加权余量法.ppt

1、1.3变分原理，Ritz法，1.3.1自然变分原理，1.3.2修正泛函变分原理，如果微分方程是线性的和自伴的，它不仅可以建立其等价的积分形式，而且可以用加权残数法找到其近似解；等效变分原理也可以建立，基于它的另一种近似解法是里兹法。1.线性和自伴微分算子，1.3。1自然变分原理，它是一个微分算子。线性自伴微分方程的定义是：1.3。1自然变分原理，它将上述公式部分积分，直到u的导数消失，并得到具有积分、任意函数和的伴随算子。表示，如果，表示算子是自伴的。1.3。1自然变分原理，2。函数构造，伽辽金格式，因为算子是线性和自伴的，所以：1.3。1自然变分原理，1.3。1自然变分原理，并得到：1.3。

2、1自然变分原理，微分方程的等价积分形式。例如，弹性力学中的最小势能原理和粘性流体中的最小能量耗散原理被称为自然变分原理。3。自然变分原理，1.3。1自然变分原理。对于这类问题，是一个未知的场函数，并且，是一个特定的算子。一个，包含和的1阶到m阶导数。连续统问题的解：使泛函取极值(或平稳值)。有一个泛函，它是一个标量，1.3。1自然变分原理，例如：最小势能原理，1.3。1自然变分原理，1.3。1自然变分原理，其中：近似解：1.3。1自然变分原理，其中：待定参数向量(未知)，试函数矩阵(事先选定)，相互独立，矩阵形式是这样得到的：其中有3n个方程。如果它是一个完整的函数级数，它收敛到一个精确解，如

3、果n是一个有限项，它是一个近似解。以上方法为里兹法，1.3。1)自然变分原理，2)代换，里兹法，基于变分原理的近似解，1)求解步骤，1)假设近似解，它是一个待确定的参数并且满足强制边界条件。泛函(求函数u)的极值问题转化为多元()函数的极值问题。1.3。1自然变分原理，3)线性代数方程的近似解，u，1.3。1自然变分原理，2。解的收敛性，1)连续性要求满足顺序连续性，2)完整性要求取自完整的函数序列，1.3。1自然变分原理，1.3。1自然变分原理，3。特征，3 .3)待定系数是任意的，并不意味着具体的物理意义。4)如果我们对问题有一个清晰的认识，并能找到一个合适的试函数，我们就能事半功倍，但缺

4、乏通用性。讨论：1)经典泛函变分理论只适用于线性自伴微分方程。2)收敛性有严格的理论基础(功能分析)。3)如果预先满足强迫边界条件，则解具有确定的上下界。如果不能提前满足，就需要进行处理(约束变分原理)。1.3 .1自然变分原理，但未知函数往往需要遵守一些附加条件。我们称这些变分原理为“附加条件的变分原理”。1.在修正(约束)变分原理和建立自然变分原理后，问题的解取泛函的平稳值。1.3.2修正泛函变分原理、约束条件、附加条件可以引入泛函，并且可以重构“修正泛函”，将问题转化为修正泛函的平稳值问题。常用方法：拉格朗日乘数法和罚函数法。1.3.2修正泛函变分原理，即原泛函的约束变分问题，被转化为修

5、正泛函*的无约束变分问题，代价是增加了额外的未知函数。2。拉格朗日乘数法，修正泛函*:1.3.2修正泛函变分原理，1.5变分原理，近似解：线性，1.3.2修正泛函变分原理，修正泛函变分原理，1.3.2修正泛函变分原理，所以方程中没有项，1.3.2修改泛函变分原理，并且对于线性问题，得到线性方程；因为：1.3.2修正泛函变分原理并讨论(放松约束的代价):1)很明显方程的阶数增加了。2)方程系数矩阵的主元素(对角元素)中出现零元素，这使得方程求解更加困难。(不能使用一般消去法)3)从一般物理问题得到的自然变分问题是一个极值问题。然而，对于修正的泛函，由于附加项的积分性质不清楚，它一般是一个平稳值问

6、题。(不再有极值性质)4)利用乘数法，变换弹性力学的各种变分原理。1.3.2修正的泛函变分原理，3。罚函数法，修正泛函，称为罚数、正定和最小问题的正数；值越大，约束满足得越好。(越接近越好)这种方法的优点很明显，不需要添加任何未知函数。(事先给定)，1.3.2修正的泛函变分原理，例如：极值问题(泛函极值问题)，约束条件，所以：求解方程，得到：1.3.2修正的泛函变分原理，上述方程可以写成矩阵形式，而解析方程：来源于原泛函，来源于约束条件。和必须是单数，有非零解。1.3.2修正泛函变分原理并讨论：1)这种方法的优点是不增加最后一个线性方程的阶数；2)它是一个奇异矩阵，可以相对忽略。1.3.2从例

7、子中可以看出，修正的泛函变分原理是奇异的。案例计算中需要证明的奇异性。1.3.2修正的泛函变分原理，3)值问题太小，且约束条件差。如果它太大，系数矩阵接近奇点，方程是病态的。该值应该是适当的。原则上，最好使由不满足约束条件的值引起的误差与先前计算中的误差大小相同。一般取10121015。4)位移边界条件是有限元法中常用的条件。第一章，有限元法、加权残值法和变分原理的理论基础，本章的重点和内容，微分方程等价积分形式及其“弱”形式的实质和构造方法，任意函数和场函数应满足的条件。加权残数法的不同形式的权函数形式和近似解的求解步骤，以及伽辽金法的特点。线性自伴微分方程变分原理的构造方法和泛函数的性质，

8、以及自然边界条件和强迫边界条件的区别。经典里兹法的求解步骤、收敛条件和局限性，以及虚功原理的两种形式(虚位移原理和虚应力原理)的实质和构造方法。从虚功原理导出最小势能原理和最小余能原理的方法，它们各自的性质和场函数应预先满足的条件，等价积分形式，等价积分“弱”形式，泛函和变分原理强迫边界条件，第一章关键概念，加权残数伽辽金法线性自伴算子，自然边界条件泛函的常值和极值，里兹法虚位移原理，虚应力原理，最小势能原理，最小余能原理，1。数学微分是已知的。如何证明它们是等价的？第一章复习题，3。不同形式的加权残值法有什么不同？除了书中列举的几种方法，你能提出其他形式的加权残值法吗？如果是这样，新方法的特

9、点是什么？2.等价积分形式和等价积分的“弱”形式有什么区别？为什么后者更多地用于数值分析？4.什么是加权残值法的伽辽金法，它有什么特点？5.如何将微分算子识别为线性自伴算子？识别它的意义是什么？如何建立等价于自伴微分方程的泛函和变分原理？如何证明加权残值伽辽金法的等价性？自然边界条件和强制边界条件有什么区别？它为什么这么命名？如何区分给定微分方程的这两种边界条件？函数在什么条件下有极值？知道泛函是否有极值有什么意义？9。什么是里兹法？它所建立的求解方法有什么特殊之处？里兹法的收敛性定义是什么？什么是收敛条件？里兹法的优点和缺点是什么？你能举个例子来说明它吗？虚拟工作原理的两种不同形式是什么？什

10、么弹性方程彼此等价？你能准确地表达它们吗？最小势能的原理是什么，它是如何推导出来的？什么是场函数？它应该提前满足什么条件？场函数的试函数有什么要求？如何利用最小势能原理建立数值解的解方程，解的收敛和极值条件是什么？最小余能的原理是什么？它是如何出口的？什么是场函数？它应该提前满足什么条件？场函数的试函数有什么要求？如何利用最小余能原理建立数值解的解方程？这个等式的特征是什么？解收敛和极值的条件是什么？为什么最小势能原理的近似解的应变能降低了界限，也就是说，解一般是“刚性的”？最小余能原理近似解的应变能取上界，即解一般是“软”的？你能从力学的角度进一步解释它吗？1.4.3变异的一些基本概念，1。

11、函数的定义和函数的定义：函数的定义：如果独立变量的x字段中的每个值都有一个对应于y的值，或者数字y和数字x之间的关系成立。据说变量y是变量x的函数，即y=y(x)。1.4.3变分的一些基本概念，泛函的定义：如果在某种类型的函数y(x)中有一个值对应于每一个函数y(x)，或者这个数对应于函数y(x)的关系成立。该变量称为函数y(x)的泛函，即=(y(x)。1.4.3变分的一些基本概念，2。微分和变分微分： x的增量x是指两个值x=x-x1之间的差值。如果x的微分用dx表示，dx也是一种增量，也就是说，当增量很小时，dx=x.当y(x)很小时，变分：的增量称为变分，用y(x)或y表示，y(x)指y

12、(x)与其相近的y1(x)之差，即y(x)=y(x)-y1(x)；这里：y(x)也是x的函数，但是y(x)是指定x域中的一个轨迹。(假设y(x)在接近y1(x)的一类函数中被任意改变)。1.4.3变异的一些基本概念。函数微分和泛函变分泛函微分A(x)=y(x)是一个函数的导数，1.4.3一些基本的变分概念，一个函数的微分2:被设置为一个小参数，并计算y(x)的导数，即当接近零时，证明y(x)在=0时的导数等于y(x)在x时的微分。这个定义类似于拉格朗日处理变分的定义。1.4.3变分的一些基本概念，泛函变分1:类似于泛函微分，泛函变分有两种定义。=y(x) y(x)-y(x)=Ly(x)，其中L

13、y(x)和y(x)称为函数变体，由下式表示。函数的变化是函数增量的主要部分，这个主要部分与y(x)成线性关系。1.4.3变分的一些基本概念，泛函变分2:泛函变分是y(x) y(x)对的导数的值，当=0时，拉格朗日泛函变分被定义为：1.4.3变分的一些基本概念，4。极小极大问题如果函数y(x)在x=x0附近的任何一点，也就是说，当dy=y(x)-y(x0) 0 (0)时，最大值(最小值)在x=x0处达到，并且在x=x0处有：并且函数最大-最小值函数y(x)具有类似的定义。如果在任何接近y=y0(x)的曲线上的函数y(x)的值不大于(不小于)y0(x)，即=y(x)- y0(x) 0(或0)，那么

14、可以说函数y(x)在曲线y=y0 (x)(或1.4.3)上达到其最大值。一些基本的变分概念解释了函数的最大值(或最小值)主要是指函数的相对最大值(或最小值)，即函数的最大值(或最小值)是从因此，在函数极大极小的定义中，也应该解释这些曲线有几个接近度。1.4.3变型的一些基本概念，1.4.3变型、强变型和强极大值的一些基本概念如果所有与y=y0(x)的贴近度都是零阶的，即y(x)-y0(x)非常小，但是对于y(x)-y0(x)是否小没有规定。以这种方式获得的最大值(或最小值)被称为强最大值(或最小值)，或强变分最大值(或最小值)。1.4.3变分、弱变分和弱最大值的一些基本概念，如果仅适用于与y=

15、y0(x)有一阶近似的曲线y=y(x)，或者仅适用于那些不仅在纵坐标之间而且在切线方向之间都很接近的曲线。以这种方式达到的最大值(或最小值)称为弱最大值(或最小值)，或弱变分最大值(或最小值)。1.4.3变分的一些基本概念，5。变分方法的基本预备定理如果函数F(x)在线段(x1，x2)上是连续的，并且对于任何只满足某些一般条件的选定函数y(x)，1.4.3变分方法的一些基本概念，5。变分方法的基本准备定理如果函数F(x)在线段(x1，x2)上是连续的，并且对于任何只满足某些一般条件的所选函数y(x)有：那么在线段(x1，x2) (2) 0的线段(x1，x2)的端点上有： F(x)=0；(3)y