线性代数 第2.4齐次线性方程组.ppt

1、2020年8月2日星期日,Spring, 2010,18ppt,1,2.4 齐次线性方程组,矩阵方程为:,其中,2020年8月2日星期日,Spring, 2010,18ppt,2,设R(A)=r,则在A中存在一个不为0的r阶子式D，在 方程组(2.11)中系数包含D的r个方程便是方程组(2.11) 的同解方程组。,分三种情况讨论。,2020年8月2日星期日,Spring, 2010,18ppt,3,2020年8月2日星期日,Spring, 2010,18ppt,4,定理2.9 齐次线性方程组(2.11): (1)当其系数矩阵的R(A)=n时，只有惟一的零解； (2)当R(A)n时，有无穷多个解

2、.,将齐次线性方程组(2.11)的一个解构成的n维列向量称为一个解向量; 齐次线性方程组(2.11)的全部解构成的集合称为解集合,也称为解空间.,2020年8月2日星期日,Spring, 2010,18ppt,5,例2.7 设有齐次线性方程组 （*） 问当取何值时，上述方程组（*）有唯一的零解；（*）有无穷多个解，并求出这些解。,2020年8月2日星期日,Spring, 2010,18ppt,6,解方程组（2.12）的系数行列式为,（）当 时，方程组（*）有唯一的零解, 即 R(A)等于3.,2020年8月2日星期日,Spring, 2010,18ppt,7,（）当 时，方程组（*）的系数矩阵

3、为,由于 ，而A中有一个二阶子式,因此 ,故方程组（*）有无穷多个解。,2020年8月2日星期日,Spring, 2010,18ppt,8,对A施行初等行变换,方程组（2.12）的解为:,其中 可取任意数。,2020年8月2日星期日,Spring, 2010,18ppt,9,显然,此时方程组（*）也有无穷多个解。对A施行初等行变换,(3)当 时，方程组（2.12）的系数矩阵为,2020年8月2日星期日,Spring, 2010,18ppt,10,可得方程组（2.12）的解,其中 可取任意数。,注意：通解中所含任意常数的个数为n-R(A),2020年8月2日星期日,Spring, 2010,18

4、ppt,11,对一般的齐次线性方程组(2.11)，当其有无穷多个解的 时候，能否判断解的表达式中有几个任意常数？这些 解与解之间有没有联系？,齐次线性方程组(2.11)的一个解构成的一列数称为一个n维列向量，也称为解向量。,解的性质（线性),2020年8月2日星期日,Spring, 2010,18ppt,12,性质2.2：齐次线性方程组(2.11)的全部解向量构成的 向量组有最大无关组。,2020年8月2日星期日,Spring, 2010,18ppt,13,基础解系不是唯一的，但是，每个基础解系所含向量的个数相同。,2020年8月2日星期日,Spring, 2010,18ppt,14,基础解系

5、：,通解:,利用初等行变换求解线性方程组,定理2.10: 齐次线性方程组(2.11),如果其系数矩阵的秩为r,则其基础解系含且仅含有n-r个线性无关的向量。,因为矩阵的三种初等行变换对应着线性方程组的三种同解变换。所以可以先把系数矩阵A变换为它的行最简型矩阵，然后再解线性方程组。,2020年8月2日星期日,Spring, 2010,18ppt,15,例2.8 求下列齐次线性方程组的通解,2020年8月2日星期日,Spring, 2010,18ppt,16,由最后一个行阶梯形矩阵可知，方程组(2.15)的系数矩阵的 秩等于2, 因此，其基础解系应含有4-2=2个解向量.,即原方程组（2.15）等价于：,2020年8月2日星期日,Spring, 2010,18ppt,17,2020年8月2日星期日,Spring, 2010,18ppt,18,练 习,解：,1.,2020年8月2日星期日,Spring, 2010,18ppt,19,2020年8月2日星期日,Spring, 2010,18ppt,20,2.,解：,2020年8