正弦定理余弦定理的应用举例1.ppt

1、1.2.1 应用举例,例1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，那么B岛和C岛间的距离是 。,A,C,B,解斜三角形,基本概念和公式.,解：应用正弦定理，C=45 BC/sin60=10/sin45 BC=10sin60 /sin45,解斜三角形,解三角形的应用.,例2、我舰在敌岛A南偏西50相距12海里B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10的方向以10海里/时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要的速度大小为 。,南,B,分析：2小时敌舰航行距离AC=20，由AB=12，BAC=120， 余弦定理可解我舰航行距离 BC。,基础知识复习

2、,解斜三角形应用举例,1、正弦定理,2、余弦定理,1、分析：理解题意，画出示意图,2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中,3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三角形，求得数学模型的解。,4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。,实际问题数学问题（三角形） 数学问题的解（解三角形）实际问题的解,解斜三角形应用题的一般步骤是：,解斜三角形中的有关名词、术语：,（1）坡度：斜面与地平面所成的角度。 （2）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。 （3）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的夹角。 （4）视角

3、：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角,解斜三角形,解三角形的应用- 实地测量举例,想一想： 如何测定河两岸两点A、B间的距离？,A,B,解斜三角形,解三角形的应用- 实地测量举例,想一想： 如何测定河两岸两点A、B间的距离？,A,B,C,解斜三角形,解三角形的应用- 实地测量举例,想一想： 如何测定河两岸两点A、B间的距离？,C,简解：由正弦定理可得 AB/sin=BC/sinA =a/sin(+),a,解斜三角形,解三角形的应用- 实地测量举例,例3、 如何测定河对岸两点A、B间的距离？如图在河这边取一点，构造三角形ABC，能否求出AB?为什么？,A,B,C,1公里,分析：在四边形

4、ABCD中欲求AB长，只能去解三角形，与AB联系的三角形有ABC和ABD，利用其一可求AB。,ACD=90o，BCD=60o，BDC=75o，ADC=30o，,略解：Rt ACD中，AD=1/cos30o BCD中，1/sin45=BD/sin60，可求BD。 由余弦定理在ABD中可求AB。,1公里,分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三角形，与AB联系的三角形有ABC和ABD，利用其一可求AB。,ACD=90o，BCD=60o，BDC=75o，ADC=30o，,略解：Rt ACD中，AD=1/cos30o BCD中，1/sin45=BD/sin60，可求BD。 由余弦定理在ABD中可

5、求AB。,例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。,测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是100m，BAC45o， ACB75o，求A、B两点间的距离.,分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形,解：根据正弦定理，得,答：A,B两点间的距离为 米。,变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东 ， 灯塔B在观察站C南偏东 ，则A、B之间的距离为多少？,例2.A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。,分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，借助于余弦

6、定理可以计算出A、B两点间的距离。,解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在 ADC和 BDC中，应用正弦定理得,计算出AC和BC后，再在 ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离,注：阅读教材P12，了解基线的概念,练习1.一艘船以32.2n mile / hr的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？,解斜三角形,基本概念和公式,练习.

7、如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东200, 30分钟后航行到B处,在B处看灯塔S在船的北偏东650方向上,求灯塔S和B处的距离.,解：AB=16，由正弦定理知： BS/sin20=AB/sin45 可求BS= 海里。,练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为620，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）,（1）什么是最大仰角？,（2）例题中涉及一个怎样的三角 形？,在ABC中已知什么，要求什么？,练习2自动卸货汽车的车

8、厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为620，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）,已知ABC中AB1.95m，AC1.40m， 夹角CAB6620，求BC,解：由余弦定理，得,答：顶杆BC约长1.89m。,测量垂直高度,1、底部可以到达的,测量出角C和BC的长度，解直角三角形即可求出AB的长。,图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？,想一想,2、底部不能到达的,例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法,分

9、析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长。,解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是，CD=a,测角仪器的高是h.那么，在 ACD中，根据正弦定理可得,例3. AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法,分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长,CD=BD-BC177-27.3=150(m),答：山的高

10、度约为150米。,解：在ABC中，BCA= 90 +, ABC= 90 -, BAC=-, BAD=.根据正弦定理，,例3：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北150的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在西偏北250的方向上,仰角为80,求此山的高度CD,分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。,例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角8，求此山的高度CD.,解

11、：在ABC中，A=15, C= 25 15=10. 根据正弦定理，,CD=BCtanDBCBCtan81047(m),答：山的高度约为1047米。,变式：某人在M汽车站的北偏西200的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东400。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？,例6 一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5n mile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile）?,解：在 ABC中，ABC1807532137，根据余弦定理，,练习,解：（如图）在ABC中， 由正弦定理可得：,因为BCAB，所以A为锐角 ， A1415, B180（A