高等代数--解析函数与调和函数.ppt

1、第四节 解析函数与调和函数的关系,3.4.1 调和函数的定义,3.4.2 解析函数与调和函数的关系,3.4.3 由调和函数构造解析函数,3.4.4 小结与思考,2,3.4.1 调和函数的概念,定义3.5 如果二元实函数H(x,y)在区域D内有 二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程:即：,则称H(x,y)为区域D内的调和函数。,注：,称为Laplace算子,例如： f(x,y)=x2-2xy2 不是一个调和函数,调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.,3,设f(z)=u+iv在区域D内解析,则由C.-R.条件,得,同理,在D内有,即u及v都是D内的调和函数,3.4.2解析函数与

2、调和函数的关系,4,v称为u在区域D内的共轭调和函数.,定理：设函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)A(D),u(x,y),v(x,y)都是D内的调和函数,例如:设 f(z)=x-iy,则u(x,y),v(x,y)都是z平面上的调和函数,但f(z)=x-iy在z平面上处处不解析,原因: u(x,y),v(x,y)在D内不满足C-R条件,定义3.6 u(x,y),v(x,y)是D内的调和函数，且满足C.-R.条件：,5,定理3.18 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析, 则称在区域D内v(x,y)必为u(x,y)的共轭调和函数.,定理3.19 设u(x,y)是单连通区域D

3、内的调和函数, 则可构造函数v(x,y)：,使f(z)= u+iv是D内的解析函数.,3.4.3 由调和函数构造解析函数,注：,1. 若(0,0)D,则在(3.22)中,常取(x0,y0)=(0,0),2. (3.22)可用如下方法记忆:,dv(x,y)=vxdx+vydy= -uydx+uxdy,6,例3.15 验证u(x,y)=x33xy2是z平面上的调和函数，并求以u(x,y)为实部的解析函数f(z),使f(0)=i,解：,要求f(z)，需先求v(x,y),一般可用以下方法求v(x,y),方法一：线积分法，用公式3.22得：,7,故：,再由 f(0)=i,得出 C1，故 f(z)=z3+

4、i,方法二：两次积分法：首先由C-R条件得： vy=ux=3x2-3y2,8,由此得：,方法三：全微分法,方法四：不定积分法,9,不定积分法,不定积分法的实施过程:,10,将上两式积分, 得,11,若已知 v,可用类似的方法求 u,du(x,y)=uxdx+uydy= vydx-vxdy,例3.16,验证v(x,y)=arctan(y/x)(x0)在右半平面内是调和函数,并求以此为虚部的解析函数f(z),12,答案,课堂练习,13,例3.17,解,14,15,所求解析函数为,16,例3.18,解,根据调和函数的定义可得,17,所求解析函数为,18,用不定积分法求解例3.15中的解析函数,例3.20,解,19,例3.21,解,用不定积分法求解例3.17中的解析函数,20,21,例3.22,解,两边同时求导数,所以上面两式分别相加减可得,22,23,3.3.4小结与思考,本节我们学习了调和函数的概念、解析函数 与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.,应注意的是: 1. 任意两个调和函数u与v所构成的函数u+iv不一定是解析函数.,2. 满足柯西黎曼方程ux= vy, vx= uy,的v称为u 的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能颠倒.,放映结束，按Esc退出.,24,拉普拉斯资料,Pierre-Simon Laplace,Born: 23 March