固体物理ch6-2.ppt

1、6.5晶体能带的对称性，1。En(k)函数的对称性，引入了描述点群对称运算的算子t(1)，它的物理意义是对于任何函数f(r)，都有，其中1是逆运算，它的定义是1 r点经过运算后转化为r点。晶体中电子运动的哈密顿量(单电子)是：T()和H同时作用于任意函数f(r)。因为2在正交变换下是不变的，并且坐标旋转、反转和反射都是正交变换，所以电子的势能函数U(r)应该具有与晶格相同的对称性，也就是说，因为f(r)是任意函数。K(r)是晶体波动方程的解，所以T(n)，k(r)也是方程的解，n，k(r)与T(n，k(r)具有相同的能量本征值。在晶体中，电子运动的本征态波函数是布洛赫函数，其中n是能带标记，k

2、是简并波矢量，相应的能量本征值是En(k)。作用在n，k(r)上的t()由于是正交变换，另外，由于它也是一个以R1为周期的周期函数，它可以改写为，这表明用t()作用在布洛赫函数上的结果只是将简化波矢量K变换成另一个简化波矢量K.根据上述推论，它们应该具有相同的能量特征值。因此，是的，这表明En(k)在k空间中是对称的，所有对称点群的对称运算都将被采用，上述公式成立。因此，我们证明了En(k)与k空间中的晶体点群具有相同的对称性。另外，因为晶体中电子运动的哈密顿量是实算符，H*H，如果n，k(r)是方程的解，那么*n，k(r)也是方程的解，并且这两个解具有相同的能量本征值。也就是说，在晶体中，另

3、一方面，k被k所取代，所以应该指出，这个结论并不取决于晶体的点群的对称性，而En(k)在k空间中总是具有逆对称性，不管晶体中是否有对称中心。这实际上是时间反转对称性的结果。从以上讨论可以看出，对于相同的能带，它来自晶格的周期性、晶体点群的对称性和时间反转对称性。以二维正方形网格为例，二维正方形网格的点群为C4V(4毫米)。因此，对于一般位置P，在收缩区域中有8个点是对称的并且与P点相关。在这些点上，电子都有相同的能量。因此，我们只需要研究电子在约化区域的1/8空间中的能态，就可以知道整个K空间的能态。我们称这个体积为收缩区域的不可约体积。通过类比，三次系统的Oh(m3m)点群只能研究(1/48

4、)b。对于一般位置k，收缩区域中对称相关波矢量的数量等于点群的数量级。然而，如果k在收缩区的某些特殊位置(对称点、对称轴或对称平面)，即在晶体点群中，存在一些使k=k或k=k Gl的对称运算，那么收缩区中的等效波矢数小于点群的数量级。在二维方格子的收缩区域，k有以下特殊位置：1 .k在简单立方晶格收缩区中的特殊位置；2.自由电子的能带是，其中k是一个宽波矢量，不一定在收缩区，但我们肯定能找到唯一的反晶格矢量Gn，所以k是一个收缩波矢量。1.在一维情况下，k是收缩波矢量，这很简单。k的单位是，而En(0)(k)的单位是，第一波段：n=1，n=0，对应波函数：第二波段：n=2，n=1，对应波函数：

5、第三波段：n=3。为简单起见，将kx和ky作为单位，En(0)(k)作为单位，ky在x轴上=0，相应的波函数为。显然，当n1和n2的绝对值最小时，相应的能量最低。，(第一布里渊区)，(单)，相应的波函数：第一最近邻倒格子点：(单)，波函数：(单)，第二最近邻倒格子点：(双)，相应的波函数，dz=2 (k)(在K空间中EE dE和EED之间的能量体积)，2。近自由电子的能量密度：在K空间中，能量为e的等电面是一个半径为的球面，在这个球面上考虑了周期场的影响。在近自由电子的情况下，周期场的影响主要在布里渊区边界附近，但远离布里渊区。以简单立方晶体为例，研究了第一布里渊区等能面的二维截面。自由电子的

6、等能面(球面)在布里渊区边界表面的内外侧附近形成。在布里渊区边界表面的内侧：对于自由电子：EP(0)=EQ(0)，考虑周期场的影响：EQ(0)EQ，EP(0)EP，所以，EPEQ，在布里渊区边界表面之外测量：对于自由电子：EN(0)=EM(0)，考虑周期，因此，考虑周期场的影响，在布里渊区边界表面的内侧和外测量等电位表面上形成向外突出的凸面。在自由电子的能面附近，在自由电子的能密度附近，ea，当EC EB时，有能带重叠；当电子束发生时，有一个能隙(带隙)。3。紧束缚近似的能态密度，以简单立方晶格的S带为例，研究紧束缚近似的能态密度特征。在k=0时，即在能带底部附近，等能面近似为球形，但随着e的

7、增加，等能面明显偏离球形。n (e)，E0，e06j1，e02j1，紧束缚近似等能面，紧束缚近似能态密度，在x，m和r点上kE=0，这些点称为Van Hove奇点，这些点都是布里渊区的高对称点。E()，E(X)，E(M)，E(R)，第二，费米表面，这里只讨论最近的自由电子的费米表面结构。对于金属，由于EKBT，在T0，只有费米表面附近的少数电子被热激发，室温下费米半径的相对变化约为102。因此，可以认为金属的费米表面基本上与t1无关。费米表面构建步骤，根据晶体结构在互易空间绘制扩展的布里渊区图形；根据电子浓度计算相应的费米半径，并制作费米球(或费米花园)；每个布里渊区中的费米球(圆)根据反转的

8、晶格矢量平移到约化区，来自第n个布里渊区的费米球(圆)对应于第n个能带，从而在约化区中获得每个能带对应的费米表面图形；根据近自由电子进行必要的修正。2.修正的依据是电子能量仅在布里渊区边界附近偏离自由电子能量，等能面在布里渊区边界附近扭曲，形成向外突出的凸包；等电位面几乎总是与布里渊区的边界面垂直相交。费米表面包围的总体积只取决于电子浓度，而不取决于电子和晶格之间相互作用的细节。周期场的影响使费米表面上的锐角变得平滑。证明了在一般情况下，等能面与布里渊区的边界面垂直相交：在k空间中，En(k)具有反转对称性，En(k) En(k)，并且由于En(k)，En(k) En(kGn)的平移对称性，在布里渊区的边界面附近，k被分解为kkk，因为布里渊区沿边界面的法线方向，如果有全部沿边界面的法线方向，那么与边界面相交的等能面必须垂直于边界面。二维正方形晶格中近自由电子的费米表面图形。假设二维晶格的晶格常数为，晶体的原始细胞数为N，K的分布密度为：如果晶体中的每个原子都有一个平均价