数学与音乐1.ppt

1、数学与音乐,梁祝优美动听的旋律，十面埋伏的铮铮琵琶声，贝多芬令人激动的交响曲，田野中昆虫啁啾的鸣叫 当沉浸在这些美妙的音乐中时,你是否想到了它们与数学有着密切的联系？,其实，人们对数学与音乐之间联系的研究和认识可以说源远流长。这最早可以追溯到公元前六世纪，当时毕达哥拉斯学派用比率将数学与音乐联系起来。他们不仅认识到所拨琴弦产生的声音与琴弦的长度有着密切的关系，从而发现了和声与整数之间的关系，而且还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的弦发出的。于是,毕达哥拉斯音阶和调音理论诞生了，而且在西方音乐界占据了统治地位。虽然托勒密(约100 165 年) 对毕达哥拉斯音阶的缺点进行了改造 ,得出了较为理

2、想的纯律音阶及相应的调音理论，但是毕达哥拉斯音阶和调音理论的这种统治地位直到十二平均律音阶及相应的调音理论出现才被彻底动摇。,在我国,最早产生的完备的律学理论是三分损益律，时间大约在春秋中期，管子.地员篇和吕氏春秋.音律篇中分别有述;明代朱载堉(1536 - 1610) 在其音乐著作律学新说中对十二平均律的计算方法作了概述，在律吕精义 内篇中对十二平均律理论作了论述，并把十二平均律计算的十分精确，与当今的十二平均律完全相同，这在世界上属于首次。由此可见,在古代，音乐的发展就与数学紧密地联系在了一起。从那时起到现在, 随着数学和音乐的不断发展，人们对它们之间关系的理解和认识也在不断地加深。感觉音

3、乐中处处闪现着理性的数学。乐谱的书写离不开数学。,看一下乐器之王 钢琴的键盘吧,其上也恰好与斐波那契数列有关。我们知道在钢琴的键盘上，从一个 C 键到下一个 C 键就是音乐中的一个八度音程，其中共包括13 个键，有8 个白键和5 个黑键，而 5 个黑键分成 2 组 ，一组有 2 个黑键 ，一组有 3 个黑键.2、3、5、8、13 恰好就是著名的斐波那契数列中的前几个数。,如果说斐波那契数在钢琴键上的出现是一种巧合，那么等比数列在音乐中的出现就决非偶然了：1、2、3、4、5、6、7、i等音阶就是利用等比数列规定的。显然这个八度音程被黑键和白键分成了12个半音，并且我们知道下一个 C键发出乐音的振

4、动次数(即频率) 是第一个 C 键振动次数的 2倍，因为用2 来分割，所以这个划分是按照等比数列而作出的。我们容易求出分割比 x，显然 x 满足 x12= 2，解这个方程可得 x 是个无理数，大约是 1106。于是我们说某个半音的音高是那个音的音高的1106 倍，而全音的音高是那个音的音高 11062 倍。实际上，在吉它中也存在着同样的等比数列。,、音乐中的数学变换,数学中存在着平移变换，音乐中是否也存在着平移变换呢？我们可以通过两个音乐小节来寻找答案。显然可以把第一个小节中的音符平移到第二个小节中去,就出现了音乐中的平移，这实际上就是音乐中的反复。把两个音节移到直角坐标系中。显然，这正是数学

5、中的平移。我们知道作曲者创作音乐作品的目的在于想淋漓尽致地抒发自己内心情感，可是内心情感的抒发是通过整个乐曲来表达的，并在主题处得到升华，而音乐的主题有时正是以某种形式的反复出现的。,如果我们把五线谱中的一条适当的横线作为时间轴(横轴 x)，与时间轴垂直的直线作为音高轴(纵轴y)，那么我们就在五线谱中建立了时间音高的平面直角坐标系。于是一系列的反复或者平移，就可以用函数近似地表示出来 ，其中 x 是时间，y 是音高。,在这里我们需要提及十九世纪的一位著名的数学家，他就是约瑟夫.傅里叶 (Joseph Fourier)，正是他的努力使人们对乐声性质的认识达到了顶峰。他证明了所有的乐声，不管是器乐

6、还是声乐，都可以用数学式来表达和描述，而且证明了这些数学式是简单的周期正弦函数的和。,、大自然音乐中的数学,大自然中的音乐与数学的联系更加神奇,通常不为大家所知。例如，蟋蟀鸣叫可以说是大自然之音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率与气温有着很大的关系，我们可以用一个一次函数来表示：C = 4 t 160。其中 C代表蟋蟀每分钟叫的次数，t 代表温度.按照这一公式，我们只要知道蟋蟀每分钟叫的次数，不用温度计就可以知道天气的温度了！,、理性的数学中也存在着感性的音乐,由一段三角函数图像出发，我们只要对它进行适当的分段，形成适当的小节，并在曲线上选取适当的点作为音符的位置所在，那么就可以作出一节节的乐曲。由此可

7、见，我们不仅能像匈牙利作曲家贝拉 .巴托克那样利用黄金分割来作曲，而且也可以从纯粹的函数图像出发来作曲。这正是数学家约瑟夫.傅里叶的后继工作，也是其工作的逆过程。其中最典型的代表人物就是20 世纪20 年代的哥伦比亚大学的数学和音乐教授约瑟夫.希林格(JosephSchillinger) ，他曾经把纽约时报的一条起伏不定的商务曲线描述在坐标纸上，然后把这条曲线的各个基本段按照适当的、和谐的比例和间隔转变为乐曲，最后在乐器上进行演奏，结果发现这竟然是一首曲调优美、与巴赫的音乐作品极为相似的乐曲！这位教授甚至认为，根据一套准则，所有的音乐杰作都可以转变为数学公式。他的学生乔治.格什温(George

8、 Gershwin) 更是推陈出新，创建了一套用数学作曲的系统，据说著名歌剧波吉与贝丝就是他使用这样的一套系统创作的。,因而我们说，音乐中出现数学、数学中存在音乐并不是一种偶然，而是数学和音乐融和贯通于一体的一种体现，我们知道音乐通过演奏出一串串音符而把人的喜怒哀乐或对大自然、人生的态度等表现出来，即音乐抒发人们的情感，是对人们自己内心世界的反映和对客观世界的感触，因而它是用来描述客观世界的，只不过是以一种感性的或者说是更具有个人主体色彩的方式来进行。而数学是以一种理性的、抽象的方式来描述世界，使人类对世界有一个客观的、科学的理解和认识，并通过一些简洁、优美、和谐的公式来表现大自然。因此可以说数学和音乐都是用来描述世界的，只是描述方式有所不同，但最终目的都是为人类更好地生存和发展服务，于是它们之间存在