6-3二阶常系数线性微分方程.ppt

1、6.3设二次常系数线性微分方程式、一、线性微分方程式的解的结构二、二次常系数线性一次微分方程式、二次常系数线性非一次微分方程式的方程式称为二次线性微分方程式的系数P(x )、Q(x )分别为常数p、q，则方程式称为二次常系数线性一次微分方程式，/、 如果定理2函数y1(x )和y2(x )是与二次线性一次微分方程式(2)的两个线性无关的特解，则根据作为方程式(2)的解的解的定义，也能够判断为不是方程式的解(2)求出非一次线性方程式的一个特解，其中，非一次线性方程式的解从作为练习1的特征方程式(5)的根的情况得到微分方程式(3)的解：求出两个不相等的实根、特征方程式法、二次常系数一次线性微分方程

2、式(3)的解步骤：和2 .根据两个特征根的差异，按照下表写微分方程式的解：求例2微分方程式，其特征方程式满足(r 1)(r3)=0、初始条件、解、的方法：未定系数法。 在第二步骤中，将设置代入原始非齐次方程式以获得相应系数，并且将齐次方程式的特征方程式代入作为示例4的原始非齐次方程式，其中一个特征方程式是已知的最高次数是n的多项式.注意是保留的完全同次数的多项式，再确定其特解，最后可以求解。 关于原方程式的解，当代入原来的非齐次方程式时，特征根、解、0不是特征方程式的特征根，而是存在对应的齐次方程式的解，因此，齐次方程式的特征方程式求练习5满足初始条件的特解. 答案是y=C1ex C2e3x，

3、解微分方程式4y 4y-3y=0的特征方程式是4r2 4r-3=0的特征方程式的解是该原方程式的解，求练习8微分方程式y 6y 9y=0的解。 解微分方程式y 6y 9y=0的特征方程式由于r2 6r 9=0特征方程式的解为r=-3，所以原方程式的解为y=(C1 C2x)e-3x，求练习9微分方程式4y-4y y=0的解。 求解答，练习10方程式y-3y 2y=2x2-2x的解。 解对应一次方程式的特征方程式是r2-3r 2=0，特征根据r1=1，r2=2，所以对应一次方程式的解是y=C1ex C2e2x。 从f(x)=2x2-2x，设原方程式的一个特性解为y*=Ax2 Bx C，代入原方程式

4、，2A-3(2Ax B) 2(Ax2 Bx C)=2x2-2x是比较两边x的同乘系数而得到的原方程式的特性解为y*=x2 2x 1。最后得到的原方程式的解是y=C1ex C2e2x x2 2x 1，练习11求方程式4y-12y 9y=ex的解。 求出练习12方程式y 2y-3y=16xex的解。 假设解特征方程式4r2-12r 9=0的解为r1=r2=3/2，则将与原方程式对应的一次方程式的解设为f(x)=ex，将原方程式的一个特性解设为y*=Aex，代入4aex-1221的原方程式的解，将解特征方程式r2 2r-3=0的解设为r1=-3 与原方程式对应的一次方程式的解为y=C1e-3x C2

5、ex f(x)=16xex，代入作为原方程式之一的ax2(4ab ) x2a2be x2ax2(2ab ) xbex-3 (ax2bx ) ex=16 x ex，则可解为A=2、B=-2，因此成为=的原方程式的解是y=C1e-3x C2ex x(x-2)ex，解特征方程式r2-2r 1=0的解是r1=r2=1，与原方程式对应的齐次方程式的解是y=(c1c2x)ex的ax3(6ab ) x2(6a4b ) x2bex-2 ax3(6a4b )。 代入ex=12xex时，A=2，B=0，因此原方程式的原方程式的解求y=C1e-3x C2ex 2x3ex、练习13方程式y-2y y=12xex的解，

6、进行补充的话，=p2-4q0的情况下特征方程式没有实根，但有两个复根r=i 解微分方程式y 4y 5y=0的特征方程式是r2 4r 5=0特征方程式的解是r=-2i，所以原方程式的解是y=e-2x(C1cosx C2sinx )，练习14求方程式y 4y=0的解。 答案是y=C1cos2x C2sin2x，对于二阶常系数的非对称线性微分方程： 3，f(x)=a1cosx a2sinx，还需要研究I，同样看是否是特征方程的根。 (1) i不是特征方程式r2 ar b=0的根时的特解的形式是y*=Acosx Bsinx (注意：方程式中即使只出现cosx和sinx中的一方，特解时也必须同时出现co

7、sx和sinx )。 (2) i是特征方程式r2 ar b=0的根此时在之前的特解形式代入中不能求出系数，应该将特解的形式变更为y*=x(Acosx Bsinx )，如果将解特征方程式r2=0的解设为r1=i，r2=-i，则与原方程式对应的一次方程式的解为y=c1cosx 设原方程式的一个特性解为y*=Acosx Bsinx，代入原方程式，设-A2cosx-B2sinx Acosx Bsinx=cosx解为A=(1-2)-1，B=0，代入原方程式为因为B=1/(2)，所以原方程式(1) i不是特征方程式r2 ar b=0的根此时的特解的形式是y*=(Acosx Bsinx)ex 总结了具有这些

8、特殊形式的f(x )二阶常系数非对称线性微分方程的求解顺序。 假设解特征方程式r2-2r 5=0的解为r=12i，则与原方程式对应的一次方程式的解为y=(c1cos2xc2sin2x ) exf (x )=6ex sinx，如果代入以原方程式的一个特性解为y*=的原方程式，则为(2bcosx-2 asinx ) ex 求解为sinxex5(acosxbsinx)ex=6exsinx为A=0、b的原方程式的解为y=(C1cos2x C2sin2x)ex 2exsinx、例8方程式y-2y 5y=6exsinx的解。总结二阶常系数非齐次线性微分方程yay by=(a0x ma1XM-1 am ) ex (b1cosx b2sinx )的求解步骤：写原方程对应齐次方程及其特征方程. 求出特征方程式的根，写出对应齐次方程式的解y=C1y1 C2y2。 如果I是特征方程式的k重根(k=0、1或2 )，则将原方程式的特性解设为y *=xk (a0x ma1XM-1 am ) cosx (b0x MB1XM-1 BM ) sinx ex代入原方程式。 设原方程式的解为y=C1y1 C2y2 y*，设解特征方程式r2=0的解为r=i，则与原方程式对应的一次方程式的解为y=C1cosx C2sinx f(x)=x2 cosx。 原方