maple数学软件8

1、数学软件,第七章 解方程,方程在数学的发展过程中有重要作用，从最初的代数方程、超越方程到微分方程都在一定程度上推动了数学的发展。借助于计算机强大的计算能力，Maple提供了求解代数方程、超越方程和微分方程精确解和数值解的工具。,7.1 多项式,1、多项式的定义,(1) 赋值 f:=x4-3*x2+2*x-5; f:=x-(x-1)3+2*x-3;,(2) 随机生成 f:=randpoly(x); g:=(x,y)-randpoly(x,y);,2、多项式的操作,提取多项式的系数 可以用函数coeff提取多项式的系数, 格式: coeff(p,x,n),coeff(p,xn); 多元多项式用co

2、effs(p); 如: f:=randpoly(x); g:=(x,y)-randpoly(x,y): coeff(f,x);coeff(f,x2);coeff(f,x,3); coeffs(g(x,y);,(2) 提取多项式的项 op(i,e);#提取表达式e的第i项 op(i.j,e);#提取表达式e的第i至j项 nops(e);#计算表达式e总的项数 例如: e:=randpoly(x); op(1,e); op(3.5,e); op(e); nops(e);,(3) 多项式的开方 平方根: psqrt(p); 如果不是完全平方,返回 _NOSQRT n次方根:proot(p,n); 如

3、果不是完全n次方,返回 _NOROOT 例如: psqrt (x4-2*x2+1); psqrt(x2-2*x+3); proot(x3-3*x2+3*x-1,3); proot(x4-2*x2+1,4);,(4) 多项式的商和余式 求多项式相除的商: quo(p1,p2,x,r); #所得结果为p1除以p2的商,r保存余式(可选项) 求多项式相除的余式: rem(p1,p2,x,q); #所得结果为p1除以p2的余式,q保存商(可选项) 例如: p1:=x6-4*x3+3*x2-2*x+4; p2:=x3+2*x2-3*x-1; q1:=quo(p1,p2,x,r1); r2:=rem(p1

4、,p2,x,q2); evalb(q1=q2); evalb(r1=r2);,(5) 合并同类项 调用函数collect 格式: collect(p,x);其中x是单变量或多变量的列表或集合 例如: f:=a*ln(x)-ln(x)*x-x; collect(f,ln(x); g:=int(x2*exp(x)+exp(-x),x); collect(g,exp(x); p:=x*y+a*x*y+y*x2-a*y*x2+a*x+x+y; collect(p,x,y);collect(p,x,y); collect(p,y,x);collect(p,y,x);,(6) 多项式的因式分解 调用函数f

5、actor对多项式进行因式分解. 格式: factor(p);factor(p,k); ifactor(n);#对整数进行分解 前者在有理数域分解,后者可以在实数或复数域中分解. 例如: factor(6*x2+18*x-24); factor(x3+5); factor(x3+5,real); factor(x3+5,complex); factor(x3+5,5(1/3); factor(x3+5,5(1/3),(-3)(1/2); ifactor(480);,1、多项式的判别式,例如： p1:=a*x2+b*x+c; discrim(p1,x); p2:=a*x3+b*x2+c*x+d;

6、 discrim(p2,x);,多项式的判别式在求根中具有重要作用, 可以使用函数 discrim得出判别式. 格式为: discrim(p,x).,7.2 多项式运算,2、多项式的展开,使用函数expand展开多项式. 格式: expand(p); 例如: f1:=x2+x+1; f2:=x+1; f:=f1*f2; expand(f); f1:=3*x+4*x*y-5; f:=f1*(-8*x2-6*y2+5*x); expand(f); simplify(f);,3、多项式的约简,调用函数normal对多项式或有理式进行化简. 格式: normal(p,expanded);#expand

7、ed是可选项. 例如: restart: normal(x2-(x+1)*(x-1)-1); normal(x2-y2)/(x-y)3); normal(f(x)2-1)/(f(x)-1); normal(sin(x*(x-1)+x); normal(1/x+x/(x+1); normal(1/x+x/(x+1),expanded);,7.3 有理函数,1、获取有理函数的分子分母,可以调用numer和denom来获取分子和分母. 格式: numer(x); denom(x); 例如: f:=(x2+x+1)/(x+y2); numer(f); denom(f); numer(x+1/(x+1/

8、x); denom(x+1/(x+1/x);,调用convert可以将有理函数转换为不同的形式. 格式: convert(f,parfrac,x); 其中, f为x的有理函数, parfrac表示分解为部分有理式的和. 例如: f:=(x+3)/(x2-5*x+6); convert(f,parfrac,x); convert(x+1)/(x-y)2,parfrac,x); convert(x3-4*x2+3*x-1)/(x4-4*x3+6*x2-4*x+1),parfrac,x);,2、有理式转换,convert(float,fraction); 如: convert(1.23456,fra

9、ction); onvert也可以进行十进制数与其它进制数之间的转换. 如: convert(64,binary); convert(63,octal); convert(65535,hex); convert(FFFF,decimal,hex);,3、浮点数转化为有理数,可以利用convert进行三角表达式的转换. 例如: f:=int(tan(x)5*sec(x)3,x); g:=simplify(f); convert(g,sec); expand(%); convert(tan(x)5+sec(x)3*sin(x),sincos);,7.4 一元n次方程,1、高次方程的精确解,对于次数

10、不超过4的一元方程, 都可以得到它在复数范围内的根的表达式, 调用solve在复数范围内可以求出不超过4次的一元方程的精确解. 格式为: solve(eq,x). 例如: solve(x2-2*x+3=0,x); solve(a*x3+b*x2+c*x+d=0,x); solve(3*x4-2*x3+2*x2-4*x+5=0); evalf(%);,调用fsolve可以求方程的浮点解. 格式: fsolve(eqs,vars,K); 其中, eqs为方程或方程组, vars为变量集合, 可选项K表示范围. 例如: fsolve(2*x+1=abs(2x-1),x); eq:=tan(sin(x

11、)-exp(-3*x)=0; fsolve(eq,x=0.1); fsolve(eq,x=1.4); f1:=x2-y2=1; f2:=y=exp(x); fsolve(f1,f2,x,y);,2、方程的浮点解,solve也可以求用于解不等式或不等式组. 例如: solve(x-1)*(x-2)*(x-3)1,x); solve(x21,y2=1,x+y1/2,x,y); solve(x+y+1/(x+y)=9,x);,3、不等式求解,用二分法求方程的根,一、提出问题,设函数f(x)在a,b上单调连续，且f(a)f(b)0，则方程f(x)=0在a,b内有唯一实根，把区间a,b二等分，则根必位于

12、其中某一区间内，这样得到一新的区间a1,b1，重复这一过程，就可以逐步向方程的实根靠近，最终得到方程根的近似值.,例 用二分法求方程 x3+1.1x2+0.9x-1.4=0 的根,Step1: 确定根的范围 f:=x-x3+1.1*x2+0.9*x-1.4; plot(f(x),x=-2.2);,Step2: 求根的近似值. a:=0.;b:=1.; while abs(b-a)=10(-10) do c:=(a+b)/2; if f(c)* f(a)0 then a:=c;b:=b; elif f(c)*f(b)0 then a:=a;b:=c; else a:=c;b:=c; end if

13、; a=a,b=b,c=c; end do;,通过计算，求得方程根的近似值为0. 6706573107.,7.5 常微分方程,Maple能显式或隐式地解析求解许多常微分方程. 主要使用函数dsolve求解.,dsolve的调用格式: dsolve(ode,func,implicit); 例如: dsolve(diff(y(x),x)=y(x),y(x),implicit); dsolve(diff(y(x),x)+y(x)=x,y(x);,1、一阶常微分方程,例1 求方程,的通解.,restart; eq:=diff(y(x),x)-2*y(x)/(x+1)=(x+1)(5/2); dsolv

14、e(eq,y(x); factor(%); assign(%); lj:=seq(subs(_C1=i,y(x),i=-4.4); plot(lj,x=-2.2,y=-10.10,color=black);,理论上将常微分方程分成 y(n)=f(x), y”=f(x,y), y”=f(y,y) 三种类型,一般是利用变量替换化归为一阶线性微分方程求解. 但在Maple中调用dsolve求解比较方便.,2、可降阶的高阶线性常微分方程,例2 分别求微分方程,的通解.,eq1:=diff(y(x),x$3)=exp(2*x)-cos(x); eq2:=(1+x2)*diff(y(x),x$2)=2*x

15、*diff(y(x),x); eq3:=y(x)*diff(y(x),x$2)-diff(y(x),x)2=0; dsolve(eq1,y(x); dsolve(eq2,y(x); dsolve(eq3,y(x);,3、高阶线性常微分方程,例3 分别求微分方程,的通解.,eq1:=diff(y(x),x$2)-2*diff(y(x),x)-3*y(x)=0; eq2:=diff(y(x),x$4)-2*diff(y(x),x$3)+5*diff(y(x),x$2)=0; eq3:=diff(y(x),x$2)-5*diff(y(x),x)+6*y(x)=x*exp(2*x); dsolve(e

16、q1,y(x);dsolve(eq2,y(x);dsolve(eq3,y(x); assign(%); lj:=seq(seq(subs(_C1=3*i,_C2=3*j,y(x),i=-1.1),j=-1.1); plot(lj,x=-3.3,y=-10.10,color=blue);,4、常微分方程的数值解,例4 解微分方程,restart: eq:=diff(y(x),x)=sqrt(x2+y(x)2); dsolve(eq,y(0)=-1,y(x); s:=dsolve(eq,y(0)=-1,y(x),numeric); s(0)2; s(0.1)2; plot( rhs(s(x)2),x=0.1);#rhs(eq):取eq右边的项,例5 求满足给定初始条件的微分方程的解,restart: eq:=diff(y(x),x$2)-x*y(x)=0; dsolve(eq,y(0)=-1,D(y)(0)=1,y(x); dsolve(eq,y(0)=-1,D(y)(0)=1,y(x), type=series);