4实验数据处理方法.ppt

1、1,大学物理实验,2,我们经常通过实验探索两种物理量之间的关系，即把一种物理量当成自变量 x，测量不同的自变量 xi，所对应的另一种物理量yi的值。这样便得到了两列测量值：x1，x2，xn 和 y1，y2，yn，也就是说我们得到了n 组测量值： （x1，y1）， （x2，y2）， （xn，yn）。 如何处理这些数据，以便找出 x，y 之间的关系呢？这一节就来讨论常用的数据处理方法。,3,一、列表法：将一组直接测量的数据和有关计算结果分类分行分列列成表格来表示。,制表时应注意事项见P16。,数据列表可以简单而明确地表示出有关的物理量之间的对应关系，便于检查对比和分析，有助于找出有关量之间的规律性

2、的联系。,4,二、作图法：将一系列实验测量值按其对应关系在坐标纸上描绘出一条光滑的曲线。以此曲线显示各物理量的相互关系。,图示法简明直观，易显示数据的极值点、转折点、周期性等。也可以从图线中求出某些实验结果。如直接读出没有进行观测的对应于某 x 的 y 值（内插法）；在一定条件下，还可以从图线的延伸部分读到测量数据范围外的点的值（外推法）。,作图规则见P17：,5,例：研究某导体的电阻值 R 与温度 t 的关系。 实验观测的一组数据，列表如下：,下面用图示法表示：,取 t 为自变量（横坐标），每一小格代表1（比例 1：1）。,以 R 为因变量（纵坐标），每二小格代表 0.1（比例2：1）。,6

3、,t (),R (),10.0，10.41,29.0，10.95,42.3，11.26,61.6，11.86,75.5，12.20,85.7，12.61,建立坐标轴,坐标分度,描点,连线,Rt图线,7,三、图解法：根据已作好的图线，采用解析方法得到与图线对应的函数关系经验公式。,在物理实验中，经常遇到的曲线是直线、抛物线、双曲线、指数曲线和对数曲线等。,以前面所作图线为例:,设直线方程为 y = axb。要建立经验公式，需求出 a 和 b。,求斜率 a：首先在画好的直线上靠近两端选两点（x1，y1）和（x2，y2），并用符号“”圈出，其坐标最好是整数，但不能取原始实验数据。,由实验图线判断两变

4、量之间的关系是线性的。,8,t (),R (),10.0，10.41,29.0，10.95,42.3，11.26,61.6，11.86,75.5，12.20,85.7，12.61,Rt图线,在直线上取A（15.0，10.55）和B（85.0，12.52）两点坐标,15.0,A(15.0，10.55),B(85.0，12.52),85.0,9,设直线方程为 y = axb。,则,求截距 b：如果X轴的原点在坐标零点，则可直接从图线上读出纵轴截距 b 。,如果X轴的原点不在坐标零点，则可把求出的 a 和A（或B点）坐标再代入直线方程，便可求出截距 b 。,在直线上取A（15.0，10.55）和B（

5、85.0，12.52）两点坐标,（/）,则所求经验公式为,10,四、逐差法：将实验测量数据进行逐差项相减，或者分成前后两组进行对应项相减。,前者可以验证被测量之间的函数关系，后者可以充分利用数据，具有对数据取平均和减少误差的效果。,以“金属杨氏弹性模量的测量”为例,这实验利用FkN（N为伸长量），实验原理如下：,在金属丝上加力F0、F1、F2、F7，测得金属丝和长度no、n1、n2、n7，则可得FFiFi-1时的伸长量Ni nini-1 ），由此求k。,11,若求金属丝的平均伸长量，则会出现,中间的测量值全部无用，只有始末两次测量有用，如果这始末两次测量误差较大，结果的误差也就随着较大，达不到

6、通过多次测量减少偶然误差的目的。,四、逐差法：,12,若改用多项间隔逐差法，将数据按顺序分成前后两组（两组次数应相同）n0, n1, n2, n3,和n4, n5, n6, n7,然后对应项相减求平均值，则:,这样数据全部用上了。相当于重复测量四次，充分利用数据，减少了测量误差。,四、逐差法：,13,五、最小二乘法和线性拟合（回归）法：,用图解法求出的经验公式（如常量 a，b 等）比较粗略，更好的方法是用最小二乘法。,在无系统误差条件下，对某物理量 x 在相同条件下进行 n 次测量。测量值分别为 x1、x2、nn。,1.最小二乘法原理：,其算术平均值为：,各次测量值的误差xi为,则各次测量值误

7、差的平方和为最小：,而用其他的组合方式得到的误差的平方和要比上式为大。,14,1.最小二乘法原理：,例如进行10次测量，得10个测量值，如任意取8个（10）或任意取12个（10，可重复取）所求的平均值，其误差的平方和都比用10个数求平均误差平方和大。,下面用实例来说明：,15,例：对某物理量在相同条件下进行五次测量，测得值分别为：,算术平均值,取全部误差的平方和：,取三次（2、3、4）误差的平方和：,16,例：对某物理量在相同条件下进行五次测量,算术平均值,取三次（2、3、4）误差的平方和：,说明：用全部测量值取算术平均值与真值最接近。,17,2.用最小二乘法求经验公式：通过实验数据直接求出经

8、验方程称为方程的回归。,用图解法处理数据虽然具有简单方便优点，但它是采用目测，容易带有主观随意性，不同的人用同一组测量数据作图，可以做出不同的图线，因而得出不同的结论。,它的原理是：由一组实验数据找出一条最佳的拟合直线（或曲线），使得各测量值与这线上对应点之差的平方和最小。,而最小二乘法是一种比较精确的直线（或曲线）按拟合方法。,18,求回归方程的步骤：,2.用最小二乘法求经验公式：,确定函数的形式：这主要是根据理论推断或者从实验数据的变化趋势推测出来。,例如，如果根据数据推断出物理量 y 与 x 的关系是线性的，则 x 与 y 的函数关系为： y = axb（a、b为待定系数）,又如，如果根

9、据数据推断的函数形式为指数关系，则可写为： y = aecxb（a、b、c为待定系数）,如果暂时无法确定函数关系，常用多项式表示为： y = aa1xa2x2anxn （a1、an为待定系数）,19,求回归方程的步骤：,2.用最小二乘法求经验公式：,用测定的实验数据确定方程中的待定系数；,验证所得结果是否合理；若不妥，需用其它函数重新试探。,y = aa1xa2x2anxn （a1、an为待定系数）,20,3.一元线性回归：,设线性函数为： y = axb（a、b为待定系数）,下面利用yi的方程组来确定a 和b 。那么a 和b 。应满足什么要求呢？,对x 和y 进行n 次测量，可得n 个测定方

10、程：yi = axib,将x 的每次测量值代入y = axb 中，则得n 个y 的测定方程： yi = axib,y 的测量值yi与计算值yi的偏差为： yi yiyiyi（axib）（i 1、2、n）,21,我们得到的经验公式，应使我们的测量值尽可能靠近由方程作出的曲线，也就是说， a 和b应使yi数值都比较小。,由于处理数据的方法要满足偏差的平方和为最小，故称最小二乘法。,但是，每次测量的误差不会一样，反映在yi数也不一样，所以只能要求总的偏差最小，也就是 最小,3.一元线性回归：,22,令：,S极小值的条件为,3.一元线性回归：,23,即：,称为正规方程,为简单起见，用代替,令：,表示x 的平均值，即,表示y 的平均值，即,表示x2 的平均值，即,表示xy 的平均值，即,3.一元线性回归：,24,则上述正规方程变为：,解方程组得：,3.一元线性回归：,25,为了判断所得的结果是否合理，在特定常数a、b确定以后，还需要计算一下相关系数。对于一元线性回归， 定为：,可以证明，的值总在0和1之间。值接近于1，说明实验数据能密集在求得的直线的近旁，用线性函数进行回归比较合理。,相反，如果值远小于1而接近于0，说明实验数据对求得的直线很分散，用线性回归不妥，需用其他函数重新试探。,3.一元线性回归：,26,例：研究某导体的电阻值 R 与温度 t 的关系