系。 （2）从散点图还可以看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是一条直线上，所以不能用一次函数来描述它们之间的关系。这时我们用下面的线性回归模型来描述身高和体重的关系：+其中和为模型的未知参数，e是y与 之间的误差,通常称为随机误差。,产生随机误差的原因是什么？,e 产生的主要原因： (1)所用确定性函数模拟不恰当； (2)忽略了某些因素的影响； (3)观测误差，如使用的测量工具不同等,函数模型与回归模型之间的差别,一次函数模型： y=bx+a,线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y 的值由自变量x和随机误差项e 共同确定，即自变量x 只能解析部

8、分y 的变化.,在统计中，我们也把自变量x称为解析变量， 因变量y称为预报变量.,线性回归模型： y=bx+a+e,随机误差,e的估计量,样本点：,相应的随机误差为：,随机误差的估计值为：,称为相应于点 的残差.,残差分析,在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否是线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据.然后，可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据.这方面的分析工作称为残差分析.,以纵坐标为残差，横坐标为编号，作出图形（残差图）来分析残差特性.,由图可知，第1个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错

9、误.如果数据采集有错误，就予以纠正，然后重新利用线性回归模型拟合数据;如果数据采集没有错误，则需要寻找其他原因.,如何刻画模型拟合的精度？,相关指数：,在含有一个解释变量的线性模型中，R2恰好等于相关系数r的平方.,R2取值越大，则残差平方和越小，即模型的拟合效果越好.,R2=0.64，表明：“女大学生的身高解释了64的体重变化”，或者说“女大学生的体重差异有64是由身高引起的”.,建立回归模型的基本步骤：,（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量;,（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在线性关系）；,（3）由经验确定回归方程的类型（如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）；,（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；,（5）得出结果后分析残差图是否异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.,1)确定