D102二重积分的计算.ppt

1、,*三、二重积分的换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,第十章,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X - 型区域,则,若D为Y - 型区域,则,一、利用直角坐标计算二重积分,说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 ,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X - 型域或Y - 型域 ,则,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X - 型区域, 则,解法2. 将D看作Y - 型区域, 则,例

2、2. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线,则,例3. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D 为X - 型域 :,先对 x 积分不行,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,例4. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y - 型区域 , 则,10.1.2、 设函数f(x,y)在x2+y21上连续，使,成立的充分条件是 (A)f(x,y)=f(x,y) f(x,y)=f(x,y) (B)f(x,y)=f(x,y) f(x,y)=f(x,y) (C)f(x,y)=f(x,y)

3、f(x,y)=f(x,y) (D)f(x,y)=f(x,y) f(x,y)=f(x,y),B,10.3.1、设f(x,y)是连续函数，交换二次积分,的积分次序。,10.3.2、设f(x,y)是连续函数，交换二次积分,的积分次序。,原式=,10.3.3、设f(x,y)是连续函数，交换积分,的积分次序。,解：原式=,10.3.4、设f(x,y)为连续函数，交换二次积分,解：原式=,10.3.5、设f(x,y)是连续函数，交换积分,的积分次序。,的积分次序。,解：原式=,10.3.6、计算二次积分,10.3.7、计算二次积分,原式,=9.,=,10.3.8、计算二次积分,10.3.9、计算二次积分,

4、原式,10.3.10、计算二重积分,其中D是以O(0，0)A(1，1)和B(0，1)为顶点的三角形区域。,10.3.11、计算二重积分,其中D：0 x1,1y0.,10.3.12、计算二重积分,其中D：3x4,1y2.,10.3.15、计算二重积分,其中D是由曲线xy=1, y=x2与直线x=2所围成的区域。,10.3.16、计算二重积分,其中D：0ysinx,.,10.3.18、计算二重积分,其中D是由y=x2,y=0,x=1所围成的区域。,10.3.21、利用二重积分计算由直线y=x, y=5x 及x=1所围成区域的面积。,10.3.22、利用二重积分计算由曲面z=6x2y2, x+y=1

5、, x=0, y=0 及z=0所围成的曲项柱体的体积。,10.3.23、利用二重积分计算由平面,(其中a,b,c0) x=0, y=0, z=0所围立体的体积。,10.3.30、求在x0部分由曲线y=cosx及y=cos2x所围,第一块封闭图形的面积,二、利用极坐标计算二重积分,设,则,特别, 对,此时若 f 1 则可求得D 的面积,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),例6. 计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,注:,利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上,故式成立 .,又,例7. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解: 设,由对称性可知,10.1.3、 设域D：x2+y21,f是域D上的连续函数，则,A,10.2.2、设积分区域D的面积为S ,为D中点的极坐标，则,_.,S,10.3.13、利用极